§ 2. Der gerade (rechtwinklige) Riß.

4. Die Senkrechte von einem Punkte auf eine Ebene. Hängen wir einen schweren Körper, z. B. eine kleine Metallkugel oder ein Gewicht, vermittels eines Fadens etwa an der Decke eines Zimmers auf, so nimmt der Faden, nachdem der Körper zur Ruhe gelangt ist, unter dem Einfluß der Anziehung der Erde eine ganz bestimmte Lage an, welche nach dem Erdmittelpunkt hin gerichtet ist. Wir nennen diese Richtung »lotrecht« oder »vertikal«. Denken wir uns weiter unter dem Faden ein Gefäß mit einer Flüssigkeit, z. B. Wasser oder Quecksilber, so bildet deren Oberfläche eine Ebene, die wir als »wagrecht« oder »horizontal« bezeichnen. Wir sagen dann weiter, daß die Richtung des Fadens auf der Oberfläche der Flüssigkeit senkrecht stehe oder lotrecht zu ihr sei. Das an einem Faden befestigte Gewicht liefert ja auch den sog. »Senkel«, und mittels dieses allbekannten Instrumentes werden beim Bau eines Hauses die Steine in horizontalen Lagen angeordnet und die Mauern lotrecht aufgeführt.

Fig. 3.

Diese physikalische Tatsache erleichtert dann aber das Verständnis für den folgenden mathematischen

Satz 2. »Ist eine Ebene Π₁ gegeben und ein Punkt p außerhalb derselben ([Fig. 3]), so kann man von dem Punkte auf diese Ebene immer eine Senkrechte oder ein Lot fällen. Diese Senkrechte schneidet die Ebene in einem Punkte, den wir p₁ nennen wollen. Er mag der Fußpunkt der Senkrechten heißen. Der Abstand des gegebenen Punktes von der gegebenen Ebene ist gleich der Entfernung, welche der gegebene Punkt p und der Fußpunkt p₁ bestimmen, also = der Strecke pp₁.«

Die Ebene Π₁ kann ganz beliebig im Raume liegen. Ist sie im besondern eine wagrechte Ebene, so fällt die senkrechte zu ihr mit der »Vertikalen« zusammen.

Fig. 4.

5. Der gerade (rechtwinklige) Riß. Den Fußpunkt p₁ der von einem Punkte p auf eine Ebene Π₁ gefällten Senkrechten nennt man den geraden oder rechtwinkligen oder orthogonalen Riß des Punktes p auf die Ebene Π₁. Die Ebene Π₁ heißt wieder die Bildtafel, Bildebene oder kurz Tafel. Statt Riß wird auch das Wort Projektion gebraucht, das allerdings gleichzeitig den ganzen Vorgang bezeichnet. Man sagt auch: der Punkt p ist orthogonal auf die Ebene Π₁ projiziert worden.

Was wir für einen einzelnen Punkt durchgeführt haben, können wir jetzt auch auf einen Körper und die an ihm auftretenden Linien anwenden. Es sei z. B. ein Würfel abcdefgh gegeben und die Ebene Π₁; wir erläutern den ganzen Vorgang, wie er sich im Raume abspielt, durch die [Fig. 4]. a sei eine Ecke des Würfels. Wir denken uns durch a das Lot zur Ebene Π₁ gezeichnet, welches in a₁ die Tafel Π₁ durchsetzt. a₁ ist der gerade Riß des Punktes a. Eine zweite Ecke b des Würfels liefert ebenso den Riß b₁. Dann wird man leicht einsehen, daß alle Punkte auf der Verbindungsstrecke ab Risse haben, welche auf der Verbindungsstrecke a₁b₁ liegen, d. h. a₁b₁ ist der Riß von ab. Führen wir die Projektion für alle Ecken und Kanten des Würfels durch, so erhalten wir die Figur a₁b₁c₁d₁e₁f₁g₁h₁, die den orthogonalen Riß des Würfels in der Ebene Π₁ gibt. In [Fig. 5] ist weiter ein solcher Riß in seiner wahren Gestalt wiedergegeben. Dabei wurde also die Ebene des Papiers als Tafel Π₁ gewählt. Der Würfel selbst schwebt im Raume über der Buchseite.

Die Figur kann auch dazu dienen, folgenden übrigens leicht zu beweisenden Satz zu veranschaulichen:

Satz 3. Die geraden Risse paralleler Geraden sind selbst wieder parallel.

Beispielsweise sind ab und cd zwei im Raume parallele Gerade, und ihre Risse a₁b₁ und c₁d₁ sind ebenfalls parallel.

