I. GRUNDBEGRIFFE UND ELEMENTARE KONSTRUKTIONEN ÜBER KOTIERTE PROJEKTIONEN

§ 1. Kotierte Projektion. Ein Punkt P' des Raumes ist durch Angabe seiner senkrechten Grundrißprojektion P auf eine Horizontalebene (Rißebene, Zeichenebene) und der Maßzahl k seines senkrechten Abstandes (Höhenzahl, Kote) von der Ebene, gemessen in Einheiten des Höhenmaßstabs, eindeutig bestimmt: kotierte Projektion. Eine Karte mit Höhenangaben ist also eine geometrische Grundrißdarstellung eines Geländes durch kotierte Projektionen: kotierte Ebene.

Zwei Punkte P₁' und P₂' bestimmen eine Gerade g'. Zur Ermittelung des spitzen Winkels φ, unter dem g' gegen die Horizontalebene geneigt ist, und der Entfernung P₁'P₂' (Luftlinie) konstruiert man in der Zeichenebene das rechtwinklige Dreieck mit den Katheten P₁P₂ und P₂P₂^* = k₂ – k₁, aus dem die gewünschten Größen mit Transporteur und Maßstab zu entnehmen sind ([Fig. 1] und [2]).

Fig. 1.

Fig. 2.

Übrigens heißt φ der Fallwinkel, tg φ das Gefälle, der Anstieg oder die Böschung der Geraden g'.

Da man es im folgenden immer mit der Zeichnung in der Rißebene zu tun hat, so spricht man in der Regel von dem Fallwinkel, dem Gefälle usw. der gezeichneten Geraden g, der Projektion von g', obwohl man darunter natürlich stets die Größen meint, die g' selbst zukommen. Darauf ist in Zukunft zu achten.

§ 2. Maßstab der Zeichnung. Die Abmessungen der Zeichnung werden meist mit denen der Wirklichkeit nicht übereinstimmen, sondern geben sie in verkleinerten Maßstäben wieder. Verhalten sich z. B. die Horizontalentfernungen der Zeichnung zu denen der Wirklichkeit wie 1 : α (bei den preußischen Meßtischblättern wie 1 : 25 000), die gezeichneten Höhen zu den wirklichen wie 1 : β, so ist die wirkliche Entfernung nicht mehr

l = √P₁P₂² + (k₁ – k₂)²),

sondern sie ist

L = √α² · P₁P₂² + β² · (k₁ – k₂)²),

und der Neigungswinkel im allgemeinen nicht φ, so daß

tg φ = ^{k₂ – k₁}/_P₁P₂,

sondern gleich Φ, so daß

tg Φ = ^β/_α · ^{k₂ – k₁}/_P₁P₂.

Nur wenn β = α, wenn also Horizontalentfernungen und Höhen im selben Maßstab 1 : α aufgetragen sind, ist L = αl, Φ = φ. Obwohl das praktisch selten angängig ist – meist ist β > α; Überhöhung –, wird es im folgenden, wo nichts anderes gesagt ist, doch der Einfachheit wegen stets vorausgesetzt, zumal viele Konstruktionen von der Wahl der Maßstäbe ganz unabhängig sind.

§ 3. Einschalten eines Punktes. Die [Fig. 2] zeigt auch, wie man die Kote k eines beliebigen, auf g gelegenen Punktes P ermittelt, denn es ist PP^* = k – k₁. Sie zeigt ferner, wie man bei gegebener Höhenzahl k den zugehörigen Punkt P auf der Geraden g konstruiert: Man trägt, unter Rücksicht auf das Vorzeichen der Kotenunterschiede, auf P₂P₂^* = k₂ – k₁ die Strecke k₂ – k ab, entweder von P₂^* aus bis Q und zieht dann die Parallele QP^* zu P₂P₁, oder besser von P₂ aus bis R und zieht dann die Parallele RP zu P₂^*P₁; wenn k₂ – k₁ und k₂ – k verschiedenes Vorzeichen haben, muß man k₂ – k an P₂P₂^* verlängernd antragen, wie es bei der Konstruktion von (P) geschehen ist. Übrigens sind diese Konstruktionen weder davon, daß P₂P₂^* ⊥ P₂P₁ ist, noch von dem gewählten Höhenmaßstab abhängig. Auch rechnerisch, sehr bequem und ausreichend genau mittels des Rechenschiebers, läßt sich die Kote von P nach der Formel

