Rechtwinklige wagrechte Linien.
[§ 32.] Man unterscheidet die gerade Ansicht eines rechten Winkels, Rechtecks oder Quadrats, d. i. wenn nur eine der beiden Linien, welche einen rechten Winkel bilden, verkürzt, die andere aber unverkürzt ist, wie A B und B C oder A D und D C in [Fig. 25] und die schräge Ansicht, d. i. wenn beide Schenkel des Winkels verkürzt sind, wie a b und b c oder a d und d c. Der Ausdruck »schräg« bezieht sich also in diesem Zusammenhang auf die Stellung wagrechter Linien zum Auge oder zum Horizont.
Fig. 25.
In [§ 12] [Fig. 15] und [16] wurde gezeigt, dass eine vom Auge nach dem Augpunkt gezogene Linie einen rechten Winkel zum Horizont bilden würde, d. h. mit andern Worten: wenn wir uns eine Linie von unserem Auge nach dem Horizont gezogen denken, so dass sie rechtwinklig zu diesem steht, so trifft sie den Augpunkt, der Augpunkt ist ihr Fluchtpunkt.
Steht nun eine verkürzte wagrechte Linie geometrisch rechtwinklig zu einer unverkürzten Wagrechten, wie in [Fig. 25] A D oder B C zu C D, so steht sie auch zum Horizont in einem rechten Winkel, sie ist also parallel mit einer von unserem Auge nach dem Augpunkt gehenden Linie und muss mit dieser denselben Fluchtpunkt haben.
Also ist der Augpunkt der Fluchtpunkt aller verkürzten wagrechten Linien, welche zu einer unverkürzten Wagrechten (zum Horizont) geometrisch rechtwinklig stehen oder welche, wie man häufig sagt, sich in gerader Linie von uns entfernen. Vgl. in [Fig. 14] die Linien f, f, in [Fig. 20] a P, b P, c P u. s. w.
[§ 33.] Sind beide Linien, welche den rechten Winkel bilden, verkürzt, wie in dem Rechteck a b c d [Fig. 25], so ist die Frage, wie gross die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander, d. h. das Stück des Horizonts, welches zwischen beiden liegt, sein muss. Denn je nachdem der Winkel, in welchem 2 verkürzte Linien zu einander stehen, grösser oder kleiner ist, wird auch die Entfernung ihrer beiden Fluchtpunkte eine grössere oder kleinere sein und umgekehrt, wie aus [§ 31] [Fig. 23] zu ersehen ist.
Fig. 26.
Ausser der geometrischen Grösse des betreffenden Winkels ist jedoch auch die Grösse der Distanz von Einfluss auf den Abstand der Fluchtpunkte seiner beiden Schenkel. Eine vom Auge nach dem Horizont gezogene Linie, welche zu diesem rechtwinklig steht, trifft immer den Augpunkt und so kann auch die verkürzte Seite eines rechten Winkels in gerader Ansicht nur im Augpunkt ihren Fluchtpunkt haben, gleichviel, ob unsere Distanz grösser oder kleiner ist. Steht aber eine verkürzte Wagrechte in einem beliebigen andern Winkel zum Horizont oder zu einer unverkürzten Wagrechten, so liegt der Punkt, in welchem eine parallel mit ihr d. h. in demselben Winkel vom Auge nach dem Horizont gezogene Linie diesen treffen würde, näher am Augpunkt oder entfernter von ihm, je nachdem die Entfernung des Auges vom Augpunkt grösser oder kleiner ist. Dieselbe Linie, welche in [Fig. 26] von a aus gezogen die Linie m n in z trifft, trifft sie von b aus in p, von c aus in n u. s. w. Und wenn wir 2 verkürzte wagrechte Linien vor uns haben, welche in Wirklichkeit rechtwinklig (oder in einem beliebigen Winkel) zu einander stehen, so werden die 2 Punkte, in welchen 2 parallel mit ihnen vom Auge ausgehende Linien den Horizont treffen, desto näher beisammen liegen, je kleiner die Distanz ist und desto weiter von einander entfernt sein, je grösser dieselbe ist, wie [Fig. 26] deutlich zeigt: o p ist grösser als y z, m n grösser als o p.