Wir wollen nun noch eine ganz selbstverständliche Eigenschaft einer solchen Darstellung kennen lernen.

Fig. 5.

A sei eine Gerade, welche senkrecht auf der Tafel Π₁ steht ([Fig. 6]). Wählen wir auf ihr beliebig einen Punkt a, so fällt das Lot, das man von ihm aus auf die Tafel fällen kann, natürlich mit der Geraden A zusammen, und der rechtwinklige Riß des Punktes a wird der Punkt a₁, in dem die Gerade A die Bildebene durchbohrt. Aber auch jeder andere Punkt b, c … von A hat einen Riß b₁, c₁ …, der stets mit a₁ sich deckt. Mit anderen Worten: Die Gerade A, welche auf der Bildtafel senkrecht steht, hat als Riß einen Punkt, ihren Schnittpunkt mit der Tafel.

Stellen wir uns ferner eine Ebene efki vor ([Fig. 6]), welche auf der Bildebene senkrecht steht, also z. B. eine lotrechte, vertikale Mauer, wenn Π₁ horizontal gedacht wird, und ist ef die Schnittlinie dieser Ebene mit der Tafel, so fallen die geraden Risse aller Punkte dieser Ebene auf die Linie ef. Eine solche Ebene hat demnach als Riß eine Gerade, nämlich die Schnittlinie der Ebene mit der Tafel.

Fig. 6.

Gerade und Ebenen, welche auf der Bildebene senkrecht stehen, verschwinden folglich gewissermaßen im geraden Riß; aus dem Riß kann man die Ausdehnung solcher Geraden und Ebenen nicht beurteilen. Ist z. B. in [Fig. 6] defghikl ein Würfel, der mit seiner einen Fläche defg in der Tafel liegt, so ist der gerade Riß des Würfels eben dieses Quadrat defg. Die vier Kanten dh, ei, fk, gl erscheinen als Punkte, und die vier Ebenen deih, efki, fglk und gdhl, welche auf der Tafel senkrecht stehen, gehen durch die Projektion in die Geraden de, ef, fg, gd über. Setzen wir aber auf diesen ersten Würfel einen zweiten Würfel hiklmnop, so hat dieser zweite Würfel den gleichen Riß defg, und auch das aus den beiden Würfeln bestehende Prisma defgmnop hat den Riß defg. [Fig. 7] gibt wieder die wahre Gestalt der Risse.

Fig. 7.

Auch solche rechtwinklige Risse hat ein jeder schon gesehen. Denn jeder Plan einer Stadt ist ein derartiger Riß; die Bildtafel ist dabei eine horizontale Ebene. Wir wollen dieses Beispiel aber auch noch dazu benutzen, um uns darüber klar zu werden, mit welchem Rechte man auch diese rechtwinkligen Risse als Bilder der betreffenden Gegenstände bezeichnet. Wir fragen uns mithin: von wo aus betrachtet sieht eine Stadt so aus wie ihr Plan? Besteigen wir einen der Türme der Stadt und blicken von ihm aus, also aus einer Höhe von vielleicht 100 m, auf dieselbe herunter, so wird nur die nächste Umgebung des Turmes so erscheinen wie auf dem Plane. Von den weiter entfernt gelegenen Häusern dagegen sehen wir noch Fenster, Türen usf. Steigen wir aber in einem Ballon bis zu einer Höhe von etwa 1000 m über der Stadt auf, so wird schon ein größerer, unmittelbar unter dem Ballon gelegener Teil der Stadt uns so erscheinen, wie er auf dem Plane wiedergegeben ist. Je höher wir uns über die Stadt erheben, um so mehr sehen wir die Stadt unter uns so wie auf dem Plane. Aber erst wenn wir das Auge auf einer Senkrechten zur Bildebene über alle Maßen weit entfernt denken ([Fig. 6]), dann würde es die Gegenstände so sehen, wie sie im rechtwinkligen Riß dargestellt sind. Alle Sehstrahlen sind jetzt parallel, da sie alle senkrecht auf der Bildebene stehen. Wir erkennen demnach:

Satz 4. Der rechtwinklige Riß eines Gegenstandes ist das Bild, wie es einem Beobachter erscheint, der sich unendlich weit von der Bildebene entfernt befindet und senkrecht auf sie herunterschaut.

Weil alle zur Bildebene senkrechten Abmessungen im rechtwinkligen Riß verschwinden, so können wir aus einem Plan keinen Aufschluß gewinnen über die Höhe der einzelnen Häuser, der Mauern, Türme.