k = k₁ + ^P₂P/_P₁P₂ · (k₂ – k₁)

bestimmen.

§ 4. Stufung (Graduierung) einer Geraden. Durch Wiederholung der eben beschriebenen Konstruktion kann man auf einer durch zwei Punkte P₁P₂ eines kotierten Risses gegebenen Geraden g solche Punkte bestimmen, deren Höhenzahlen von Einheit zu Einheit, oder von 10 zu 10 Einheiten oder dergleichen, fortschreiten, wie das in [Fig. 3] mit bestimmten Werten ausgeführt ist. In P₂ ist an g unter beliebigem Winkel die Strecke P₂P₂^* in Länge von 22,6 – 18,7 = 3,9 beliebigen Einheiten angetragen und auf ihr in denselben Einheiten 22,6 – 22 = 0,6, 22,6 – 21 = 1,6 usw. abgetragen; die Parallelen durch die erhaltenen Punkte schneiden auf g die Stufung (Graduierung) oder den Gefällemaßstab aus. Die gestufte Gerade erscheint wie ein aus großer Höhe gesehener Steigbaum mit Sprossen.

Fig. 3.

Eine lotrechte Gerade hat als Projektion einen Punkt und ist durch dessen Angabe eindeutig bestimmt. Eine wagerechte Gerade hat keinen Gefällemaßstab; sie ist durch ihre Projektion und durch Angabe der Höhe irgendeines ihrer Punkte eindeutig bestimmt.

§ 5. Intervall. Die Entfernung zweier aufeinanderfolgender Punkte des Gefällemaßstabes einer gestuften Geraden, gemessen in der Rißebene, heißt ihr Intervall i, und eine leichte geometrische Überlegung oder auch die in [§ 2] gegebene Formel für das Gefälle ergibt tg φ = 1 : i. Je steiler also die Gerade ansteigt, um so kleiner ist ihr Intervall, um so enger ihre Graduierung.

§ 6. Schnitt zweier Geraden. Zwei Geraden g₁', g₂' des Raumes schneiden sich dann und nur dann, wenn ihre Projektionen g₁, g₂ einen Punkt mit gleicher Kote gemeinsam haben; sie sind parallel, wenn ihre Gefällemaßstäbe durch Parallelverschiebung zur Deckung gebracht werden können, d. h. wenn erstens g₁ parallel zu g₂, zweitens i₁ = i₂ ist, und drittens die Graduierungen von g₁ und g₂ denselben Richtungssinn haben. Ist die dritte Bedingung nicht erfüllt, so sind die beiden Geraden g₁', g₂' nicht parallel, sondern jede von ihnen ist zu der Geraden, die sich durch irgendeinen ihrer Punkte parallel zur anderen ziehen läßt (z. B. g₂'' || g₂'), symmetrisch bezüglich des Lotes durch diesen Punkt ([Fig. 4]).

Fig. 4.

Wenn g₁ und g₂ zusammenfallen, liegen g₁', g₂' in derselben lotrechten Ebene; der Winkel ψ von g₁' und g₂' ist in einem Dreieck zu finden ([Fig. 5] u. [6]), dessen Grundlinie durch Zusammenfügen von i₁ und i₂ (mit Berücksichtigung des Richtungssinns) entsteht, und dessen Höhe, die in dem i₁ und i₂ gemeinsamen Punkt zu errichten ist, gleich der Einheit des Höhenmaßstabes ist. Der Schnittwinkel ψ ist ein rechter, wenn die Höhe 1 die mittlere Proportionale zwischen i₁ und i₂ ist, d. h. wenn

i₂ = 1 : i₁,

und überdies die Graduierungen entgegengesetzten Sinn haben.

