V. MASZBESTIMMUNGEN UND BEZIEHUNGEN ZUR ZEICHNERISCHEN ANALYSIS

Die nächsten Paragraphen sollen kurz zeigen, in welcher Weise man Maßbestimmungen der Längen, Flächen- und Rauminhalte an einer Geländefläche auszuführen hat.

Fig. 87.

§ 89. Längenmessung. Um die Länge eines ebenen Kurvenbogens zu bestimmen, ersetzt man ihn durch einen aus genügend kleinen geradlinigen Stücken bestehenden Polygonzug, dessen Teile, längs einer Geraden aneinandergesetzt, die gesuchte Länge angenähert ergeben (Rektifikation). Man kann den Kurvenbogen auf die Gerade durch Abgreifen mit einer genügend kleinen Zirkelöffnung übertragen. Dabei hat man jedoch zu beachten, daß sich zwar, je kleiner die Zirkelöffnung, um so mehr der kleine Bogen der zugehörigen Sehne anschmiegt, aber sich auch um so mehr die durch vielmaliges Aneinandersetzen des Zirkels entstehenden Fehler häufen. Das Übertragen auf die Gerade kann man vermeiden, wenn man den Zirkel selbst zur Summierung der Sehnen benutzt. Ist ([Fig. 87]) ABCD…U der zu messende Bogen, so setzt man zuerst den Zirkel in A und B ein, lüftet ihn bei A und dreht ihn um B in die Lage BA', die Kurventangente in B; dann lüftet man ihn bei B und öffnet ihn bis C, lüftet ihn bei A' und dreht ihn um C in die Lage CA'', die Tangente in C, usw. Die Punkte A, A', A'', … A^* liegen angenähert auf einer Evolvente der gegebenen Kurve ([§ 42]), und es ist der gesuchte Bogen

A͡U ≈ A^*U.

Besser ist ein kleines gekordetes Meßrädchen (Kurvimeter), mit dem man, die Radebene senkrecht zur Papierebene haltend, den Kurvenbogen abfährt, wobei die ganzen Umdrehungen durch ein Zählwerk angegeben werden. Man prüft das Kurvimeter durch Ausmessen einer geradlinigen oder kreisförmigen Strecke bekannter Länge. – Die Länge eines Kurvenbogens auf einer Geländefläche bestimmt man, indem man das Längenprofil der Kurve konstruiert ([§ 47]) und dieses rektifiziert.

Aufgabe. Ein Flugzeug hat einen in die Karte des überflogenen Geländes eingetragenen Weg zurückgelegt, wobei zugleich die erreichten Höhen an genügend vielen Stellen vermerkt sind. Es soll die wirkliche Länge des Luftweges ermittelt werden.

Man hat dazu nur nötig, das Längenprofil der Raumkurve entsprechend dem gezeichneten Wege und den darin vermerkten Höhenangaben zu zeichnen, wie in [§ 47] angegeben, und die Bogenlänge dieses Profils nach dem soeben Auseinandergesetzten zu ermitteln.

§ 90. Flächenmessung. Zur praktischen Ausmessung eines ebenen willkürlich begrenzten Flächenstückes hat man sich gewisser Annäherungsmethoden zu bedienen, deren Berechtigung in der Integralrechnung streng bewiesen wird, oder man benutzt ein Planimeter.

a) Quadratteilung. Fast für alle hier in Frage kommenden Zwecke ausreichend ist es, ein Blatt Millimeterpauspapier über das Flächenstück zu decken. Man zählt die eingeschlossenen Quadratmillimeter ab und nimmt von den durch die Begrenzungslinie durchschnittenen entweder die Hälfte zu oder schätzt ihre Anteile ab. Das ergibt angenähert den Flächeninhalt in Quadratmillimetern; um ihn in den Flächeneinheiten des Maßstabes der Karte zu erhalten, hat man zu ermitteln, wie viele Quadratmillimeter auf eine Flächeneinheit der Karte gehen. Für den häufigeren Gebrauch im selben Maßstab zeichnet man ein dazu gehöriges genügend engmaschiges Quadratnetz auf Pauspapier oder ritzt es mit der Zirkelspitze auf eine dünne Zelluloidplatte, wie sie etwa zu photographischen Films verwendet wird und also leicht zu beschaffen ist. Man legt die geritzte Seite auf die Karte.