6. Bestimmung eines Gegenstandes durch zwei rechtwinklige Risse. Ist es nun aber nicht möglich, einen Gegenstand vollständig durch Risse zu bestimmen, so daß alle Abmessungen desselben, Länge, Breite, Höhe usf., aus den Darstellungen entnommen werden können? Da ein Riß in einer Ebene nach dem Obigen nicht genügt, so geben wir uns noch einen zweiten Riß in einer zweiten Tafel. Wir wählen also noch eine zweite Bildtafel Π₂, die der Einfachheit wegen auf der ersten Bildtafel Π₁ senkrecht stehe. Die in [Fig. 8] gegebene Ansicht möge wieder dazu dienen, sich die räumlichen Überlegungen klar zu machen. Es ist nun natürlich nötig, beide Tafeln und die in ihnen liegenden Risse zu unterscheiden. Die Ecke a des Würfels liefert in der ersten Tafel Π₁ den Riß a₁. Außerdem hat der Punkt a aber auch einen Riß in der zweiten Tafel. Wir erhalten denselben nach unserer Definition, indem wir uns von a eine Senkrechte zu Π₂ konstruiert denken. Durchsetzt diese Senkrechte in a₂ die zweite Tafel, so ist dieser Punkt der Riß von a in der Π₂. Wir nennen a₁ den ersten, a₂ den zweiten Riß des Punktes a. Wie ferner der Würfel abcdefgh in der Π₁ den Riß a₁b₁c₁d₁e₁f₁g₁h₁ liefert, so läßt sich nun auch der zweite Riß a₂b₂c₂d₂e₂f₂g₂h₂ des Würfels in der Π₂ konstruieren. Die beiden Risse werden also durch die rechts unten angebrachten Zahlen unterschieden. Die erste Tafel Π₁ können wir uns als eine horizontale Ebene denken, und wir nennen den in ihr gelegenen ersten Riß auch den »Grundriß« oder die »Horizontalprojektion«. Die zweite Tafel Π₂ ist dann eine Vertikalebene, und der in ihr gelegene zweite Riß heißt auch »Aufriß« oder die »Vertikalprojektion«. Was für den ersten Riß erörtert wurde, gilt natürlich ganz ebenso auch für den zweiten. In Sonderheit erscheinen wieder Gerade, welche zur Aufrißebene Π₂ senkrecht stehen, in ihr als Punkte und Ebenen, welche auf Π₂ senkrecht stehen, bilden sich als Gerade in der Π₂ ab.

Fig. 8.

Denken wir uns jetzt die beiden Tafeln Π₁ und Π₂ etwa in Holz gefertigt und miteinander fest verbunden. Weiter sei ein Würfel im Raume gegeben und in seiner Lage gegen die beiden Tafeln fixiert ([Fig. 8]). Wir wollen von dem Würfel den Grundriß und den Aufriß zeichnen. Nachdem dieses geschehen ist, entfernen wir den Würfel. Dann ist durch die beiden auf den Tafeln gezeichneten Risse der Würfel immer noch bestimmt. Denn wir können von jeder seiner Ecken die Lage im Raume bestimmen. In der Tat sind z. B. a₁ und a₂ die beiden Risse einer Ecke, so errichten wir im Punkt a₁ der Grundrißebene eine Senkrechte zur Π₁, und ebenso konstruieren wir im Punkte a₂ der Aufrißebene eine Senkrechte zu ihr. Dann werden sich diese beiden Lote schneiden, und ihr Schnittpunkt gibt die Ecke a. In der gleichen Weise können wir für alle anderen Ecken des Würfels ihre Lage im Raume bestimmen. Also ist auch der ganze Würfel dadurch festgelegt: es wäre möglich, z. B. durch Stäbchen und Glasperlen die Ecken des Würfels wirklich im Raume anzugeben. Überhaupt kann man sagen:

Satz 5. Sind die beiden Tafeln im Raume gegeben und in ihnen die Risse eines Gegenstandes, in der richtigen Zuordnung, so daß also von jedem Punkte die beiden Risse unterschieden werden, so ist dadurch der Gegenstand und seine Lage im Raume bestimmt.

Fig. 9.

7. Das Zusammenlegen der Tafeln. Es wäre recht unbequem, wollte man sich stets der beiden senkrecht zueinander befestigten Tafeln bedienen, wenn man sich auf Grund irgendwelcher Risse einen Körper vorstellen soll. Was wir wollen, ist eine auf einem Blatte befindliche Zeichnung, die dann bequem überall zu benutzen ist. Zu einer solchen gelangen wir, wenn wir die zweite Tafel sich mit der ersten vereinigen lassen. Es sei K die Schnittlinie der beiden Tafeln ([Fig. 9]), die wir kurz die Kante nennen. Wir drehen nun die Π₂ um K wie um ein Scharnier so lange, bis Π₂ mit Π₁ zusammenfällt.