Fig. 5.

Fig. 6.

§ 7. Ebene. Zwei sich schneidende oder parallele Geraden des Raumes bestimmen eine Ebene. Nachdem die beiden Geraden gestuft sind, lassen sich die Schichtlinien der Ebene als Verbindungsgeraden der Punkte gleicher Höhenzahlen konstruieren; sie sind also parallele Geraden. Wenn umgekehrt die Verbindungsgeraden je zweier und daher aller Punkte gleicher Höhenzahlen auf zwei gestuften Geraden einander parallel sind, dann liegen die Geraden in einer Ebene, d. h. schneiden sich, wie in [Fig. 7] g₁ und g₂, oder sind parallel, wie g₁ und g₃; andernfalls kreuzen sie sich, wie g₂ und g₃.

Fig. 7.

Fig. 8.

§ 8. Gefällemaßstab. Die zu den Schichtlinien senkrechten Geraden der Ebene heißen ihre Fallinien[1]; durch die Schnittpunkte mit den Schichtlinien werden sie graduiert. Eine Ebene ist durch eine gestufte Fallinie, ihren Gefälle- oder Böschungsmaßstab, eindeutig gegeben; man pflegt ihn als gestufte Doppelgerade ([Fig. 8]) zu zeichnen, wobei die stärker ausgezogene oder mit einer Pfeilspitze versehene als die eigentliche Fallinie gelten soll. Der Gefällemaßstab einer Ebene erscheint danach wie eine aus großer Höhe gesehene Leiter mit ihren Sprossen.

[1] In der [Fig. 8] verläuft die Gerade 3,6 … 9,6 zufällig wie eine Fallinie.

§ 9. Aufgabe. Durch drei kotierte Punkte eine Ebene zu legen. Man verbindet die Punkte durch drei Geraden, graduiert diese nach [§ 4], zeichnet durch Verbindung gleichkotierter Punkte der Geraden die Schichtlinien der Ebene und danach senkrecht zu diesen den Gefällemaßstab ([Fig. 8]).

§ 10. Böschung, Fallen und Streichen. Der Fallwinkel φ der Fallinien heißt das Einfallen oder das Fallen der Ebene, tg φ ihre Böschung, die durch zunehmende Höhen gegebene Richtung der Fallinien die Anstiegsrichtung der Ebene. Unter Streichrichtung versteht man diejenige Richtung der Schichtlinien – die daher bei der Ebene auch Streichlinien heißen –, von der aus man im mathematisch positiven, d. h. dem Uhrzeigerlaufe entgegengesetzten Sinne um einen rechten Winkel zu drehen hat, um die Anstiegsrichtung der Ebene zu erhalten. Der Winkel σ, um den man von einer festen (SN)-Richtung aus im positiven Sinne zu drehen hat, um die Streichrichtung zu erhalten, heißt das Streichen der Ebene ([Fig. 9]).

Fig. 9.

Fig. 10.

Die Begriffe und Bezeichnungen des Fallens und Streichens einer Ebene sind, wenn auch nicht immer eindeutig genug erklärt, dem Bergmanne und Geologen sehr geläufig, weil durch die leicht ausführbare Messung dieser Winkel an einem der Lage nach bekannten Orte auch die Lage der Ebene, z. B. einer erzführenden ebenen oder als nahezu eben anzunehmenden Schicht, vollständig bestimmt ist.

