§ 15. Einfache Schattenkonstruktionen.

41. Schatten bei parallelem Lichte. Die undurchsichtigen Körper haben die Eigenschaft, daß sie das auf sie fallende Licht irgendeiner Lichtquelle nicht durchgehen lassen, sondern es aufhalten oder verschlucken (absorbieren), so daß sich hinter dem Körper ein lichtleerer Raum, der Schatten, ausbildet. Indem wir den Unterschied von Licht und Schatten auch im Bilde etwa durch Schraffierung der beschatteten Teile einigermaßen wiedergeben, erreichen wir eine größere Naturtreue.

Fig. 82.

Was die Lichtquelle betrifft, so wollen wir uns vorstellen, die Sonne ziehe sich zu einem Punkte zusammen, etwa auf ihren Mittelpunkt, und stehe außerdem fest am Himmel. Die dann entstehende Beleuchtung können wir durch folgende Bestimmung ersetzen. Wir geben uns eine Gerade s beliebig im Raume ([Fig. 82]) und nehmen an, daß alle Lichtstrahlen zu dieser Geraden s parallel sind. Der ganze Raum ist erfüllt von diesen parallelen Lichtstrahlen. Wir nennen dies eine »Beleuchtung durch parallele Lichtstrahlen«.

Es sei jetzt eine Stange pq gegeben, die auf der Grundebene senkrecht steht ([Fig. 82]). Wie können wir den Schatten ermitteln, den sie in die Grundebene wirft? Alle auf die Gerade pq treffenden Lichtstrahlen werden aufgehalten und bilden fortgesetzt eben den Schatten der Geraden pq. Wir haben demnach durch die Punkte der Geraden pq die parallelen zur Geraden s zu zeichnen. Alle diese Parallelen liegen aber, wie man leicht erkennt, in einer Ebene und diese Ebene schneidet aus der Grundebene den Schatten der Geraden pq aus, der also eine Gerade ist. Offenbar geht dieser Schatten durch den Fußpunkt q der Stange. Das Ende des Schattens aber erhalten wir, wenn wir durch den Endpunkt p den Lichtstrahl legen. Trifft dieser in p_* die Grundebene, so ist p_* der Schatten des Punktes p und qp_* wird der Schatten der Geraden pq. Im Gegensatz zu dem Schatten, den die Gerade pq unter Umständen auf andere Körper wirft, nennen wir den Schatten qp_* auf der Grundebene den »Grundschatten«. Eine zweite, ebenfalls auf der Grundebene senkrechte Gerade rt liefert ganz in der gleichen Weise den Grundschatten tr_* und man sieht ohne Mühe ein, daß tr_* ∥ qp_*. Allgemein kann man sagen:

Satz 26. »Parallele Gerade liefern parallele Grundschatten auf der Grundebene.«

Fig. 83.

Weiter handelt es sich nun darum, die Bilder dieser Schatten zu zeichnen. Wir beachten zu diesem Zwecke, daß die Lichtstrahlen parallele, schiefe Gerade sind, wie wir sie im [§ 9] betrachtet haben. Diese parallelen Geraden haben also einen Fluchtpunkt, den wir erhalten, wenn wir durch das Auge O eine Parallele zur Geraden s ziehen und den Schnittpunkt S dieser Parallelen mit der Tafel ermitteln. Hat der in O befindliche Beschauer die (punktförmige) Lichtquelle im Rücken, so befindet sich der Fluchtpunkt S unterhalb des Horizonts. Fällen wir von S aus in der Bildebene eine Senkrechte zum Horizont und nennen S_h ihren Fußpunkt, so können wir die Betrachtung von 27 ohne weiteres auch hier anwenden und sehen, daß OS_h ∥ qp_* ∥ tr_*.

Fig. 84.

Mit anderen Worten:

Satz 27. »Der Punkt S_h, die Projektion des Fluchtpunktes S der parallelen Lichtstrahlen auf den Horizont, ist der Fluchtpunkt der Grundschatten.«

Die Bilder der Grundschatten fliehen also alle nach S_h ([Satz 23]). Damit erledigt sich nun leicht folgende

Aufgabe 25. Eine auf der Grundebene senkrechte Gerade pq ist im Bilde gegeben; man zeichne ihren Grundschatten, wenn das parallele Licht durch den Punkt S gegeben ist.

