Tonnengewölbe, Kreuzgewölbe, Spizbogen, Kuppel.
[§ 101.] [Fig. 109] stellt ein sogenanntes Tonnengewölbe dar. Dasselbe hat die Form eines halben Cylinders, welcher in [Fig. 109] auf den nach dem Augpunkt gehenden Linien a e und b f ruht. Die Construction besteht einfach darin, dass über a b und e f je ein Halbkreis von den Mittelpunkten c und d aus beschrieben wird. Die Fugenlinien des Gewölbes gehen teils parallel mit a e und b f, teils sind sie Teile von Halbkreisen, welche mit den beiden ersteren parallel sind, deren Mittelpunkte somit in der Linie c d liegen. So ist der Mittelpunkt des Halbkreises m n p da, wo die Wagrechte m p von c d durchschnitten wird, in o. Die Fugenlinien g h, i k u. s. w. haben die Richtung nach c, dem Mittelpunkt der beiden durch k h und i g gehenden Halbkreise.
Fig. 109.
[§ 102.] [Fig. 110] zeigt die Hauptlinien eines von aussen und oben gesehenen rundbogigen Kreuzgewölbes. A B C D ist ein Quadrat; über jeder Seite desselben erhebt sich ein Halbkreis, die gegenüberliegenden Ecken des Quadrats, A und C, B und D, sind nach oben verbunden durch 2 elliptische Linien, die sogenannten Diagonalrippen oder -gurten, welche sich über den Diagonalen A C und B D hinziehen. Der Scheitelpunkt n des Gewölbes, in welchem die beiden Ellipsen sich durchschneiden, liegt senkrecht über der Kreuzung der Diagonalen A C und B D, er ist zugleich Schnittpunkt der Diagonalen E z und F t. Es entstehen so 4 Gewölbefelder oder Kappen, welche je von einem Halbkreis und 2 Hälften jener Ellipsen begrenzt werden, z. B. von A m B, A n und B n, vgl. die innere Ansicht [Fig. 111]–[113].
Fig. 110.
Bei der perspectivischen Construction einer solchen Gewölbeform handelt es sich, nachdem über jeder Seite des zu Grunde gelegten Quadrats ein Halbkreis gezeichnet ist, hauptsächlich um die Bestimmung einiger weiteren Hilfspunkte ausser dem durch E z und F t gegebenen Punkte n behufs Darstellung der beiden elliptischen Linien. Die Halbkreise A m B und A h D werden von 2 Linien, welche man aus E nach der Mitte von A B und von A D zieht, in a und in b geschnitten. Diese beiden Punkte liegen in gleicher Höhe; zieht man aus a eine Linie parallel mit A D, also nach dem Augpunkt, und aus b eine Parallele mit A B, d. h. eine unverkürzte Wagrechte, so müssen diese beiden Linien in dem Punkte c der von A ausgehenden Ellipse A n C zusammentreffen, welcher mit a und b in gleicher Höhe liegt und kann somit dieser Punkt benuzt werden, um A c n zu zeichnen.
Dem Punkte a entspricht auf der rechten Seite e, eine Linie von hier nach dem Augpunkt und eine Wagrechte aus c schneiden sich in d. Die entsprechenden jenseitigen Punkte der beiden Ellipsen ergeben sich durch die aus a und e nach dem Augpunkt gehenden Linien und eine Wagrechte von g nach f oder umgekehrt.
[§ 103.] [Fig. 111] zeigt dieselben Linien von unten und von innen gesehen, mit dem Unterschied, dass die 2 Seitenkappen geschlossen bis A D und B D herabgehen (wie auch in [Fig. 113]). Der Fluchtpunkt dieser und der mit ihnen parallelen Linien ist wiederum der Augpunkt; A B, C D und die beiden Halbkreise sind unverkürzt. Um die beiden Diagonalgurten zu zeichnen, ist hier ein anderer Weg eingeschlagen. In [Fig. 110] liegen die Punkte y und x in gleicher Höhe mit a, b und f. Zieht man von y eine mit A C und E z parallele Linie nach x, von E und z 2 Linien nach p, so erhält man da, wo die Linie y x von E p und z p geschnitten wird, gleichfalls die Punkte c und s, welche nun mittels unverkürzter Wagrechter nach d und r übertragen werden können.
Fig. 111.
In [Fig. 111] entspricht das senkrecht stehende von unten gesehene Rechteck E A C z dem Rechteck E A C z in [Fig. 110]; auch die übrigen einander entsprechenden Punkte beider Figuren sind durch dieselben Buchstaben bezeichnet. Der Halbkreis A m B wird von der Diagonale E G in a geschnitten. Zieht man von a eine Wagrechte nach y und von y eine mit E z parallele Linie nach x, so erhält man durch E p und z p die Punkte c und s u. s. w.
[§ 104.] In [Fig. 112] ist von einem beliebigen Punkte a des Halbkreises A m B eine Senkrechte nach o und von hier eine Linie parallel mit E y d. h. nach dem Augpunkt gezogen, welche die Diagonalen des Quadrats E F z y in i und k schneidet. Zieht man nun von i und k 2 Senkrechte nach der aus a nach dem Augpunkt gehenden Linie, so erhält man die Punkte c und r, vgl. dieselben Punkte in [Fig. 110].
Fig. 112.
Durch eine Wagrechte aus a nach e, eine Linie von e nach dem Augpunkt und 2 Wagrechte aus c und r ergeben sich sodann d und s.
Fig. 113.