§ 91. b) Einteilung in Streifen gleicher Breite. Statt der Quadrateinteilung kann man auch eine Anzahl paralleler Geraden in gleichem genügend kleinen Abstande δ auf Pauspapier oder einen Film zeichnen; zwischen je zwei Geraden fügt man noch die Mittellinien (in der [Fig. 88] gestrichelt) ein. Abgesehen von den Kappenstücken, die nicht mehr die Breite δ haben (geschrafft), kann man den zwischen zwei Geraden a und b enthaltenen Flächenteil nach der Simpsonschen Regel (Th. Simpson 1743, Joh. Kepler hat schon 1615 dieselbe Regel zur Raumberechnung benutzt – Keplersche Faßregel) bestimmen. Man nimmt das Mittel der Anfangs- und Endsehne, ½(a + b), sodann die Summe aller ausgeschnittenen Sehnen, ∑s, endlich noch die doppelte Summe der Mittellinien aller Streifen, 2∑m; die Gesamtsumme dieser drei Werte, mit ⅓δ multipliziert, liefert den Flächeninhalt meist mit großer Genauigkeit:

F ≈ ⅓δ(^{a + b}/₂ + ∑s + 2∑m).

Die beiden Summen ∑s und ∑m kann man durch einen angelegten Papierstreifen messen, auf dem man die einzelnen Sehnen durch Aneinanderfügen schon beim Anlegen summiert, oder auch mit dem Streckenrädchen des Kurvimeters, oder auch mit der Millimeterteilung des Rechenschiebers, nachdem man an dem Glasläufer einen kleinen über der Millimeterteilung schleifenden Papierzeiger befestigt hat.

Fig. 88.

Die abgeschnittenen Kappen können oft mit genügender Annäherung als Parabelabschnitte aufgefaßt und alsdann nach der Lambertschen Regel zu ⅔aα und ⅔bβ berechnet werden, wobei α und β ihre Breiten bedeuten (Joh. Heinr. Lambert 1727–1777).

§ 92. c) Andere Streifeneinteilung. Statt daß man das Flächenstück in gleich breite Streifen zerlegt, kann man oft einfacher und nicht minder genau als nach der Simpsonschen Regel nach folgendem von C. Runge angegebenen zeichnerischen Ausgleichungsverfahren vorgehen. Man ersetzt das Stück der Begrenzungslinie zwischen den beiden Geraden des Streifens durch eine senkrecht zu ihnen verlaufende gerade Strecke der Art, daß die in der [Fig. 89] mit Schraffen versehenen dreieckigen Zipfel einander flächengleich werden. Wenn es sich um genügend kleine Dreiecke handelt, kann die Abgleichung nach dem Augenmaß sehr genau ausgeführt werden, und wenn vollends die Figur auf Millimeterpapier gezeichnet ist, hat man durch Auszählung und Abschätzung der wenigen in den Zipfeln befindlichen Quadratmillimeter eine gute Prüfung. Man verwandelt auf diese sehr empfehlenswerte Art das krummlinig begrenzte Flächenstück in eine Summe von Rechtecken, deren Breite man oft, wenn die Kurve weniger gekrümmt verläuft, ziemlich groß annehmen kann. Danach läßt sich der Inhalt leicht berechnen:

F ≈ ∑δy.

Fig. 89.

Fig. 90.

§ 93. d) Planimeter. Am schnellsten und auch wohl am genauesten bedient man sich zur Flächenmessung eines Planimeters, wie es in seiner einfachsten Form des Polarplanimeters in [Fig. 90] angedeutet ist. PD ist eine um den Nadelspitzpol P drehbare Stange beliebiger Länge, so daß also D einen Kreis beschreibt; DF ist eine in D drehbare Stange der Länge l, deren Fahrstift F die Berandung des auszumessenden Flächenstückes einmal umfährt; R ist ein auf der Zeichenebene rollendes, nicht gleitendes Rad vom Radius r, dessen Winkeldrehung ω an einer Teilung abgelesen werden kann. Man zeigt mit Hilfe der Integralrechnung, daß, wenn der Pol P außerhalb der zu umfahrenden Fläche liegt, der gesuchte Flächeninhalt gleich l · ωr ist; meist gibt die Teilung der Meßrolle dieses Produkt unmittelbar an.

§ 94. Geneigte Fläche. Wenn die Ebene der auszumessenden ebenen Fläche unter dem Winkel α gegen die Horizontalebene der Karte geneigt ist, so ergibt sich der wahre Flächeninhalt aus dem seiner Projektion, indem man diese durch cos α dividiert. Das sieht man sogleich ein, wenn man sich die Fläche und ihre Projektion durch Ebenen, die auf der Schnittgeraden der Fläche und der Projektionsebene senkrecht stehen, in genügend schmale Streifen der Breite δ zerlegt denkt. Die mittleren Längen des Streifens und seiner Projektion verhalten sich wie 1 : cos α, daher, da die Breite dieselbe ist, auch ihre Flächeninhalte, daher auch die Flächen selbst.