§ 11. Aufgabe. Um die soeben angedeutete Aufgabe zu lösen, d. h. um in einer Karte die Ebene zu konstruieren, von der man an einem bekannten Punkte A (k = 5,4) das Fallen φ (= 30°) und Streichen σ (= 125°) beobachtet hat, legt man zunächst durch Antragen des Winkels σ an die SN-Richtung die Streichrichtung und weiter nach positiver Drehung um 90° die Anstiegsrichtung der Ebene fest. Ein rechtwinkliges Hilfsdreieck, in dem die Kathete die Höheneinheit, der gegenüberliegende Winkel gleich φ ist, liefert als andere Kathete das Intervall einer Fallinie. Wählt man als Gefällemaßstab der Ebene die durch den Punkt A hindurchgehende Fallinie, so hat man von A aus in der Anstiegsrichtung 0,6 · i abzutragen, um den Punkt der runden Höhenzahl 6 zu finden und danach die Stufung vorzunehmen ([Fig. 10]).

§ 12. Schnittgerade zweier Ebenen. Zwei nicht parallele Ebenen schneiden sich in einer Geraden. In der Karte der Ebenen erhält man diese Gerade und zugleich ihre Stufung im allgemeinen als Ort der Schnittpunkte gleichkotierter Schichtlinien ([Fig. 11]).

Fig. 11.

Fig. 12.

Das Verfahren versagt jedoch um so mehr, je mehr die Schichtlinien der beiden Ebenen einander parallel werden. Dann schneidet man die beiden Ebenen (1) und (2) durch eine beliebige Hilfsebene (3) in geeigneter Lage, bestimmt die Schnittgeraden (1, 3) und (2, 3) und deren Schnittpunkt A, der auf der Schnittgeraden (1, 2) gelegen sein muß. Eine zweite Hilfsebene (4) bestimmt ebenso die Schnittgeraden (1, 4) und (2, 4) und deren Schnittpunkt B; durch A und B ist aber die gesuchte Schnittgerade (1, 2) völlig bestimmt ([Fig. 12]). Zweckmäßig, und in der Figur ist das so ausgeführt, wählt man die zweite Hilfsebene (4) so, daß ihr Gefällemaßstab der gleiche, aber entgegengesetzt gerichtete zu dem von (3) ist. Da er ganz willkürlich ist, so genügt es zur wirklichen Ausführung der Konstruktion, die Schichtlinien der beiden gegebenen Ebenen durch zwei Parallelen p', p'' in beliebigem Abstand zu schneiden.

Fig. 13.

Fig. 14.

§ 13. Ebenen mit parallelen Gefällemaßstäben. Dieses Verfahren ist auch anwendbar, wenn die Schichtlinien der beiden gegebenen Ebenen, also auch ihre Gefällemaßstäbe genau parallel sind; man kann alsdann p', p'' mit diesen zusammenfallen lassen. Die Schnittgerade steht jetzt senkrecht auf den beiden Gefällemaßstäben, weil sie die gemeinsame Schichtlinie der beiden Ebenen ist ([Fig. 13]).

Für den Fall zweier Ebenen mit parallelen Schichtlinien läßt sich auch folgende Konstruktion ausführen. Man denke sich die Punkte gleicher Höhenzahlen der beiden parallelen Gefällemaßstäbe durch Geraden verbunden; je zwei werden in ihrem Schnittpunkt wegen der Ähnlichkeit der entstehenden Scheiteldreiecke im Verhältnis der Intervalle der beiden Gefällemaßstäbe geteilt, sie haben also alle denselben Schnittpunkt P. Er muß ein Punkt der gesuchten Schnittgeraden sein, weil diese auch zwei Punkte gleicher Höhenzahlen verbindet. Die Schnittgerade ist also das Lot durch P auf den gegebenen Gefällemaßstäben ([Fig. 14]).