Fig. 27.
Demnach kann der Abstand der beiden Fluchtpunkte eines rechten Winkels in schräger Ansicht ein sehr verschiedener sein. So zeigt [Fig. 27] zwei verschiedene Ansichten eines Rechtecks, welche es in derselben Stellung, aus derselben Höhe und Richtung, aber aus verschiedener Entfernung gezeichnet darstellen. Mit zunehmender Distanz erscheint nicht nur das Ganze kleiner, sondern auch die Form der rechten Winkel wird eine verschiedene: da mit der Distanz die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander zunimmt, so erscheinen die Seitenwinkel bei b und d in B spizer, der Winkel bei a und c erscheint stumpfer als in A.
Natürlich ist die Wirkung dieselbe, wenn wir, statt die Entfernung unseres Standpunkts zu verändern, den betreffenden Gegenstand näher oder ferner rücken, vgl. [Fig. 29].
Es muss daher die genaue Grösse der für eine Zeichnung angenommenen Distanz mittels eines Distanzpunkts angegeben und dieser zu Hilfe genommen werden, wenn der Abstand jener 2 Fluchtpunkte von einander genau berechnet werden soll. Wie lezteres geschehen kann, ist in [§ 81–85] gezeigt. Da jedoch die Grösse der vom Zeichner angenommenen Distanz mit blossem Auge aus den Linien einer Zeichnung nicht zu ersehen ist, so kann gewöhnlich diese genauere Berechnung entbehrt und durch Beobachtung der nachfolgenden Regel ersezt werden.
[§ 34.] Überall, wo die Grösse der Distanz von wesentlichem Einfluss ist auf die perspectivische Form, kommt es hauptsächlich darauf an, die falsche Wirkung zu vermeiden, welche aus einer zu klein angenommenen Distanz entsteht. Bei Darstellung eines rechten Winkels in schräger Ansicht entsteht diese falsche Wirkung, wenn die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander zu klein ist.
Fig. 28.
Betrachten wir in [Fig. 28] D als unser Auge, P als Augpunkt, so bezeichnet die Linie D P die Grösse der Distanz. Ziehen wir nun (mit Hilfe des Winkels [Fig. 9]) von D aus in verschiedener Richtung je 2 rechtwinklig zu einander stehende Linien nach der durch P gehenden Wagrechten d. h. nach dem Horizont, z. B. D c und D d, D a und D b, D Dg und D Dp, so ergibt sich, dass die 2 Punkte, in welchen die verschiedenen Linienpaare den Horizont treffen, dann den geringsten Abstand von einander haben, wenn sich die beiden Linien in der Stellung zum Horizont befinden, welche D Dg und D Dp zeigen. Diese stehen zum Horizont, wie die Diagonalen eines Quadrats zu dessen Seiten, wie m n und m o zu o n, d. h. beide stehen in einem halben rechten Winkel zum Horizont. Dg und Dp sind Diagonalpunkte: ihre Entfernung vom Augpunkt ist gleich der Distanz und ihre Entfernung von einander doppelt so gross als die Distanz, Dg–Dp ist gleich 2 mal Dp.
Bei jeder andern Stellung der beiden Linien zum Horizont ist der Abstand jener beiden Punkte ein grösserer und er wird immer grösser, je ungleicher die Stellung der beiden Linien zum Horizont ist: c d ist grösser als Dp–Dg, a b grösser als c d u. s. w.