Diese Bemerkung kann man bisweilen benutzen, um praktisch von einem begrenzten Teile einer Geländefläche den Flächeninhalt zu bestimmen, nämlich dann, wenn sie sich in Bezirke teilen läßt, innerhalb deren die Horizontalneigung genügend konstant ist, was sich übrigens sehr leicht am Verlauf der Fallinien erkennen läßt.

Fig. 91.

§ 95. Flächeninhalt einer Böschungsfläche. Wie in [§ 65] gezeigt, ist jede Böschungsfläche auf eine Ebene abwickelbar, und zwar so, daß nach und nach jede ihrer geradlinigen Fallinien in die Ebene zu liegen kommt. Da bei der Abwickelung außer den Längen die Winkel zwischen den Kurven der Böschungsfläche sich nicht ändern, so gehen die Schichtlinien in Kurven über, die auf den geradlinigen Fallinien auch nach der Abwickelung senkrecht stehen. Man betrachte nun einen von zwei beliebigen Schichtlinien und zwei geradlinigen Fallinien begrenzten Streifen einer Böschungsfläche. Sein Flächeninhalt bleibt bei der Abwickelung in die Zeichenebene, wodurch die Figur ACDB ([Fig. 91]) entstehen möge, ebenfalls ungeändert. Es seien MP, NQ die Abwickelungen zweier naher Fallinien von der Länge l; sie schneiden das Flächenstück MPQN aus, das um so mehr als Trapez betrachtet werden kann, je näher MP und NQ aneinander liegen. Ist RS die Mittellinie des Trapezes, m ihre Länge, so ist seine Fläche gleich l · m; demnach der Flächeninhalt des ganzen Stückes ABCD gleich l · ∑m, wo ∑m nichts anderes als die Bogenlänge der mittleren Schichtlinie EF ist. Man findet daher den Flächeninhalt einer von zwei Schichtlinien und zwei Fallinien der wahren Länge l begrenzten Böschungsfläche, indem man l mit der Bogenlänge der mittleren Schichtlinie multipliziert.

Die Ausführung kann unmittelbar an der Karte der Böschungsfläche vorgenommen werden, da ja bei jeder Fläche die Schichtlinien mit ihren Projektionen kongruent sind. Übrigens braucht man die erwähnte mittlere Schichtlinie nicht erst zu konstruieren, sondern nimmt einfacher und genauer aus den Bogenlängen der begrenzenden Schichtlinien das arithmetische Mittel. Sind λ die aus der Karte zu entnehmende konstante Horizontalentfernung der beiden Schichtlinien, k₁ und k₂ ihre Höhenzahlen, so ist l = √λ² + (k₁ – k₂)², also als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten λ und (k₁ – k₂), diese in Einheiten des Höhenmaßstabes gemessen, leicht zu zeichnen.

Da man nach [§ 66] eine Geländefläche, die durch genügend viele Schichtlinien gegeben ist, gleich der erachten kann, die aus schmalen Streifen von Böschungsflächen zusammengesetzt ist, so läßt sich das eben auseinandergesetzte Verfahren auch benutzen, um angenähert die Inhalte beliebiger gekrümmter Flächenstücke zu bestimmen. Eine große Genauigkeit wird man freilich nicht zu erwarten haben.

§ 96. Rauminhalt eines begrenzten Geländeteiles. Es ist eine wichtige Aufgabe der technischen Praxis, den Rauminhalt von Erdmassen zu bestimmen. Wenn die Begrenzung ganz willkürlich ist, muß man sich wie beim Flächeninhalt gewisser Annäherungsmethoden bedienen, deren Berechtigung und Genauigkeit in der Integralrechnung gezeigt wird. Man denkt sich den auszumessenden Körper in eine Anzahl so dünner Schichten zerlegt, daß sie ohne merklichen Fehler als zylindrische Scheiben betrachtet werden können, deren Inhalt gleich dem Produkt aus ihrer Dicke δ und ihrem Querschnitt q ist. Haben alle Schichten des Körpers die gleiche Dicke δ, so ist das Volumen des Körpers v = δ · ∑q, wo ∑q die Summe aller Querschnitte bedeutet. Die gewöhnliche Zerlegung ist die in wagerechte Schichten. Die Querschnitte werden also durch die Schichtlinien der Fläche begrenzt. Man kann jeden Querschnitt nach irgendeinem der in [§§ 90] bis [93] angegebenen Verfahren bestimmen. Aber auch v selber kann man nach denselben Verfahren ermitteln. Denn trägt man die gemessenen Werte der Querschnitte als Ordinaten zu den zugehörigen Höhenzahlen als Abszissen auf und verbindet ihre Endpunkte durch eine glatte Kurve, so ist die Maßzahl des Flächeninhalts, der von dieser Kurve, der Abszissenachse und den Anfangs- und Endordinaten begrenzt wird, gleich v.

