Fortschritte der Mathematik.
Wir beschäftigen uns zunächst mit dem Anteil, den Lagrange an der Entwicklung der reinen Mathematik genommen hat. Auf diesem Gebiete setzte er die Arbeit der Bernoulli und Eulers fort. Nur erwähnt seien Lagranges Zusätze zu Eulers Elementen der Algebra. Sie beziehen sich auf das Gebiet der unbestimmten oder diophantischen Analysis, dem Euler den letzten Teil seines Werkes widmete. Diese Untersuchungen gehören der reinen Mathematik an und stehen mit der Entwicklung der Naturwissenschaften in einem nur lockeren Zusammenhange. Sie haben aber in der neuesten Zeit die Grundlage für die Theorie der algebraischen Zahlen gebildet und sind aus diesem Grunde vor kurzem durch eine deutsche Übersetzung zugänglicher gemacht worden[752].
Mit den unbestimmten Gleichungen befaßt sich Lagrange auch in einer für dieses Gebiet grundlegenden Abhandlung vom Jahre 1768[753]. Er bewältigt darin die Aufgabe, alle unbestimmten Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten durch ganze Zahlen zu lösen. Der Versuch, solche Gleichungen zu lösen, reicht weit in der Geschichte der Mathematik zurück. Fermat gelang die Lösung, doch hat er sein Verfahren nicht bekannt gegeben. Es blieb daher Lagrange vorbehalten, ein allgemeines Verfahren zu entwickeln und zu beweisen, daß jene Gleichungen stets in ganzen Zahlen lösbar sind. Da sich nun jede Gleichung zweiten Grades mit zwei Unbekannten auf die einfache Form A = x2 + By2 bringen läßt, so war das Problem in seiner Allgemeinheit gelöst.
Gleichfalls an Euler anknüpfend, hat Lagrange ferner die Theorie der partiellen Differentialgleichungen mitbegründet. Wird eine Gleichung y = f(x) differenziert, so läßt sich aus der entstandenen Differentialgleichung durch Integration die ursprüngliche Gleichung wiederherstellen. Eine solche Integration ist jedoch nicht für jede beliebige Differentialgleichung möglich. Es galt daher, ein Kennzeichen für die Integrierbarkeit einer Differentialgleichung zu finden, und diese Aufgabe löste Euler für solche Gleichungen erster Ordnung schon 1734. Später dehnte er mit Erfolg diese Untersuchungen auf Differentialgleichungen höherer Ordnung aus. Zu einer allgemeinen Theorie für dieses Gebiet ist Euler allerdings nicht gelangt, sondern er beschränkte sich auf die Durchführung zahlreicher besonderer Fälle von Integrationen. Die allgemeine Lösung des Problems blieb Laplace und den Mathematikern des 19. Jahrhunderts (Pfaff, Cauchy und anderen) vorbehalten.
Die Abhandlungen von Lagrange, welche die Lehre von der Integration der Differentialgleichungen förderten, fallen in den Zeitraum von 1772–1785. Seine Untersuchung vom Jahre 1772 »Über die Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung« wurde auch in deutscher Übersetzung zugänglich gemacht[754]. Eine vollständige Integrationsmethode für lineare partielle Differentialgleichungen mit beliebig vielen Veränderlichen fand Lagrange indessen erst sieben Jahre später, nachdem er sich dem durch Eulers Untersuchungen gestellten Problem zugewandt hatte.
Mit Lagrange begann auch eine neue Epoche in der Behandlung der Maxima- und Minimaaufgaben. Der Fortschritt bestand darin, daß er die analytische Bewältigung der hierher gehörigen Probleme ins Auge faßte, während die Bernoulli und Euler vorzugsweise geometrisch verfuhren. Die hierbei befolgte Methode von Lagrange bestand in einer engen Verbindung der Differential- mit der Integralrechnung und wurde von Euler mit dem besonderen Namen der »Variationsrechnung« belegt. Die grundlegende Abhandlung von Lagrange für diesen Teil der höheren Analysis erschien im Jahre 1762[755].
Wie die Isoperimeterprobleme[756] seit dem Altertum behandelt und insbesondere durch Fermat gefördert wurden, haben wir an früherer Stelle[757] erfahren. Während des 18. Jahrhunderts waren es zunächst die Bernoulli und Euler, die sich mit diesen Problemen befaßten. In seiner epochemachenden Abhandlung vom Jahre 1762 löste Lagrange in seiner Allgemeinheit das Problem, für eine Integralformel ∫Z, in der Z eine bestimmte Funktion der Variabeln x, y, z und ihrer Differentiale bezeichnet, diejenige Relation zu finden, welche diese Variabeln unter sich haben müssen, damit ∫Z ein Maximum oder ein Minimum wird. Dann wendet er sich zur Erläuterung seiner Methode der Brachystochrone zu, einer Kurve, die in der Geschichte der Mathematik ihre besondere Bedeutung besitzt, weil sie den Untersuchungen der Bernoulli über isoperimetrische Probleme zum Ausgangspunkt gedient hat[758].
Eine Vereinfachung und Vervollständigung der Variationsrechnung hat Lagrange in einer Abhandlung[759] vom Jahre 1770 und vor allem in seiner »Analytischen Mechanik« (1788) gegeben. Auch Legendre und später Jacobi haben wertvolle Beiträge zur weiteren Ausgestaltung des für die mathematische Physik so wichtigen Verfahrens geliefert[760].