Die [Figur 9] veranschaulicht wieder zunächst den räumlichen Vorgang. Der beliebige Punkt a hat als ersten Riß den Punkt a₁, als zweiten Riß den Punkt a₂' Es fragt sich, wohin a₂' gelangt, wenn die Aufrißebene Π₂ durch die Drehung mit der Grundrißebene zur Deckung gebracht wird. Die beiden Senkrechten aa₁ und aa₂' bestimmen doch eine Ebene, welche auf der Kante K senkrecht steht. Der Schnittpunkt dieser in [Fig. 9] schraffierten Ebene mit der Kante K sei a. Es ist also jetzt sowohl a₁a ⊥ K [1] als auch a₂'a ⊥ K. Bei der Drehung der Aufrißebene beschreibt a₂' einen Kreis mit dem Mittelpunkt a und dem Radius a₂'a, der in der schraffierten Ebene a₁aa₂'a liegt. Ist also a₂ die Lage, welche a₂' nach Ausführung der Drehung annimmt, so muß auch a₂a ⊥ K sein; demnach fällt a₂ auf die Verlängerung der Linie a₁a, und es ist a₂a = a₂'a.

[1] ⊥ ist das Zeichen für senkrecht auf.

Fig. 10.

In [Fig. 10] bilden wir nun das Zeichenblatt selbst ab; es ist gewissermaßen doppelt zu nehmen, da es sowohl die Grund- als die Aufrißebene vorstellt. Die Kante K ist als eine horizontale Linie darauf gezeichnet. Dann müssen die beiden Risse a₁ und a₂ offenbar auf einem Lote zur Kante K gelegen sein; der Schnittpunkt des Lotes a₁a₂ mit K ist der Punkt a. Es folgt also:

Satz 6. Nach der Umlegung der Aufrißebene in die Grundrißebene liegen die beiden Risse eines Punktes stets auf einer Senkrechten zur Kante oder kurz auf einem Kantenlote.

Geben wir uns irgend zwei Punkte, jedoch so, daß sie auf einer Senkrechten zu K liegen, und ist der eine durch die Bezeichnung a₁ als erster Riß, der andere durch die Bezeichnung a₂ als zweiter Riß gekennzeichnet, so bestimmen diese beiden Risse einen ganz bestimmten Punkt a im Raume. Um uns denselben vorzustellen, denken wir uns die eine Hälfte des Zeichenblattes, in der a₂ liegt, um K in die Höhe gedreht, bis sie auf der anderen Hälfte des Blattes senkrecht steht. Dann sind die beiden Tafeln in ihre wahre Lage gebracht, und wir finden den Punkt a auf die Weise wie es in 6. auseinandergesetzt wurde.

Fig. 11.

Einfacher ist es übrigens zu beachten, daß in [Fig. 9]

aa₁ = a₂'a = a₂a.

Es gibt also in [Fig. 10] die Strecke a₂a den Abstand des Punktes von der Zeichenebene. Wir haben uns demnach in a₁ eine Senkrechte zur Fläche des Papiers errichtet zu denken. Auf dieser Senkrechten liegt der Punkt in einem Abstande von der Zeichenfläche, der durch a₂a gegeben ist.

Es ist sehr nützlich sich zu überlegen, wie die beiden Risse eines Punktes gelegen sind, wenn der betreffende Punkt verschiedene Lagen im Raume annimmt. In den Figuren [9] und [10] ist noch ein zweiter Punkt b eingetragen.

In [Fig. 11] sind ferner die beiden Risse eines Würfels wirklich gezeichnet, von dem die [Fig. 8] die Lage im Raume angab. Diese hier nur ihrem Wesen nach kurz skizzierte Methode des Grund- und Aufrisses wird in der darstellenden Geometrie weiter ausgeführt. Außer den perspektivischen Bildern und den geraden Rissen gibt es noch eine dritte Art von Bildern, die sog. »Schrägbilder« oder »Parallelprojektionen«. Bei ihnen ist die Projektionsrichtung nicht senkrecht zur Bildebene, sondern beliebig gegen sie geneigt. Die in diesem Buche zur Erläuterung beigegebenen Figuren, z. B. 1, 4, 6, 8, sind solche Schrägbilder. Man vergleiche darüber das Bändchen »Projektionslehre« in dieser Sammlung.

Nach diesen einleitenden Betrachtungen wollen wir uns nun eingehender mit den perspektivischen Bildern beschäftigen.