Maxima- und Minimaaufgaben.

Fermat war einer der ersten, der eine allgemeine Methode fand, die Maxima- und Minimaaufgaben zu lösen. Zum ersten Male begegnet uns ein hierher gehöriges Problem, und zwar in geometrischer Fassung, bei Euklid[284]. Es läuft, modern ausgedrückt, darauf hinaus, für x · (a - x) den größten Wert zu finden. Die Lösung ergibt, daß dies Produkt ein Maximum ist, wenn x = a/2 gesetzt wird. Daß der Kreis bei gegebenem Umfang unter allen ebenen Figuren die größte Fläche, und die Kugel bei gegebener Oberfläche unter allen Körpern den größten Rauminhalt besitzt, war den Alten gleichfalls bekannt.

Unter den neueren Mathematikern haben sich, von vereinzelten Fällen abgesehen[285], zuerst Kepler, Cavalieri und Fermat mit den in ihrer Anwendung auf das physikalische Gebiet so außerordentlich wichtigen Maxima- und Minimabestimmungen beschäftigt. Mit Keplers und mit Cavalieris Verdienst um die Begründung der neueren Mathematik werden wir uns später befassen.

Fermats Methode ist diejenige, die auch heute wohl noch für eine elementare Behandlung von Maxima- und Minimaaufgaben Anwendung findet[286]. Er setzt nämlich an Stelle einer Unbekannten x einen neuen Wert x - Δ, in welchem Δ (Fermat braucht dafür die Bezeichnung E) als eine von Null nur wenig abweichende Größe betrachtet wird.

Nachdem er den Ausdruck umgeformt, wird der Übergang von Δ zur Null vollzogen und der für x gesuchte Wert ermittelt.

Ein Beispiel Fermats, bei dem wir jedoch von seiner Ausdrucksweise absehen, möge sein Verfahren erläutern. Für x² (a - x) wird nach dem Wert von x gefragt, für den dieses Produkt den größten Wert annimmt. Für x wird x + Δ gesetzt und wir erhalten:

x² (a - x) = (x + Δ)² (a - x - Δ).

Die Ausrechnung und Umformung ergibt:

2ax - 3x² + Δ (a - 3x - Δ) = 0.

Wird darin Δ = 0 gesetzt, so erhalten wir:

2ax - 3x² = 0

und daraus:

x = 2/3 a.

Der von Fermat gelehrten Methode fehlte noch ein bestimmtes Kennzeichen dafür, ob der erhaltene Wert ein Maximum oder ein Minimum ist. Dies allgemein zu entscheiden, vermochte man erst mit Hilfe des von Leibniz herrührenden Verfahrens der Differentialrechnung.

In dem Bestreben, die von ihm gefundene Methode auf die Naturlehre anzuwenden, wurde Fermat zu seinem Prinzip von der geringsten Wirkung[287] geführt. Fermats Satz läuft darauf hinaus, daß die Natur, »die große Arbeiterin, die unserer Instrumente und Maschinen nicht bedarf«, alle Geschehnisse mit einem Minimum von Aufwand ablaufen lasse. Dieser Gedanke war auch den Alten nicht fremd. So erklärten sie die Form der Bienenzellen aus dem Streben der Natur, möglichst an Material zu sparen[288]. Der alexandrinische Physiker Heron äußerte einen ähnlichen Gedanken in bezug auf das Reflexionsgesetz. Er wies nämlich darauf hin, daß die Reflexion des Lichtes von A nach B auf dem kürzesten Wege erfolgt, wenn der Reflexionspunkt C die Lage hat, daß der Einfallswinkel ACD gleich dem Austrittswinkel BCD ist, da jede andere Verbindung der Punkte A und B mit der spiegelnden Fläche, z. B. die Verbindung AC₁B (Abb. [51]), länger ist.

Abb. 51. Das Reflexionsgesetz, erklärt aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung, d. i. in diesem Falle des kürzesten Lichtweges.

Diese Betrachtungsweise übertrug Fermat zunächst auf das damals im Mittelpunkte der Erörterung stehende Brechungsgesetz. Fermats Gedankengang war etwa folgender: Daß der Lichtstrahl beim Übergang von dem dünneren zum dichteren Medium gebrochen wird, rührt daher, daß das Licht in letzterem einen größeren Widerstand findet und sich infolgedessen langsamer bewegt. Je größer nämlich der Widerstand ist, um so länger wird die für seine Überwindung beanspruchte Zeit sein. Die im Sinne des Prinzips der kleinsten Aktion gestellte Frage lautete also: Welchen Weg muß der Lichtstrahl nehmen, um mit dem geringsten Gesamtwiderstande, der sich aus den Widerständen in den beiden Medien summiert, oder was auf dasselbe hinausläuft, da ja dem kleineren Widerstande eine kürzere Zeit entspricht, um innerhalb der kürzesten Zeit von A nach B zu gelangen (Abb. [52])? Fermat findet mit Hilfe seines Verfahrens, daß dieses Minimum stattfindet, wenn sich der Sinus des Einfallswinkels zum Sinus des Brechungswinkels wie die Geschwindigkeiten in den zugehörigen Medien verhalten (sin α : sin β = v₁ : v₂ = n).

Fermat schloß auch umgekehrt aus dem Gesetz als einer feststehenden Tatsache auf die Zulässigkeit seines, immerhin einen gewissen metaphysischen Zug aufweisenden Prinzips. Denn metaphysisch war das Prinzip, so lange es darauf hinauslief, an die Stelle des ursächlichen Wirkens der Natur gewissermaßen ein überlegtes, aus Vernunftgründen entspringendes Handeln zu setzen.

