§ 3. Die Schnittmethode.

8. Konstruktion eines perspektivischen Bildes aus Grund- und Aufriß. Soll von einem Gegenstande ein perspektivisches Bild gezeichnet werden, so muß der Gegenstand selbst bekannt sein und außerdem die Lage des Projektionszentrums (Auges) gegen die Bildebene. Es ist zunächst am einfachsten, sich alle diese Stücke je durch Grund- und Aufriß zu geben, so daß wir also folgende Elemente erhalten: a) die Bildtafel (Zeichenebene); b) das Auge O; c) den Gegenstand. Wir behandeln wieder ein einfaches Beispiel.

Aufgabe 1. Ein Würfel ist gegeben in Grund- und Aufriß, ebenso das Auge O; man zeichne ein perspektivisches Bild des Würfels, wenn die Bildebene auf der Kante des Tafelsystems senkrecht steht.

Die Bildebene Π gehe durch den Punkt Z der Kante ([Fig. 12]) und enthalte die beiden Linien ZX und ZY, welche in der Π₁ und in der Π₂ je senkrecht zur Kante K gezogen werden können. Gleichzeitig ist ZX der erste und ZY der zweite Riß der Bildebene Π. Das Auge O habe die Risse O₁ und O₂. Der abzubildende Würfel abcdefgh liegt mit der Fläche abcd auf der Grundrißebene. Wir haben nun den in 2. beschriebenen Vorgang wirklich durchzuführen, also die einzelnen Ecken des Würfels in die Ebene Π zu projizieren. Führen wir dies etwa für die Ecke e durch.[2] Wir verbinden O mit e, dann ist O₁e₁ der erste Riß, O₂e₂ der zweite Riß dieser Verbindungslinie. Der Schnittpunkt von Oe mit Π sei e'; der erste Riß von e' kann nichts anderes sein als der Schnittpunkt von O₁e₁ mit ZX. Diesen Punkt bezeichnen wir also mit e₁'. Ebenso ist der zweite Riß des Punktes e' der Schnittpunkt e₂' von O₂e₂ mit der Linie ZY. Natürlich fallen alle ersten Risse unseres Bildes auf die Gerade ZX, alle zweiten auf ZY.

[2] Wir raten dem Leser, alle Figuren stets nach den Angaben des Textes selbst herzustellen. Es erleichtert das Verständnis ungemein, wenn man die Figur allmählich entstehen sieht.

Fig. 12.

Nun wollen wir aber doch das Bild selbst in seiner wahrer Gestalt auf unserem Zeichenblatte vor uns sehen. Um dieses zu erreichen, müssen wir die Ebene Π herausheben und in die Zeichenebene legen. Das kann man etwa in folgender Weise durchführen. Wir verschieben die Ebene Π parallel zu sich selbst, bis sie durch den beliebigen Punkt (Z) der Kante geht. Sie schneidet dann die Tafeln in den Loten (Z)(X) und (Z)(Y). Nachdem dies geschehen, drehen wir die Ebene um die in der Π₂ gelegene Senkrechte (Z)(Y) so lange, bis sie mit der Π₂ sich deckt.

Verfolgen wir den Punkt e' bei diesen verschiedenen Schritten. Bei der Verschiebung der Ebene Π in die Lage (Y)(Z)(X) wird e₁' eine Parallele zur Kante beschreiben. Ziehen wir also durch e₁' eine Parallele zur Kante K, so schneidet diese die Linie (Z)(X) in (e₁'). Bei der Drehung der Ebene beschreibt (e₁') einen Viertelskreis um (Z) und gelangt nach e₁^*. Dann liegt aber der Punkt e' auf der Senkrechten, welche in e₁^* zur Kante gezeichnet werden kann. Die Höhe, in welcher e' über der Π₁ liegt, ist jedoch bei allen diesen Vorgängen die gleiche geblieben, und sie ist durch Ze₂' gegeben. Tragen wir also auf der in e₁^* errichteten Senkrechten diese Höhe an oder, was das gleiche ist, ziehen wir durch e₂' eine Parallele zur Kante, so schneidet diese auf der Senkrechten in e₁^* den Punkt e' aus.

Bequemer ist es, einfach (Z)e₁^* = Ze₁' mit dem Zirkel auf der Kante anzutragen und auf der Senkrechten in e₁^* dann weiter e₁^*e' = Ze₂' abzuschneiden. Man kann dazu auch noch [Fig. 1] vergleichen. Dort ist die erste Tafel Π₁ angegeben als eine horizontale Ebene, die zweite Tafel ginge durch K und AY. Vom Punkte e' sind die Risse e₁ und e₂ eingetragen.