Durch die Annahme des Punktes S ([Fig. 83]) ist die Beleuchtung vollständig gegeben, da damit die Richtung der Lichtstrahlen bestimmt wird. Fällen wir von S ein Lot zum Horizont, so liefert dies den Fluchtpunkt S_h der Grundschatten. Ist p'q' das gegebene Bild (wir nehmen an, es wäre bereits gefunden), so gibt die Verbindungslinie von q' nach S_h den Grundschatten. Der durch p gehende Lichtstrahl muß aber einerseits durch p', andererseits durch den Fluchtpunkt S gehen; demnach schneidet die Verbindungslinie von S nach p' auf der Linie von q' nach S_h den Endpunkt q_*' des Grundschattens aus. Es ist q'p_*' das Bild des Grundschattens. Die einfache Regel lautet also: p_*' ist der Schnittpunkt der Linien q'S_h und p'S.

Damit ist aber auch die Aufgabe gelöst: den Schatten eines beliebigen Punktes in der Grundebene zu zeichnen. Denn wir brauchen ja nur von dem Punkte das Lot auf die Grundebene zu fällen und dessen Fußpunkt zu ermitteln. Dann können wir nach der obigen Aufgabe den Schatten dieser Senkrechten ermitteln. Wir wenden das an in folgender

Aufgabe 26. Den Schatten zu zeichnen, den ein Obelisk in die Grundebene wirft.

Das Bild des Obelisken, der auf der Grundebene steht, ist nach dem Früheren gezeichnet ([Fig. 84]). Um den Schatten in der Grundebene zu ermitteln, geben wir uns den Punkt S und seine Projektion S_h. Zunächst zeichnen wir von der in der Tafel liegenden Kante 1.2 des Sockels nach der oben abgeleiteten Regel den Schatten 1.2_*'; ebenso finden wir den Schatten 4.3_*' der Kante 3.4. Die Verbindungslinie 2_*'.3_*' ist dann der Schatten der Kante 2.3 und sie flieht, wie man leicht erkennt, nach A. Nun sind die Schatten der 4 Kanten des Obelisken zu zeichnen. Die durch 5 gehende Kante verlängern wir bis zu ihrem Schnittpunkt 6 mit der Grundebene und erhalten in 6.5_*' ihren Schatten. Ebenso wird 8.7_*' der Schatten der Kante 7.8. Die Schatten der beiden anderen Kanten fallen, wie die Konstruktion zeigt, zwischen diese beiden Schatten hinein, so daß also 6.5_*' und 8.7_*' den Schatten in der Grundebene begrenzen. Zeichnen wir noch den Schatten 9_*' der Spitze 9, indem wir die Senkrechte 9.10 benutzen, so ist der »Schlagschatten« des Obelisken in der Grundebene fertiggestellt, wenn man 9_*' mit 5_*' und 7_*' verbindet.

Es bildet sich aber auch auf dem Körper ein Gegensatz von Licht und Schatten aus, in dem gewisse Teile des Körpers in Schatten gesetzt werden (Eigenschatten). Schneidet die Linie 6.5_*' die Kante 1.4 in 11, so geht die Begrenzung des Schattens auf dem Sockel senkrecht in die Höhe nach 12. Auf der oberen Fläche des Sockels gibt dann die Linie von 13 nach 12 die Grenze des Schattens und es kann zur Kontrolle dienen, daß sie als ein Grundschatten nach S_h laufen muß. Ferner befinden sich die durch die Kante 13.5 gehende Fläche des Obelisken und die daran sich schließende durch 5.9 gehende Deckfläche im Schatten, was durch Schraffierung angedeutet ist.

Endlich mag noch bemerkt werden, daß man den Punkt S auch oberhalb des Horizonts annehmen kann. Dann hat der Beschauer die Lichtquelle vor sich und die Schatten bilden sich im Bilde nach vorne aus.