[§ 35.] Hieraus folgt, dass die 2 Fluchtpunkte eines rechten Winkels in schräger Ansicht wenigstens so weit von einander entfernt sein müssen, dass der zwischen ihnen liegende Teil des Horizonts doppelt so gross ist, als die Distanz. Diese muss nach [§ 18] wenigstens doppelt so gross sein, als eine Diagonale des Bildes, oder als eine Linie vom Augpunkt nach dem von ihm entferntesten Punkte, also muss, wenn beide Schenkel eines aus 2 wagrechten Linien bestehenden rechten Winkels verkürzt sind, die Entfernung ihrer Fluchtpunkte von einander wenigstens 4 mal so gross sein, als eine Linie vom Augpunkt nach dem von ihm entferntesten Punkte der Zeichnung. Z. B. in [Fig. 31] müssen, wenn A B und A C geometrisch rechtwinklige Linien sind, P Augpunkt und f die von P entfernteste Ecke des Bildes ist, die Fluchtpunkte der beiden genannten Linien einen Abstand von einander haben, der wenigstens = 4 mal P f ist.
Kommen in demselben Bilde verschiedene rechte Winkel in schräger Stellung vor, so müssen sie selbstverständlich in übereinstimmender Weise behandelt, d. h. es muss überall dieselbe Distanz zu Grunde gelegt werden.
Die falsche Wirkung, welche entsteht, wenn gegen jene Regel gefehlt wird, zeigt [Fig. 29]. Die Entfernung der beiden Fluchtpunkte von einander ist = 4 mal P f; daher wirken alle rechten Winkel, welche innerhalb der Kreislinie f f liegen, perspectivisch richtig, aber die Winkel bei m, n und o können nicht mehr als rechte Winkel gelten.
Fig. 29.
Andererseits zeigt [Fig. 25], dass dem Zeichner innerhalb der angegebenen Grenze einige Freiheit gestattet ist: a b e f wird auch dem geübtesten Auge ebenso als richtiges Bild eines Rechtecks erscheinen, wie a b c d.
[§ 36.] Allerdings ist nicht sofort ersichtlich, wie gross die Entfernung der beiden Fluchtpunkte ist oder sein muss, da niemals beide innerhalb der Zeichnung, häufig dagegen weit ausserhalb derselben liegen. Will man sich nicht mit der Aushilfe begnügen, welche [§ 27] in Betreff entfernter Fluchtpunkte angegeben wurde, so ist in [Fig. 30] eine genauere Berechnung gezeigt. A B und A C seien 2 verkürzte wagrechte Linien. Eine von A zum Horizont gezogene Senkrechte A P ist in 4 gleiche Teile geteilt und vom oberen Teilungspunkt a sind 2 Linien a b und a c geometrisch parallel mit A B und A C gezogen, indem an beliebigen Punkten der lezteren Linien z. B. in D und E 2 Senkrechte errichtet und D d und E e = A a gemacht wurden. c b kann nun als ein Viertel des Abstandes betrachtet werden, welchen die Fluchtpunkte der Linien A B und A C von einander haben und es lässt sich hienach bemessen, ob derselbe hinreichend gross ist. Wäre z. B. f der von P entfernteste Punkt der Zeichnung, so dürften die beiden Linien A B und B C nicht stärker als hier der Fall ist gegen einander geneigt sein, der Abstand ihrer Fluchtpunkte dürfte nicht kleiner sein als 4 mal c b; denn c b ist = P f.
Fig. 30.
Oder: wenn A B als erste Linie gezeichnet ist, so muss, nachdem a b parallel mit A B gezogen und b c = P f gemacht ist, die zweite von A ausgehende Linie entweder parallel mit a c oder nach einem ferner liegenden Fluchtpunkt gerichtet sein, d. h. eine flachere Richtung haben, als A C.
Würden bei einer Vierteilung der erstgenannten Senkrechten nicht beide den Punkten b und c entsprechenden Punkte innerhalb der Zeichnung fallen, so halbiere man das dem Horizont zunächst liegende Viertel und ziehe von hier aus die beiden Linien nach dem Horizont, also i g und i k statt a b und a c. Die Punkte, wo sie den Horizont treffen, hier g und k, müssen in diesem Fall einen Abstand haben, der wenigstens halb so gross ist, als eine Linie vom Augpunkt nach dem von ihm entferntesten Punkte.