§ 14. Ebenen gleicher Böschung. Jeder Punkt der Schnittgeraden zweier Ebenen gleicher Böschung hat von zwei gleichkotierten Streichlinien der Ebenen dieselbe Entfernung; denn ([Fig. 15]) PA und PB sind Stücke zwischen gleichkotierten Punkten auf gleichgraduierten Fallinien. Die Schnittgerade halbiert ferner in der Horizontalprojektion den Winkel der beiden Schichtlinien; das folgt aus der Kongruenz der beiden rechtwinkligen Dreiecke PAC und PBC.

Diese Sätze gelten auch, wenn die gerichteten Fallinien der beiden Ebenen miteinander einen gestreckten Winkel bilden. Die Schnittgerade ist dann die Streichlinie, die durch den beiden Fallinien gemeinsamen Punkt derselben Höhenzahl hindurchgeht.

Fig. 15.

Fig. 16.

§ 15. Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene. Man legt durch die gegebene Gerade g ([Fig. 16]) eine beliebige Hilfsebene, von der irgend zwei Streichlinien genügen, und ermittelt deren Schnittpunkte mit den gleichkotierten Schichtlinien der gegebenen Ebene; damit ist die Schnittgerade s beider Ebenen bestimmt, und dadurch der gesuchte Punkt P als Schnittpunkt von s mit g. Sind die Schnittgerade und die gegebene Gerade einander parallel, wie in der Figur s₁ und g₁, so ist auch die gegebene Gerade der Ebene parallel; der Gefällemaßstab der Geraden kann durch Parallelverschiebung mit demjenigen zur Deckung gebracht werden, den die Streichlinien der Ebene auf ihr ausschneiden.

Um den Abstand der Ebene von der parallelen Geraden zu bestimmen, ist nur von irgendeinem ihrer Punkte ein Lot auf die Ebene zu fällen und dessen Länge zu ermitteln, wie das sogleich gezeigt werden wird.

§ 16. Lot von einem Punkte auf eine Ebene. Man legt durch den gegebenen Punkt P ([Fig. 17]) eine Vertikalebene, die zugleich auf der gegebenen senkrecht steht, sie demnach in einer Fallinie, also in einer Parallelen zum gegebenen Gefällemaßstab e der Ebene schneidet. Das gesuchte Lot steht auf dieser Fallinie senkrecht; nach [§ 6] ist demnach seine Graduierung entgegengesetzt und sein Intervall i reziprok zu dem des Gefällemaßstabes e, also aus dem in der Figur angegebenen Dreieck ABC zu entnehmen. Das gestufte Lot l stellt zugleich den Gefällemaßstab einer Ebene dar, die die gegebene längs einer Schichtlinie schneidet, nämlich derjenigen, die durch den Fußpunkt F des Lotes geht. Man zeichnet diese nach [§ 13], [Fig. 14] und danach die wahre Lotlänge FQ nach [§ 1], wobei in der Figur PR die Höheneinheit ist.

Fig. 17.

Fig. 18.

Zur Konstruktion des Fußpunktes des Lotes ist übrigens nur erforderlich, seinen Durchschnittspunkt mit der Ebene wie oben ([§ 15]) zu ermitteln.