Ganz in entsprechender Weise konstruiert man die Bilder der übrigen Ecken und erhält so das Bild a'b'c'd'e'f'g'h' des Würfels. Um die Bildwirkung zu erhöhen, denkt man sich den Würfel aus einem undurchsichtigen Material (Holz, Gips) und zeichnet die Kanten, welche man nicht sehen würde, bloß punktiert. In unserer Figur liegen dem Auge zunächst die Kanten bc, cg, gf, fb ferner gh, he, ef. Diese müssen also ausgezogen werden. Die übrigen Kanten cd, da, ab, dh, he, ea werden dem in O befindlichen Auge durch den Würfel verdeckt; man hätte sie also streng genommen ganz wegzulassen. Es ist aber nützlich, diese Kanten wenigstens punktiert anzudeuten, um die mathematische Form besser zu übersehen. Man nennt die Berücksichtigung dieser Verhältnisse die »Sichtbarkeit bzw. Unsichtbarkeit«.

Nun ist ein perspektivisches Bild für ein gewisses Projektionszentrum konstruiert und muß von diesem aus betrachtet werden. Wir werden deswegen verlangen, den Punkt im Raume anzugeben, von dem aus unser Bild b'c'g'h'e'f' zu betrachten ist. Zu diesem Zwecke fällen wir von dem Zentrum O aus auf die Bildebene Π die Senkrechte. Ihr erster Riß ist eine Parallele durch O₁ zur Kante, ihr zweiter Riß eine Parallele durch O₂ zur Kante. Der Fußpunkt dieser Senkrechten, die auch in [Fig. 1] eingetragen ist, heiße A. Die Risse A₁ und A₂ desselben sind die Schnittpunkte der eben genannten Parallelen mit ZX bzw. ZY. Daraus finden wir die Lage von A wiederum, indem wir zunächst die Parallele durch A₁ und (Z)(X) zum Schnitt bringen in (A₁), dann durch einen Viertelskreis (Z)A₁^* = (Z)(A₁) machen. Auf der in A₁^* errichteten Senkrechten schneidet die Parallele durch A₂ wieder den Punkt A aus. Jetzt wissen wir also, daß unser Projektionszentrum auf der Senkrechten liegt, die in A zur Zeichenebene gedacht werden kann.

Fig. 13.

Weiter gibt nun aber die Strecke O₁A₁ oder auch O₂A₂ die Entfernung, in der wir auf der genannten Senkrechten in A zur Ebene des Blattes uns das Auge O denken müssen. Bringen wir unser Auge an die dadurch bestimmte Stelle im Raume, so wird das Bild des Würfels den besten Eindruck machen. Allerdings hat man die Figur viel größer, vielleicht drei- oder viermal so groß zu zeichnen, da wir bei normalen Augen das Zeichenblatt wenigstens 25 cm von unserem Auge entfernt halten müssen.

Man nennt den Punkt A den »Haupt«- oder »Augpunkt«, und er ist wohl zu unterscheiden von dem Projektionszentrum oder dem »Auge« O; die Entfernung OA des Projektionszentrums O von der Bildebene, also die Strecke O₁A₁ oder O₂A₂ heißt die »Distanz«.

Abb. 2.
Methode der mech. Konstruktion einer Perspektive mittels des Reileschen Apparates.

9. Apparat zur Konstruktion einer Perspektive. Geht man vom Grundriß des gegebenen Gegenstandes aus, so beruht das soeben durchgeführte Verfahren wesentlich darauf, daß man die Höhe ermittelt, in der das Bild eines Punktes über der Grundrißebene lag. Statt der Grundrißebene kann man auch die Ebene benutzen, welche man durch das Auge O parallel zur Grundrißebene legt. Diese Ebene heiße die »Horizontebene« und sie schneidet die Bildebene Π in einer Geraden hh, welche durch den Hauptpunkt A geht und der »Horizont« genannt wird ([Fig. 13]). Es sei nun ein Punkt a gegeben, der von O aus gerechnet vor der Bildebene Π liegt, welch letztere die Grundrißebene Π₁ in der Geraden gg schneidet. Dann können wir das Bild a' wieder in folgender Weise bestimmen. Die von a auf Π₁ gefällte Senkrechte trifft Π₁ im Risse a₁, die Horizontebene dagegen im Punkte (a₁). Verbinden wir O₁ mit a₁, so ist dies der Riß des Sehstrahles Oa. O₁a₁ trifft die Gerade (gg) in a₁', und auf der in a₁' gelegenen Senkrechten liegt das Bild a'. Schneidet diese Senkrechte den Horizont in (a'), so ist die Linie O(a') parallel zu O₁a₁', und zur Berechnung der Höhe a'(a') kann die Proportion dienen:

^a'(a')/_a(a₁) = ^O(a')/_O(a₁).