§ 97. Aufgabe: Rauminhalt einer Lagerstätte. Zur Erläuterung der in den letzten Paragraphen besprochenen Maßbestimmungen soll jetzt eine dem bergmännischen Anwendungsgebiet entnommene Aufgabe etwas ausführlicher besprochen werden.

Eine nutzbare unterirdische Lagerstätte wird in der Regel durch eine Anzahl von Bohrlöchern erschlossen, die erkennen lassen, wie weit sich die Lagerstätte in wagerechter und lotrechter Richtung erstreckt. Da mit Rücksicht auf die Kosten die Zahl solcher Bohrlöcher auf das Mindestmaß beschränkt werden muß, wird aus den Bohrergebnissen die Gestalt der Lagerstätte nur in groben Umrissen entnommen werden können, und daher werden alle darauf bezüglichen Konstruktionen und Maßbestimmungen nur als erste Annäherungen an die Wirklichkeit zu betrachten sein; das ist auch bei der Lösung der folgenden Aufgabe nicht zu vergessen.

Ein Kohlenlager ist durch eine Reihe von Bohrlöchern angefahren und durchteuft. Man soll den Rauminhalt des Lagers ermitteln.

Zunächst einige allgemeine Bemerkungen zur Ausführung der Aufgabe. Man wird vor allem die beiden topographischen Flächen zu bestimmen suchen, die den oberen Teil (das Hangende) und den unteren (das Liegende) der Lagerstätte begrenzen, indem man nach [§ 48] die Schichtlinien durch Längenprofile ermittelt. Das geschieht am besten in einer besonderen Karte, nachdem man darin die Lage der Bohrlöcher übertragen und die Tiefenangaben vermerkt hat, in denen jedesmal die Lagerstätte angebohrt und durchteuft wurde. Nunmehr bestimmt man die Schichtenquerschnitte nach [§ 90] bis [93], trägt die Werte graphisch zu den Höhenzahlen als Ordinaten auf, und planimetriert zur Bestimmung des Rauminhalts die entstehende Kurve, wie in [§ 96] angegeben.

Fig. 92.

§ 98. Ausführung der Aufgabe. Es verlohnt sich, die nähere Ausführung etwas eingehender zu besprechen, weil dabei eine Menge Nutzanwendungen der früheren Sätze zum Vorschein kommen. Das soll nun jetzt geschehen. – Gegeben ist die Karte des Geländes ([Fig. 92] – Schichtlinien ausgezogen –) und darin verzeichnet die Lage der Bohrlöcher, so daß man daraus die Höhenzahlen ihrer Mundlöcher entnehmen kann. Außerdem sind zu jedem Bohrloch gegeben die Koten (Teufen), in denen das Hangende angebohrt sowie das Liegende erreicht ist. Das folgende Verzeichnis enthält diese Angaben für die 13 mit A bis N bezeichneten Bohrlöcher.

Bohrloch	Mundloch	Hangendes	Liegendes
A	+ 90 m	+47 m	–30 m
B	+103 m	+26 m	– 6 m
C	+112 m	+12 m	+10 m
D	+ 72 m	+70 m	–25 m
E	+ 55 m	+50 m	+ 1 m
F	+ 87 m	+42 m	–14 m
G	+ 98 m	+15 m	+ 7 m
H	+ 85 m	+45 m	–15 m
I	+ 84 m	+20 m	+ 7 m
K	+ 60 m	+11 m	+ 9 m
L	+108 m	+10 m	+ 5 m
M	+103 m	+20 m	– 2 m
N	+ 71 m	+40 m	0 m

Zur Bestimmung der Schichtlinien wird man möglichst solche Längenprofile wählen, die nahezu in Richtung der Fallinien verlaufen; man wird also für das Liegende vom Punkte tiefster Kote (A), für das Hangende vom Punkte höchster Kote (D) möglichst radial ausgehen, also z. B. namentlich das Profil CBADEK benutzen, sodann den Linienzug IHFG, wobei man die aus dem vorigen Linienzug interpolierte Höhenzahl des Kreuzungspunktes von AD und FH schon als bekannt benutzen darf, usw. Hat man genügend viele Zwischenpunkte mit runden Höhenzahlen ermittelt, so zeichnet man zuerst die Schichtlinien, von denen die meisten Punkte bekannt sind. Das erleichtert auch die Zeichnung der übrigen an den Stellen, an denen sie sich nicht durch Querschnitte genügend scharf bestimmen lassen.