§ 17. Kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden. Wenn man ([Fig. 18]) durch die eine, g₁, der beiden gegebenen windschiefen Geraden eine Ebene parallel zur anderen, g₂, legt und sodann von irgendeinem Punkte C der Geraden g₂ das Lot CD auf diese Ebene fällt, so hat CD dieselbe Länge wie der gesuchte kürzeste Abstand selbst. Wenn man ferner in der Ebene durch D die Parallele zu g₂ zieht, so schneidet sie g₁ im Punkte A, dem einen Endpunkte des gesuchten kürzesten Abstandes; der andere, B, liegt auf g₂ als Schnittpunkt des in A auf der Ebene errichteten Lotes AB. Die Konstruktion ist danach folgendermaßen: Man legt durch einen beliebigen Punkt (1) der einen Geraden g₁ eine Parallele p zur zweiten g₂, so daß also p und g₂ gleiche Stufungen haben. Durch p und g₁ ist eine zu g₂ parallele Ebene bestimmt, deren Schichtlinien sich durch Verbindung gleichkotierter Punkte von p und g₁ ergeben; e sei ihr Gefällemaßstab. Nun fällt man von irgendeinem Punkte C (= 3) von g₂ das Lot CD auf diese Ebene, entsprechend dem Vorhergehenden: das Dreieck mit dem rechten Winkel bei H, dessen Höhe gleich der Einheit des Höhenmaßstabes ist, liefert das (in der Figur stark ausgezogene) Intervall, das zu dem von e reziprok ist, und mit dem die durch C parallel zu e gezogene Gerade q entgegengesetzt zu e graduiert wird; vom Schnittpunkt S der Verbindungsgeraden 2–2, 4–4 gleichkotierter Punkte auf q und e ist die Senkrechte SD auf q gefällt, die den Fußpunkt D des gesuchten Lotes ergibt. Durch ihn zieht man die Parallele zu g₂, die g₁ im Fußpunkt A des gesuchten kürzesten Abstandes schneidet. Den anderen Endpunkt B findet man durch AB || CD.

Fig. 19.

§ 18. Drehen einer Ebene um eine Streichlinie in die wagerechte Lage. Es kommt oft vor, daß man in einer durch ihren Gefällemaßstab gegebenen Ebene Messungen von Winkeln oder Längen, oder Konstruktionen maßstäblicher Natur auszuführen hat; das ist nicht ohne weiteres möglich, wenn die Ebene nicht zur Zeichenebene parallel, also nicht wagerecht ist. Man hat sie vielmehr erst in die wagerechte Lage zu bringen, zweckmäßig durch Drehung um eine Streichlinie. Es sei ([Fig. 19]) AB (Höhe 0) diese Streichlinie einer Ebene, deren Gefällemaßstab rechts in der Figur zu sehen ist. Durch Drehung geht die Schar der Streichlinien in eine andere dazu parallele Schar über, die mit der ursprünglichen die Streichlinie AB gemeinsam hat. In wagerechter Lage der Ebene ist der Abstand zweier Streichlinien mit dem ursprünglichen Höhenunterschied 1 die Hypotenuse in dem Dreieck, dessen Katheten das ursprüngliche Intervall i und die Einheit des Höhenmaßstabes sind (in der Figur links angegeben). Bei der Drehung beschreibt jeder Punkt C einen Kreis, dessen Ebene zu AB senkrecht ist und daher die Rißebene in dem Lot CH auf AB schneidet. Um also den Punkt C^* zu finden, in den C nach der Drehung übergeht, hat man nur die mit C gleichkotierte Schichtlinie (in der Figur die mit der Höhenzahl 7) nach der Drehung mit diesem Lot zum Schnitt zu bringen.

Auf diese Weise läßt sich die wahre Gestalt einer Figur CDEF der gegebenen Ebene als C^*D^*E^*F^* konstruieren; also auch z. B. die wahre Größe des Schnittwinkels zweier Geraden AC und BC als Winkel AC^*B. Eine nützliche Kontrolle besteht in der Konstruktion der wahren Längen von AC und BC als AC^* und BC^* nach [§ 1], wie in der Figur angegeben.

Durch Umkehrung der Konstruktion kann man eine gegebene Figur in eine durch ihren Gefällemaßstab gegebene Ebene einzeichnen.

§ 19. Schnittwinkel zweier Ebenen. Wenn man von irgendeinem Punkte, der auf keiner der beiden Ebenen gelegen ist, auf diese die beiden Lote fällt, so schließen sie miteinander dieselben Winkel ein wie die beiden Ebenen. In [§ 16] ist das Fällen eines Lotes auf eine Ebene gezeigt worden. Durch diese beiden Lote ist eine Ebene bestimmt. Dreht man nun diese Ebene der beiden Lote um eine ihrer Schichtlinien, d. h. um eine Verbindungsgerade gleichkotierter Punkte der Lote, in die wagerechte Lage (nach [§ 18]), so erhält man die gesuchten Schnittwinkel in wahrer Größe. Der Leser führe danach die Konstruktion aus.

