I. Wie ist reine Mathematik möglich?
Die mathematischen Sätze leiten wir nicht aus einzelnen Erfahrungen her; wenn wir z. B. beweisen wollen, daß die Winkelsumme des Dreiecks zwei Rechte beträgt, so messen wir nicht die Winkel möglichst vieler Dreiecke nach, sondern wir führen einen ganz allgemeinen Beweis, der auf andere einfachere Sätze und schließlich auf unbeweisbare Grundsätze zurückgeht. Das Dreieck, welches wir uns dabei vielleicht aufzeichnen, dient nur zur Erleichterung des Verständnisses. Seine besondere Beschaffenheit, ob es rechtwinklig, spitzwinklig oder stumpfwinklig, ob es gleichseitig oder ungleichseitig ist, bleibt ganz außer Betracht. Ja wir wissen genau, daß das gezeichnete Dreieck den Anforderungen der Geometrie nicht völlig entspricht. Für unseren Beweis sind seine Seiten ohne Breite, während jede gezeichnete Linie eine gewisse Breite besitzt. In den mathematischen Wissenschaften haben wir also eine Fülle von Sätzen, die rein, unabhängig von jeder Erfahrung gelten. Diese Wahrheiten aber sind uns höchst wichtig; denn wir sind überzeugt, daß alle unsere Erfahrungen über körperliche Dinge diesen Sätzen entsprechen werden. Jeder Physiker oder Astronom setzt bei seinen Messungen die Lehrsätze der Geometrie voraus. Wir haben früher gesehen, wie Descartes und seine Nachfolger in der Geometrie das Vorbild rein verstandesmäßiger Erkenntnis erblickten. Sie glaubten, daß die geometrischen Sätze sich durch bloßes Denken gewinnen ließen und hofften daher, in ähnlicher Weise ein System wahrer Sätze über Gott und das Weltganze aufstellen zu können. Kant war mit ihnen einig darin, daß die geometrischen Sätze nicht aus der Erfahrung abgeleitet sind. Aber ebensowenig lassen sie sich aus dem bloßen logischen Denken heraus gewinnen; wenn wir auch den Begriff der geraden Linie, des Punktes, der Ebene und der Parallelen aufgestellt haben, können wir daraus noch nicht den Grundsatz ableiten, daß in einer Ebene zu jeder geraden Linie durch jeden Punkt außerhalb dieser Geraden eine und nur eine Parallele gezogen werden kann. Die Überzeugung von der Wahrheit dieses Satzes beruht auf den Grundeigenschaften unserer räumlichen Anschauung. Ähnliches gilt von allen Grundsätzen der Geometrie. Hier steht also zwischen dem Denken und den einzelnen sinnlichen Wahrnehmungen noch etwas Drittes: der Raum. Jede unserer Wahrnehmungen von Körpern ist räumlich, darum gelten von ihr die Grundeigenschaften des Raumes. Hätte sie diese Form nicht, so könnten wir sie gar nicht in unsere einheitliche Vorstellung einer Körperwelt einordnen. Diese allgemeine Form des Raumes ist nicht aus einzelnen Erfahrungen abzuleiten; denn die Erfahrung als Verknüpfung der einzelnen Empfindungen in eine einheitliche Welt ist nur mit Hilfe des Raumes möglich. Aber die Eigentümlichkeiten des Raumes, die in den geometrischen Grundsätzen ausgesprochen werden, sind ebensowenig denknotwendig in dem Sinne, daß es ein Widerspruch wäre, sie zu bestreiten. In Gedanken können wir uns z. B. ganz gut mit Räumen von vier und mehr Dimensionen beschäftigen. Wenn also der Raum weder Erfahrung noch denkerzeugter Begriff ist, so bleibt nur eins noch übrig: er ist eine reine, d. h. von aller Erfahrung unabhängige Form unserer äußeren Anschauung oder, was dasselbe sagt, unserer Anschauung der Körperwelt. Die Sätze der Geometrie sind allgemein gültig, weil alle unsere körperliche Erfahrung nur in den Formen dieser Anschauung möglich ist. Was vom Raum gilt, gilt ganz ähnlich auch von der Zeit, nur daß sie unserer Erfahrung noch viel allgemeiner zugrunde liegt. Die Verknüpfung der seelischen Vorgänge, der Gedanken und Gefühle, alles dessen, was wir unsere innere Erfahrung nennen können, findet nicht im Raume, wohl aber in der Zeit statt. Nach Kant steht die Arithmetik in einem ähnlichen Verhältnisse zur Zeit wie die Geometrie zum Raum. Man kann das verstehen, wenn man das Zählen als Vorbedingung der Zahl ansieht. Doch führt das auf schwierige und sehr umstrittene Probleme, die hier darzulegen unmöglich ist. Wir haben so zwei reine Anschauungsformen, durch die alle einzelnen Erlebnisse geordnet sind. Die Gesetzlichkeit dieser Formen sprechen wir in den Grundsätzen der Mathematik aus. Die Geltung der Mathematik für alle Erfahrungen beruht auf diesen reinen Anschauungsformen. Was nicht in Raum und Zeit angeordnet ist, bleibt für uns schlechthin unerkennbar.