Im vorliegenden Fall hat die Lagerstätte die Form einer unregelmäßig gestalteten Linse, wie es in der Natur manchmal bei Braunkohlenlagerstätten vorkommt. In der [Fig. 92] sind die Schichtlinien des Liegenden gestrichelt, die des Hangenden punktiert gezeichnet. In der Zeichnung findet sich sowohl eine Schichtlinie +10 für das Hangende wie auch eine für das Liegende; von jeder gehört aber nur ein Teil der eigentlichen Lagerstätte an; das kommt daher, daß sich Hangendes und Liegendes in einer Raumkurve durchsetzen, deren Projektion zwischen den beiden Schichtlinien +10 verläuft. Man konstruiert ihre genauere Lage (– · – ·) am einfachsten mittels einiger Querschnitte, von denen in der Figur einer (bei L) angedeutet ist.

Wenn die Schichtlinien alle gezeichnet sind, kann die Planimetrierung beginnen. Dabei treten in der vorliegenden Figur noch zwei kleine Erschwerungen auf, die zu beachten sind. Erstens wird verlangt, daß von dem Volumen nur derjenige Teil bestimmt wird, der innerhalb der geradlinigen Grubengrenzen gg und der dadurch bestimmten lotrechten Ebenen gelegen ist. Die Querschnitte sind daher jedesmal nur bis zu diesen Geraden zu planimetrieren. Zweitens aber tritt die Lagerstätte zutage, und daher wird ihre Gestalt durch das Gelände beeinflußt. Die Ausbißlinie aa ist nach [§ 72] konstruiert worden; beim Planimetrieren muß ersichtlich jedesmal der Teil der Schichtlinie des Hangenden, der von der Ausbißlinie umfaßt wird, durch den entsprechenden Teil der Schichtlinie des Geländes ersetzt werden. Das hat man beim Umfahren mit einem Polarplanimeter berücksichtigt, und dann folgende Querschnitte in willkürlichen Einheiten p des Planimeternonius – Mittel aus mehreren Beobachtungen – erhalten:

	Höhenzahl:	Querschnitt:
Liegendes:	–30 m	21,5 p
	–20 m	171p
	–10 m	336p
	± 0 m	826p
	+10 m	1284,5 p
Hangendes:	+10 m	1268p
	+20 m	977p
	+30 m	668,5 p
	+40 m	434p
	+50 m	241p
	+60 m	77p
	+70 m	4,5 p

Zugleich ergab eine Fläche, die im Maßstab der Zeichnung gemessen 40 000 m² entsprach, planimetriert 1598 p.

Fig. 93.

Die graphische Darstellung dieser Werte in beliebigen Maßstäben ergibt die Kurve der [Fig. 93]. Sie besteht aus zwei Ästen, einem für das Hangende (rechter Ast) und einem für das Liegende (linker Ast), die sich in einem Punkte schneiden. Zur Bestimmung des Rauminhalts hat man die durch sie und die Abszissenachse begrenzte Fläche zu ermitteln. Die Planimetrierung lieferte in willkürlichen Einheiten q des Planimeternonius, deren Wert übrigens von p verschieden sein kann, das Volumen 549 · q, während zugleich eine Fläche, die 1000 · p · 100 m Kubikeinheiten entsprach – in der Figur durch das Rechteck angezeigt –, 1097 · q ergab. Daraus folgt für das gesuchte Volumen der Wert

549 · q · ^{100000 · p · m}/_{1097 · q} · ^{40000 m²}/_{1598 · p} = 1 253 100 m³.

Es wäre sicher nicht richtig, das Schlußergebnis auf so viele Stellen anzugeben, und man wird sich etwa mit der runden Zahl 1 250 000 m³ begnügen müssen, zumal eine Abschätzung der Genauigkeit auf Grund der gegebenen Daten nicht einfach ist.