Eine etwas andere Lösung der Aufgabe ist folgende. Man zeichnet zuerst nach [§ 12] die Schnittgerade beider Ebenen als geometrischen Ort der Schnittpunkte gleichhoher Streichlinien, sodann irgendeine, diese Schnittgerade senkrecht schneidende Hilfsebene; ihr Böschungsmaßstab läuft parallel zur Projektion der Schnittgeraden. Diese Hilfsebene schneidet die beiden gegebenen Ebenen in zwei Geraden, die die gesuchten Winkel miteinander einschließen. Dreht man also die Hilfsebene um eine ihrer Schichtlinien in die wagerechte Lage, so erhält man dadurch auch die Schnittwinkel der beiden gegebenen Ebenen in wahrer Größe.

Fig. 20.

Die Durchführung der Konstruktion ist aus der [Fig. 20] zu entnehmen: I und II sind die Gefällemaßstäbe der beiden gegebenen Ebenen, s ihre Schnittgerade, h der Gefällemaßstab der auf s senkrechten Hilfsebene, dessen Intervall reziprok und entgegengesetzt zu dem von s ist. Irgendeine Schichtlinie der Hilfsebene schneidet die gleichhohen Schichtlinien von I und II in je einem Punkte A₁, A₂. Ist C die Projektion des Schnittpunktes der Hilfsebene mit der Geraden s ([§ 15]), so enthält das Dreieck, dessen Projektion A₁CA₂ ist, bei C einen der gesuchten Winkel, und man findet seine wahre Größe durch Drehung dieses Dreiecks um die Gerade A₁A₂ in die wagrechte Lage A₁C^*A₂. Den Punkt C^* findet man einfach, wenn man durch s einen Vertikalschnitt legt und diesen in die wagerechte Lage umklappt. Es entsteht das rechtwinklige Dreieck 233' (worin 33' der Höheneinheit gleich ist), und das Lot, das vom Schnittpunkte B von A₁A₂ mit s auf die Hypotenuse 23' gefällt werden kann, gibt den Punkt C', in den durch das Umklappen der Scheitel der gesuchten Winkel übergegangen ist. BC' ist also die Höhe des oben erwähnten Dreiecks, und man hat mithin nur BC^* = BC' von B auf s abzutragen, um den Punkt C^* zu erhalten. Der Winkel A₁C^*A₂ und sein Supplementwinkel sind die gesuchten Schnittwinkel der beiden Ebenen.

§ 20. Böschungskegel. Alle durch denselben Punkt gehenden Ebenen gleichen Gefälles umhüllen einen geraden Kreiskegel, den Böschungskegel. Die Böschung der Ebenen heißt auch die des Kegels. Seine Schichtlinien werden in der Projektion durch konzentrische Kreise dargestellt, deren Mittelpunkt die Projektion des Scheitels des Kegels ist. Die Radien der Kreise stellen die Mantelgeraden des Kegels dar, und stimmen, in geeigneter Weise durch die Schichtkreise des Kegels gestuft, auch mit den Gefällemaßstäben der Ebenen überein.

Der Böschungskegel kann zur Konstruktion folgender Aufgaben benutzt werden:

1. In einer gegebenen Ebene durch einen gegebenen Punkt die Geraden von gegebenem Anstieg zu zeichnen. Man mache den Punkt zur Spitze des Böschungskegels vom gegebenen Anstieg; seine Schnittlinien mit der Ebene sind die gesuchten Geraden. Zu ihrer Konstruktion genügt es, irgendeinen Schichtkreis des Kegels mit der gleichkotierten Streichlinie der Ebene zum Schnitt zu bringen ([Fig. 21]).

Fig. 21.

Fig. 22.