Das Verhältnis auf der rechten Seite darf zunächst durch O₁a₁' : O₁a₁ ersetzt werden. Zieht man ferner durch a₁ eine Parallele zu gg, welche O₁A₁ in X trifft, so wird dies Verhältnis auch durch O₁A₁ : O₁X gegeben, so daß man schließlich erhält

(1) ^a'(a')/_a(a₁) = ^O₁A₁/_O₁X.

Die Strecke a(a₁) kann aus dem Aufriß entnommen werden und ist gleich der Höhe des Aufrisses über dem Horizont.

Ist nun ([Abbildung 2]) der Grundriß in Fig. I, der Aufriß in Fig. II gegeben und ist die Bildebene um gg in die Grundrißebene umgeklappt, so läßt sich aus der Proportion (1) in folgender Weise die Höhe a'(a') ermitteln. Man zieht durch den Riß a₁ eine Parallele zu hh, welche auf O₁A₁ den Punkt X liefert. Auf dieser Parallelen trägt man ferner die Höhe ab, in der der Aufriß von a über dem Horizont liegt, macht also XY = a₂a_h, wo a₂a_h aus Fig. II zu entnehmen. Verbindet man diesen Punkt Y mit O₁, so schneidet diese Linie aus gg den Punkt B₁ aus, und es gilt nun die Proportion:

(2) ^B₁A₁/_XY = ^O₁A₁/_O₁X.

Vergleicht man (1) und (2), so müssen also auch die linken Seiten einander gleich sein, und da XY = a₂a_h = a(a₁), so ist B₁A₁ = a'(a').

In B₁A₁ ist mithin die Höhe des Bildes von a über dem Horizont ermittelt. Verbindet man demnach noch a₁ mit O₁, so liefert diese Linie auf gg den Punkt a₁'. Auf dem in a₁' errichteten Lote liegt a' und wird erhalten, wenn man vom Horizont aus B₁A₁ anträgt, also (a')a' = B₁A₁ macht.

Herr Kunstmaler Adolf Reile in Stuttgart hat in der Zeitschrift für gewerblichen Unterricht, Jahrg. XXX, 1915 Nr. 43 einen einfachen Apparat angegeben, der diese von ihm abgeleitete Beziehung mechanisch zu konstruieren gestattet. Zwei Reißschienen L und R sind durch ein Gelenk miteinander verkuppelt. Der Gelenkmittelpunkt wird stets auf der Geraden gg geführt, indem die Reißschiene R an der oberen Kante AD des Reißbrettes ABCD hingleitet. Die Reißschiene L geht immer durch O₁ hindurch, was dadurch erreicht wird, daß eine Hülse durch eine Stecknadel in O₁ festgehalten ist, während die Schiene L durch die Hülse hindurchgleitet.

Um die obige Konstruktion auszuführen, legt man zunächst eine gewöhnliche Reißschiene R' durch a₁, bestimmt durch Abgreifen mit dem Zirkel Y und verschiebt sodann L so lange, bis es durch Y geht. Die Kuppelung befindet sich nun in B₁, und die Schiene R bestimmt auf dem Horizont die gesuchte Strecke AB = A₁B₁. Legt man endlich L durch a₁, so gibt die Schiene R das Lot in a₁', und längs derselben kann AB angetragen werden. Da das Objekt bei der in [Abb. 2] gemachten Annahme vor der Bildebene liegt, so wird es durch die Perspektive vergrößert.

Es gibt Vorrichtungen (sog. Perspektographen), welche überhaupt Perspektiven mechanisch herstellen; so haben G. Hauck und E. Brauer einen allerdings komplizierten und teueren Apparat konstruiert, bei dem ein freier Stift die Perspektive beschreibt, wenn man mit zwei anderen Stiften den Grund- und Aufriß nachfährt. Man vgl. Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, Bd. 35, 1891 Nr. 28, S. 782.

Wesentlich ist, daß das in 8. erörterte Verfahren, das man auch als die »Schnittmethode« bezeichnet, uns zwar die Möglichkeit gibt, das perspektivische Bild Punkt für Punkt zu zeichnen, daß es uns aber keinen Einblick in die Natur dieser Bilder gewährt und uns keine Eigenschaften solcher Bilder liefert. So gehen beispielsweise in [Fig. 12] die vier Linien b'a', c'd', g'h', f'e' hinreichend verlängert durch einen Punkt, nämlich durch A, und es leuchtet ohne weiteres ein, daß dies für die Zeichnung mit Vorteil verwendet werden kann. Deswegen gehen wir jetzt dazu über, denjenigen Satz zu beweisen, der die wichtigste Eigenschaft aller perspektivischen Bilder liefert.