§ 99. Zeichnerische Analysis. Die in den vorstehenden Paragraphen auseinandergesetzten und angewandten Verfahren der Projektionen mit Höhenzahlen lassen sich nicht nur auf geometrische Aufgaben, sondern auch auf die praktisch zeichnerische Behandlung analytischer Fragen mit Nutzen anwenden. Man kann diesen Teil der angewandten Mathematik, dessen Entstehung erst wenige Jahrzehnte zurückliegt, und dessen Ausbau noch keineswegs abgeschlossen ist, passend als graphische oder zeichnerische Analysis bezeichnen. Ihre Ergebnisse finden in fast allen Zweigen der Technik, in der Vermessungskunde, der technischen Physik, der Ballistik usw. mehr und mehr Anwendung. Im Folgenden mögen einige einfachere Gegenstände dieses Gebietes besprochen werden, die mit den vorhergehenden Betrachtungen zum Teil aufs engste zusammenhängen.

§ 100. Funktionsskale. Es bedeute x eine reelle Veränderliche und y = f(x) eine beliebige eindeutig umkehrbare – d. h. zu jedem Wert von y gehört ein Wert von x – reelle Funktion von x, gegeben durch irgendeine Rechenvorschrift oder durch eine Zahlentafel, derart, daß ihr zeichnerisch im rechtwinkligen Cartesischen Koordinatensystem (x, y) eine Kurve zugeordnet werden kann. Einen Punkt P der Kurve ([Fig. 94] mit y = √x mit der Abszisse x (= 3) projiziere man parallel zur Abszissenachse auf die Ordinatenachse nach Q, so daß OQ = y (= √3 = 1,73) ist, schreibe aber an Q den zu P gehörigen Abszissenwert x (= 3). Wenn man so für genügend viele Punkte verfährt, erhält man die Skale der Funktion y = f(x). Die [Fig. 94] stellt die Entstehung der Funktionsskale y = √x dar.[3]

[3] Weitere Beispiele sind in dem Bändchen von Paul Luckey, Einführung in die Nomographie, dieser mathematisch-physikalischen Bibliothek zu finden.

Fig. 94.

Auf der Vorderseite eines gewöhnlichen Rechenschiebers befinden sich die Skalen der Funktion y = log₁₀x in zwei verschiedenen Maßstabseinheiten.

Die Funktionsskalen tragen im allgemeinen eine ungleichmäßige Einteilung; gleichmäßig ist sie nur im Falle einer linearen Funktion y = ax + b, weil die zugehörige Kurve hier eine gerade Linie ist.

Wenn die Teilung einer Funktionsskale so dicht ist, daß eine Zwischenschaltung weiterer Funktionswerte nach dem Augenmaße möglich ist, kann man im Sinne der zeichnerischen Analysis die Funktion als durch ihre Skale völlig bestimmt ansehen.

Denkt man sich die [Fig. 94] um einen rechten Winkel aus der Papierebene so geschwenkt, daß die x-Achse senkrecht zur Zeichenebene nach oben gerichtet ist, dann stellt die Skale der Funktion nichts weiter dar als die kotierte Projektion der Kurve (vgl. [§ 68]), die durch die Skale gestuft ist.

Um von irgendeiner analytisch oder tabellarisch gegebenen Funktion die Skale herzustellen, ist es natürlich nicht erst nötig, die zugehörige Kurve zu zeichnen. Man braucht nur auf der gewählten Geraden, dem Träger der Skale, von einem beliebig angenommenen Nullpunkte aus mit der gewählten Maßstabseinheit den zu x gehörigen Funktionswert f(x) = y abzutragen und an den Endpunkt dieser Strecke die Zahl x anzuschreiben.

Fig. 95.

Wenn die Funktion nicht eindeutig umkehrbar ist, also zu einem Wert von y mehrere Zahlenwerte von x gehören, ist ihre Darstellung durch eine Skale zwar auch möglich, aber man muß dann mehrfach bezifferte (gebrochene) Skalen in Kauf nehmen, die, auf demselben Träger gezeichnet, sich ganz oder zum Teil überdecken (vgl. [Fig. 95]).

§ 101. Konstruktion besonderer Funktionsskalen. Einige Skalen lassen sich leicht durch eine einfache geometrische Konstruktion finden. So z. B. die Skalen für sin x und tg x für spitze Winkel, wie aus der [Fig. 96] ersichtlich ist. Die Skale für sin x gibt zu gleich die für cos x, wenn man neben den Strich mit der Zahl x in Graden noch die Zahl 90° – x schreibt, und ebenso findet man die Skale für ctg x aus der für tg x. Man kann diese z. B. dann benutzen, um für zwei Punkte einer Karte eines ebenen Geländes, deren Höhenunterschied gleich 1 ist, den Fallwinkel φ zu bestimmen; denn die in der Karte gemessene Entfernung der Projektionen beider Punkte ist gleich ctg φ.

Fig. 96.