2. Durch eine gegebene Gerade die Ebenen von gegebener Böschung zu legen. Man mache irgendeinen Punkt der Geraden zur Spitze eines Kegels der gegebenen Böschung; die gesuchten Ebenen sind diejenigen seiner Berührungsebenen, die durch die gegebene Gerade gehen. Man konstruiert sie, indem man von irgendeinem zweiten Punkte der Geraden die beiden Tangenten an den mit ihm gleichkotierten Schichtkreis des Kegels legt ([Fig. 22]).

Die Lösungen beider Aufgaben werden nicht reell, wenn die Böschung der Ebenen kleiner ist als die der Geraden.

§ 21. Kreiszylinder, schiefer Kreiskegel, Kugel. Die Schichtlinien eines schiefen Kreiszylinders mit wagerechter Grundfläche sind Kreise vom selben Radius, deren Mittelpunkte auf der entsprechend der Neigung gestuften Zylinderachse liegen. Ist der Zylinder gerade, so lagern sich alle Schichtkreise kongruent übereinander.

Fig. 23.

Die Schichtlinien eines schiefen Kreiskegels mit wagerechter Grundfläche sind Kreise, deren Mittelpunkte auf der gestuften Projektion der Kegelachse liegen, und deren Radien sich am einfachsten aus demjenigen durch die Achse gelegten ebenen Schnitte ergeben, dessen Schnittfigur ein gleichschenkliges Dreieck ist ([Fig. 23]).

Die Figur 24 zeigt die Darstellung der oberen Hälfte eines geraden Kreiszylinders mit wagerechter Achse; seine Schichtlinien sind parallele Geraden, seine Halbkreise stellen sich dar als Geraden, die die Schichtlinien senkrecht durchsetzen und von ihnen nach einem leicht aufzustellenden Gesetze ungleichmäßig gestuft werden.

Eine entsprechende Darstellung tritt offenbar auch auf bei einem Zylinder mit beliebigem Querschnitt, wenn nur seine erzeugenden Geraden horizontal verlaufen.

Sind die erzeugenden Geraden des Zylinders nicht horizontal, so bestehen seine Schichtlinien aus kongruenten Kurven, die aus einer von ihnen durch Verschiebung längs der erzeugenden Geraden hervorgehen; aus der [Fig. 79] [S. 55] ist ein Beispiel dafür zu entnehmen.

Fig. 24.

Fig. 25.

Die Schichtlinien einer Halbkugel sind konzentrische Kreise, deren Radien sich aus einem lotrechten Schnitt durch den Mittelpunkt der Kugel ergeben ([Fig. 25]).

§ 22. Andere Oberflächen. Von andern gekrümmten Oberflächen, die sich durch ihre Schichtlinien in einfacher Weise darstellen lassen, seien hier nur beispielsweise folgende erwähnt:

1. Wenn man die gleichkotierten Punkte zweier windschiefer Geraden geradlinig verbindet, so ergibt sich eine windschiefe Fläche mit geradlinigen Schichtlinien, ein hyperbolisches Paraboloid ([Fig. 26]). Sein Umriß, aus sehr großer Höhe von oben gesehen, ist eine Parabel, die auch in der Figur deutlich erkennbar ist.

Fig. 26.

2. Der Leser versuche, die Schichtlinien einer gemeinen Schraubenfläche mit senkrechter Achse darzustellen, und zwar etwa eine vollständige Windung mit der Ganghöhe 8 Höheneinheiten. Man kann sie sich vorstellen als Wendeltreppe, von der je 8 Stufen einen Umgang bilden.

Fig. 27.

3. Die Darstellung einer Umdrehungsfläche mit lotrechter Drehachse durch ihre Schichtlinien ergibt ein System konzentrischer Kreise, deren Radien aus einem Achsenschnitt der Fläche entnommen werden können ([Fig. 27]). Über die Bedeutung der Linie DD vgl. [§ 60] [S. 41].