Abb. 52. Fermat erklärt das Brechungsgesetz aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung.

Das Prinzip der kleinsten Wirkung ist für die weitere Folge von nicht geringem Einfluß gewesen, obgleich es das »unbestimmteste von allen Prinzipien«[289] ist, aus dem man das Wirken der Natur zu erklären sucht. Auch Huygens benutzte den Fermatschen Satz. Bei der nahen Beziehung, in der Huygens zu Leibniz stand, hat man wohl vermutet, daß der letztere seine Lehre von der prästabilierten Harmonie in Anlehnung an die Gedanken Fermats geschaffen hat. Die Mathematiker und die Physikotheologen des 18. Jahrhunderts hielten gleichfalls an diesem Prinzip fest und suchten seine Allgemeingültigkeit dadurch nachzuweisen, daß sie zahlreiche Einzelfälle daraus ableiteten. Auf solche Weise äußerte das Prinzip eine sehr anregende und fruchtbare Wirkung. Viele Untersuchungen über größte und kleinste Werte, die man im 18. Jahrhundert unternahm, waren von dem Bestreben geleitet, die Naturvorgänge aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung zu erklären. Hand in Hand damit erwuchs in der Variationsrechnung ein besonderer Zweig der Mathematik, der sich mit Maxima- und Minima-Aufgaben befaßte und allgemeingültige Regeln für ihre Lösung erkennen ließ. Einen vorläufigen Abschluß fanden diese Untersuchungen, an denen sich auch Johann und Jacob Bernoulli beteiligten, in Eulers Schrift vom Jahre 1744[290]. Welchen Standpunkt Euler dem Fermatschen Prinzip gegenüber einnahm, ersehen wir aus folgenden, jenem Hauptwerk entnommenen Worten: »Da die Einrichtung der Welt die vorzüglichste ist, wird nichts in ihr angetroffen, woraus nicht irgend eine Maximum- oder Minimumeigenschaft hervorleuchtet. Deshalb kann kein Zweifel bestehen, daß alle Wirkungen in der Welt durch die Methode der Maxima und Minima aus den Zwecken wie aus den wirkenden Ursachen selbst abgeleitet werden können«.

Inzwischen mehrten sich die Beobachtungen, daß auch für die organische Welt Fermats Satz als Stütze dienen könne. Der Bau der Knochen, der Federn und der Halme: alles schien darauf hinzudeuten, daß die Natur von ihren Mitteln den zweckmäßigsten und sparsamsten Gebrauch macht und insbesondere bei dem Aufbau der organischen Körper gewissermaßen nach einem Sparsamkeitsgesetz verfährt, das sich als ein besonderer Fall des in der Optik und in der Mechanik beobachteten Prinzips der kleinsten Wirkung darstellt. Letzteres wurde dann auch um die Mitte des 18. Jahrhunderts von Maupertuis zur Grundlage der gesamten Naturlehre gemacht und in folgende Worte gekleidet: »Wenn in der Natur eine Veränderung vor sich geht, so ist der für diese Veränderung erforderliche Aufwand der möglichst kleinste«[291].

Wie wir später sehen werden, wurde diese, in ihren Anfängen bis ins Altertum zurückreichende Vorstellung, die Fermat klarer formulierte und das 18. Jahrhundert weiter entwickelte, erst durch schärfere mechanische Prinzipien verdrängt, als Lagrange die Neubegründung der Mechanik unternahm.

Wir kehren noch einmal zu Fermat zurück, um seine Verdienste um die Begründung der Zahlentheorie, der Kombinationslehre und der Wahrscheinlichkeitsrechnung wenigstens kurz zu erwähnen. Schienen auch diese Gebiete zuerst rein mathematisch zu sein, so sind sie im Laufe ihrer Entwicklung doch in den Dienst der Naturwissenschaften getreten. Ganz besonders gilt dies von der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ihre ersten Anfänge begegnen uns im 15. und 16. Jahrhundert. Sie knüpfen an die Glücksspiele an.

Die Begründer der Wahrscheinlichkeitsrechnung als einer mathematischen Disziplin sind Fermat und sein Zeitgenosse Pascal (1623–1662). Pascal wurde die Frage vorgelegt, bei wieviel Würfen man Aussicht habe, mit zwei Würfeln den Sechserpasch zu werfen. Als das wichtigste Mittel zur Bewältigung der Probleme der Wahrscheinlichkeitsrechnung schufen Pascal und Fermat die Kombinatorik, deren Anfänge uns schon bei den Indern begegnen.

Was Fermats Verdienst um die Theorie der Zahlen anbelangt, so sei daran erinnert, daß auch auf diesem Gebiete ein Satz, und zwar ein fundamentaler, seinen Namen führt.

Um die Fortentwicklung der Kombinationslehre haben sich im 18. Jahrhundert Jacob Bernoulli und im 19. Laplace und Gauß die hervorragendsten Verdienste erworben.

Zur selben Zeit, als Descartes neben die alte Euklidische die analytische Geometrie setzte, begegnen uns die Anfänge einer dritten geometrischen Betrachtungsweise, derjenigen der Zentralprojektion. Aus ihr hat sich im 19. Jahrhundert auf Grund der Untersuchungen Poncelets und Steiners die projektivische Geometrie entwickelt[292], deren Sätze sich durch einen hohen Grad von Allgemeingültigkeit vor denjenigen der Euklidischen und der analytischen Geometrie auszeichnen.