Besonders wichtig ist die Konstruktion der Skale für die linear gebrochene Funktion

y = ^{ax + b}/_{cx + d},

wo a, b, c, d vier Konstanten sind, von denen es ersichtlich genügt, die drei Verhältnisse a : b : c : d zu kennen. Wenn c = 0, so würde die Funktion eine ganze lineare sein, ihre Skale also gleichmäßig geteilt. Wenn c ≠ 0, aber ad – bc = 0, wäre die Funktion gar nur eine Konstante, wie sofort aus dem Ausdruck

y = ^a/_c + ^{ad – bc}/_{c(cx + d)}

folgt, in den man die Funktion überführen kann. Sieht man von diesen Ausnahmefällen ab, und bezeichnet man mit y₁, y₂, y₃, y die vier zu x₁, x₂, x₃, x gehörigen Funktionswerte, so ist – man kann sich davon durch Ausrechnung leicht überzeugen –

^{y₂ – y₁}/_{y₃ – y₁} : ^{y₂ – y}/_{y₃ – y} = ^{x₂ – x₁}/_{x₃ – x₁} : ^{x₂ – x}/_{x₃ – x},

d. h. die Doppelverhältnisse von je vier Werten von x und den zugehörigen Werten von y sind einander gleich, und daraus folgt bekanntlich, daß die Punktreihe P₁, P₂, P₃, P mit den Abszissen x₁, x₂, x₃, x auf einer Geraden I aus der Punktreihe Q₁, Q₂, Q₃, Q mit den Abszissen y₁, y₂, y₃, y auf einer Geraden II durch Projizieren gewonnen werden kann ([Fig. 97]). Zur Konstruktion einer projektiven Skale y = (ax + b) : (cx + d) kann man also folgendermaßen verfahren. Gegeben sei der Träger der Skale, die Gerade II, ferner der Anfangspunkt der Skale, d. h. der Punkt mit dem Teilstrich 0, und der Maßstab, wodurch zugleich der Punkt mit dem Teilstrich 1 der Skale bestimmt ist. Nunmehr zeichnet man auf einer beliebigen Geraden I irgendeine gleichmäßige Teilung. Man verbindet sodann miteinander die Punkte der Teilstriche 0 und ebenso die Punkte der Teilstriche 1. Der Schnittpunkt S dieser Verbindungsgeraden ist der Mittelpunkt des Strahlbüschels, das die Skale I auf die Skale II projiziert. ([Fig. 98].) Natürlich gibt es auf einer Geraden unzählig viele projektive Skalen mit denselben Punkten 0 und 1; denn eine projektive Skale ist erst durch die Angabe von drei Punkten eindeutig bestimmt, entsprechend den drei Konstantenverhältnissen a : b : c : d.

Fig. 97.

Fig. 98.

§ 102. Aufgabe. Eine Strecke AB = 5 cm soll mit einer solchen Skale versehen werden, daß an jedem Punkte abgelesen werden kann, in welchem Teilverhältnis der beiden Abschnitte die Strecke durch ihn geteilt wird. Ist P ein Punkt der Strecke, AP = y, und x die Skalenstelle von P, so soll AP : PB = x oder

^y/_{AB – y} = x

sein; daher ist

y = ^x/_{1 + x} · AB.

Fig. 99.

Zur Konstruktion der Skale y auf AB überlegt man, daß dem Punkte A der Wert x = 0, der Mitte von AB der Wert x = 1, dem Punkte B der uneigentliche Wert x = ∞ beizuschreiben ist. Man zieht also z. B. durch A eine beliebige Gerade AC mit gleichmäßiger Teilung, die überdies auch in A beginnen kann. Nun verbindet man den Teilpunkt 1 dieser Geraden AC mit der Mitte von AB, den Teilpunkt ∞ der Geraden mit dem Punkte B (d. h. man zieht durch B eine Parallele zu AC); beide Verbindungslinien schneiden sich in S, dem Mittelpunkte des projizierenden Strahlenbüschels ([Fig. 99]).

Der Leser mag ferner die Skale 1 : x zeichnen.

§ 103. Zusammengesetzte Funktionsskalen. Wenn y als Funktion von x durch eine Skale gegeben ist und ebenso y als Funktion von u, so kann man den funktionalen Zusammenhang zwischen x und u einfach dadurch graphisch herstellen, daß man die beiden Skalen mit den zusammengehörigen Werten von y aneinanderlegt. Ein einfaches Beispiel dafür geben die drei Thermometerskalen nach Celsius, Réaumur und Fahrenheit, wenn man sie sich auf demselben Thermometer angebracht denkt ([Fig. 100]); sie entsprechen folgenden drei linearen Funktionen:

Fig. 100.

