Naturwissenschaft und Mathematik.
Daß die höhere Mathematik im Verlauf des 18. Jahrhunderts zu dem »Riesenschwerte« des Astronomen und Physikers und später des modernen Naturforschers überhaupt wurde, ist vor allem den Mitgliedern der Familie Bernoulli und Leonhard Euler zu verdanken. Der älteste und zugleich einer der bedeutendsten unter den zahlreichen großen Mathematikern dieser Familie ist Jakob Bernoulli (1654–1705). Er ist als einer der wichtigsten Bahnbrecher auf den Gebieten der Infinitesimalrechnung, der Reihenlehre, Kombinationslehre und Wahrscheinlichkeitsrechnung zu nennen[698]. Jacob Bernoulli beschäftigte sich mit den beiden zuletzt genannten Gegenständen seit etwa 1680. Sein großes Werk, in dem er die eigenen und die Forschungen anderer Mathematiker über Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung zusammenfaßte, erschien jedoch erst einige Jahrzehnte später[699]. Es enthält auf dem Gebiete der ersteren, und zwar in der noch heute üblichen Form, so ziemlich alles, was den Bestand dieser Disziplin ausmacht[700]. Bei weitem der wichtigste Abschnitt des Werkes ist der letzte[701]. Bernoulli stellte sich darin die Aufgabe, die Wahrscheinlichkeitsrechnung auf »bürgerliche, sittliche und wirtschaftliche Verhältnisse« anzuwenden. Im Hinblick auf die ganz neuen Bahnen, welche damit diesem Zweige der Mathematik gewiesen werden, ist es doppelt bedauerlich, daß dieser Abschnitt unvollendet geblieben ist. Die Wahrscheinlichkeit wird als ein Grad der Gewißheit erklärt, der sich von der Gewißheit selbst wie ein Teil vom Ganzen unterscheidet. Besteht die absolute Gewißheit (a oder 1) aus 5 Wahrscheinlichkeiten (oder Teilen), von denen 3 für das Eintreten eines Ereignisses und zwei dagegen sprechen, so besitzt das Ereignis 3/5a oder 3/5 der Gewißheit.
Die Untersuchung gipfelt in dem Bernoullischen Theorem[702], das man auch das Gesetz der großen Zahlen genannt hat. Das Theorem betrifft die Frage, ob durch Vermehrung der Beobachtungen, oder durch fortgesetzte Häufung der Einzelfälle, die Wahrscheinlichkeit dafür wächst, daß die Zahl der günstigen zur Zahl der ungünstigen Fälle schließlich das wahre Verhältnis erreicht. Bernoulli formuliert das Problem und bejaht es auf Grund eines mathematischen Beweisverfahrens. Sehr treffend bemerkt er, die Aufgabe habe sozusagen ihre Asymptote, indem, auch bei beliebiger Vermehrung der Beobachtungen, ein bestimmter Grad von Wahrscheinlichkeit, das wahre Verhältnis der Fälle gefunden zu haben, nicht überschritten werden könne.
Als Beispiel wählt Bernoulli eine zugedeckte Urne, in der sich ohne unser Vorwissen 3000 weiße und 2000 schwarze Steine befinden. Durch häufiges Ziehen und jedesmaliges Zurücklegen der Steinchen in die Urne wird man mit immer größerer, schließlich mit an Gewißheit grenzender Wahrscheinlichkeit das Verhältnis 3 : 2 ermitteln, indem dieser Wert mit der Häufung der Fälle in immer engere Grenzen eingeschlossen wird. Wir sind daher, sagt Bernoulli, gezwungen, bei allen Geschehnissen eine gewisse Notwendigkeit anzuerkennen. Würde man nämlich alle Ereignisse durch alle Ewigkeit hindurch beobachten, so würde schließlich die Wahrscheinlichkeit in volle Gewißheit übergehen. Man müsse also bei noch so zufällig erscheinenden Dingen doch eine Notwendigkeit annehmen und zu dem Schlüsse kommen, daß alles in der Welt in bestimmter Gesetzmäßigkeit vor sich gehe.