Wenn die seitlichen Kappen, wie in [Fig. 113], geschlossen bis auf die wagrechte Linie herabgehen, auf welcher das Gewölbe ruht, so ist das leztgenannte Verfahren bequemer als das in [§ 102] beschriebene. Die Anwendung desselben auf [Fig. 113] ist aus den Constructionslinien zu ersehen. A m B ist hier nicht ein Halbkreis, sondern ein flacher Bogen, ein sogenannter Korbbogen. Der obere Teil desselben ist aus dem senkrecht unter G liegenden Punkte g beschrieben, die Fortsezung bis A und B kann leicht aus freier Hand ergänzt werden.
[§ 105.] Ein Spizbogen wird gebildet durch 2 sich durchschneidende Bögen, wie A, B, C [Fig. 114] zeigen. In A sind die beiden Bögen von a und von b aus mit der Zirkelweite a b beschrieben, in B von den Punkten m und n aus mit der Weite m c, in C von o und i aus mit der Weite i e (m d = n c, o e = i f). Die den Spizbogen umgebenden Fugenlinien haben die Richtung nach dem Mittelpunkte des betreffenden Bogens: in A nach a und b, in B nach m und n, in C nach i und o.
Fig. 114.
Sind mehrere in einer Flucht liegende Spizbögen in verkürzter Stellung zu zeichnen, so bilde man das Rechteck eines Spizbogens z. B. a b c d [Fig. 115] und ziehe in demselben die senkrechte Mittellinie. Man kann nun eine der Bogenlinien z. B. a B (leichter als b B) aus freier Hand zeichnen und den Punkt o, in welchem sie von der Diagonale A d geschnitten wird, mittels e f, A c, g C u. s. w. nach n, m u. s. w. übertragen, was für gewöhnlich genügen wird. Ist grössere Genauigkeit erforderlich, so kann mit Hilfe eines Distanzpunktes anschliessend an a d ein unverkürztes Rechteck a d z y gebildet und a h als geometrische Form der anstossenden unverkürzten Bogenlinie gezeichnet werden, worauf der Punkt i nach e und von hier nach o, n, m u. s. w. übertragen wird.
Fig. 115.
[§ 106.] Als Beispiel eines spizbogigen Kreuzgewölbes ist in [Fig. 116] der Deutlichkeit wegen die einfachste Form eines solchen gewählt; es wird jedoch nicht schwierig sein, das dabei angewandte Verfahren auf andere Formen, welche sehr mannigfaltiger Art sein können, anzuwenden. Die Mittelpunkte der Bogen A m und B m, D o und C o sind in a und b, e und f. A a ist ein Viertel von A B, A B C D ist ein Quadrat. A i ist = A B; eine Linie von B nach i stellt also die geometrische Länge der Diagonale A C dar. Es ist nun ein Rechteck G H h g gebildet, in welchem G H = B i = A C und G g = A E ist; G H h g ist somit die geometrische Form des verkürzten Rechtecks A E z C; der von g nach h führende Bogen ist = der von A nach C führenden Diagonalrippe. Da G g die Hälfte von G H ist, so ergibt sich, dass jene Diagonalrippe ein Halbkreis ist. Wird nun E y = G k gemacht, so kann die Lage der Punkte c, s, d und r wie bei [Fig. 111] bestimmt werden.
Fig. 116.
[§ 107.] [Fig. 117] zeigt eine von oben gesehene, in 8 Felder geteilte Halbkugel. Der ihren äusseren Umriss bildende Halbkreis ist mit dem Zirkel vom Mittelpunkt der Linie A a aus beschrieben. Indem die Linien A i und a i zugleich als Teilungslinien angenommen wurden, ergeben sich die weiteren Teilpunkte der durch A und a gehenden Kreislinie, nämlich B, C, D, b, c und d, durch die Halbierungslinie und Diagonale des jenen Kreis umschliessenden Quadrats, und es stellt sich der von C durch i nach c führende Halbkreis als Eine senkrechte Linie dar. Um die verkürzten Halbkreise B m o b und D n p d zu zeichnen, ist das Quadrat E F G H (E B = der Hälfte von B D) senkrecht über B D b d gebildet, in welchem die auf bekannte Weise bestimmten Punkte m, n, o, p als Hilfspunkte für jene Halbkreise dienen.
Fig. 117.
[§ 108.] In [Fig. 118] sei der durch A B C D gehende Kreis und in diesem der Punkt B gegeben, um von hier aus eine achtseitige eiförmige Kuppel und darüber eine gleichfalls achtseitige Laterne zu zeichnen.
Fig. 118.
Die Teilung des Kreises in 8 Teile ist in [§ 95] [Fig. 101] gezeigt. Die Ausführung in [Fig. 118] ist nur insofern verschieden, als hier die Constructionslinien an die fernere Linie des den Kreis einschliessenden Quadrats nach unten angefügt sind. Sodann ist entsprechend dem Umfang, welchen die Laterne haben soll, ein kleinerer Kreis von demselben Mittelpunkt y aus gezeichnet, welcher durch den von A, B, C, D nach y gehenden Halbmessern in den Punkten a b c d geschnitten wird. Die in a b c d errichteten Senkrechten bilden die Ecklinien der 3 sichtbaren Seiten der Laterne, welche oben und unten durch Parallelen der Linien A B, B C und C D begrenzt sind. Die Linien A n, B e, C o und D m treffen in ihrer Verlängerung zusammen in einem Punkte der senkrechten Mittellinie, hier in z, und es ist zu beachten, dass dieser Punkt bei einer derartigen Kuppelform höher liegen muss, als der Mittelpunkt des Kreises, welcher durch n, e, o, m geht, hier also höher, als x.