Jacob Bernoullis Arbeiten über unendliche Reihen[703] sind darauf zurückzuführen, daß sie häufig ein Mittel bieten, um zu einer Lösung von Integrationsaufgaben zu gelangen. Deshalb hatten sich schon die Begründer der Infinitesimalrechnung, Wallis und Newton, mit der Entwicklung von Funktionen in unendliche Reihen befaßt[704]. So hatte Wallis die Fläche zwischen der Hyperbel und ihren Asymptoten durch eine unendliche Reihe dargestellt. Man findet bei ihm auch schon die Reihe der reziproken Quadratzahlen:
1/(12) + 1/(22) + 1/(32) + ...,
deren Summierung jedoch erst Euler vollzog.
Die erste Integration mit Hilfe der Reihenentwicklung gelang Nikolaus Mercator (1668) bei seiner Quadratur der gleichseitigen Hyperbel[705]. Auch Leibniz hat sich mit der Summation einiger unendlichen Reihen befaßt, die auf die Ermittlung von π hinauslaufen. In ihren ersten Anfängen geht die Lehre von den unendlichen Reihen sogar auf Euklid und Archimedes zurück. Die eigentliche Begründung der Theorie der unendlichen Reihen erfolgte jedoch erst durch Newton, den Entdecker der allgemeinen Binomialformel. Für ganzzahlige positive Exponenten, die eine endliche Reihe ergeben, war die Entwicklung der Formel (a + b)n schon lange vor Newton bekannt.
Auf Jacob Bernoullis Arbeiten über unendliche Reihen kann hier nicht näher eingegangen werden. Die Ergebnisse verdienen hier nur insoweit Erwähnung, als sie zur angewandten Mathematik hinüberleiten. So gelang es Bernoulli, die Beziehung zwischen den Koordinaten der elastischen Kurve durch eine Reihe auszudrücken, die Parabel und die logarithmische Linie mit Hilfe einer solchen zu rektifizieren, und anderes mehr[706].
Von Jacob Bernoulli und seinem Bruder Johann wurde die Aufmerksamkeit der Mathematiker auch wieder auf die für die Physik besonders wichtigen Maxima- und Minimaaufgaben gelenkt und durch die Behandlung der sogenannten isoperimetrischen Probleme ein Grund geschaffen, auf dem später Euler, Lagrange und andere die Variationsrechnung errichten konnten.
Die isoperimetrischen Probleme handeln von Kurven, die gewissen Maxima- und Minimabedingungen genügen. Das älteste dieser Probleme lautet: Welche unter allen isoperimetrischen Kurven schließt die größte Fläche ein? Schon das Altertum beantwortete diese Frage dahin, daß die verlangte Kurve der Kreis sei[707].
Das erste isoperimetrische Problem, mit dem sich Johann Bernoulli beschäftigte, betrifft die Brachystochrone, die Linie des kürzesten Falles[708]. Johann Bernoulli formulierte dies Problem mit folgenden Worten: »Zwei gegebene Punkte, die verschiedenen Abstand vom Erdboden haben und nicht senkrecht übereinander liegen, sollen durch eine Kurve verbunden werden, auf der ein beweglicher Körper, vom oberen Punkte ausgehend, vermöge seiner Schwere in der kürzesten Zeit zum unteren Punkte gelangt«. Nachdem er die Lösung gefunden, forderte er nach damaliger Sitte »die scharfsinnigsten Mathematiker des ganzen Erdkreises« auf, gleichfalls die Aufgabe zu lösen. Leibniz gelang dies noch am nämlichen Tage, an dem er davon Kenntnis erhielt. Auch Newton und Jacob Bernoulli fanden übereinstimmend die Lösung, daß die Zykloide die gesuchte Kurve sei. Die Verwunderung war umso größer, als Huygens diese Kurve schon als diejenige erkannt hatte, in der die Fallbewegung von allen Punkten aus dieselbe Zeit beansprucht. Er hatte ihr aus diesem Grunde den Namen »Tautochrone« beigelegt. So zeige, sagt Jacob Bernoulli in der Bekanntgabe seiner Lösung[709], eine Kurve, die von so vielen Mathematikern untersucht worden sei, daß an ihr nichts mehr zu erforschen übrig schien, plötzlich eine ganz neue Eigenschaft.