C = x, R = ⁴/₅x, F = ⁹/₅x + 32.

Auf der Vorderseite des gewöhnlichen Rechenschiebers findet sich im oberen Teile die Skale y = lg x, im unteren dieselbe Skale im doppelten Maßstab, d. h. die Skale y = 2 lg u; durch den Strich des Glasläufers wird daher die Beziehung lg x = 2 lg u = lg u² oder x = u², u = √x vermittelt.

Ebenso leicht ist es auch, wenn y = f(x) und x = φ(u) je durch eine Skale dargestellt sind, die Skale herzustellen, die den funktionalen Zusammenhang y = f(φ(u)) = ψ(u) zwischen y und u liefert, oder, anders gesprochen, die graphische Elimination von x auszuführen. Es würde an sich genügen, neben die Bezifferung x der Skale y = f(x) den zugehörigen Wert von u zu schreiben, wie ihn die Skale φ(u) ergibt, nur würde man dann keine zur Interpolation brauchbare Skale mit gleichen Unterschieden der Veränderlichen u erhalten. Um die dazu erforderliche Zwischenschaltung der u-Werte mit befriedigender Genauigkeit ausführen zu können, zeichnet man zuerst in einem Koordinatensystem (x, y) mit einer x-Achse, die zugleich Träger der Skale φ(u) ist, und einer y-Achse, die zugleich Träger der Skale f(x) ist, die Kurve y = f(x). Nun kann man leicht zu jedem Teilstrich der Skale φ(u) den zugehörigen Teilstrich der Skale ψ(u) auf dem in der [Fig. 101] durch die Pfeile angedeuteten Wege finden.

Fig. 101.

§ 104. Netzteilung. Für viele Zwecke der zeichnerischen Analysis ist es wichtig, eine Kurve (K), die in einem Koordinatensystem (x, y) gezeichnet vorliegt, in eine andere (κ) zu verwandeln, die sich auf ein Koordinatensystem (ξ, η) bezieht, wobei ξ = φ(x), η = ψ(y) gegebene funktionale Beziehungen zwischen x und ξ, y und η bedeuten sollen. Wäre die Gleichung der vorgelegten Kurve (K) bekannt, etwa F(x, y) = 0, und wären auch die Funktionen φ(x) und ψ(y) in analytischer Form gegeben, so würde man nur ξ, η an Stelle von x, y einzuführen zu haben, um die Gleichung Φ(ξ, η) = 0 der verwandelten Kurve (κ) zu erhalten. Aber hier handelt es sich darum, zeichnerisch die Aufgabe zu lösen, wenn die Kurve (K) und die Funktionen φ(x) und ψ(y) graphisch gegeben sind.

Man trägt auf einer ξ-Achse die Skale ξ = φ(x) auf und ebenso auf einer η-Achse die Skale η = ψ(y), wodurch ein im allgemeinen ungleichmäßig geteiltes Netz bestimmt ist, wie die [Fig. 103] angibt. Jedem Koordinatenpaar x, y entspricht in diesem Netze ein Punkt, der entweder auf einen Schnittpunkt der Netzgeraden fällt, oder dessen Lage durch Schätzung leicht zu ermitteln ist. Auf diese Weise kann man die gegebene Kurve (K) Punkt für Punkt in dieses Netz übertragen und erhält so die verwandelte Kurve (κ).

Fig. 102.

Beispielsweise geht die Ellipse mit den Halbachsen a und b, deren Hauptachsenrichtungen mit den Koordinatenachsen x, y und deren Mittelpunkt mit dem Ursprung zusammenfällt, deren Gleichung also

^x²/_a² + ^y²/_b² = 1

lautet, durch Umzeichnung in ein Netz mit den Skalen ξ = x², η = y² in die Gerade mit der Gleichung

^η/_a² + ^ξ/_b² = 1

über, die die Skalen in den Teilstrichen a² und b² trifft und also leicht zu zeichnen ist. Das wurde auch für schiefwinklige Achsen gelten, wenn a, b dann konjugierte Halbmesser bedeuten.

Man kann von dieser Bemerkung eine Anwendung auf folgende Aufgabe der praktischen Mathematik machen. Es liegt eine eiförmige Kurve gezeichnet vor, und es besteht die Vermutung, daß sie angenähert eine Ellipse sei; wie ist das festzustellen? Man wird zunächst angenähert den Mittelpunkt und zwei konjugierte Durchmesser der Kurve bestimmen, indem man ein ihr umschriebenes Parallelogramm mit seinen Mittellinien zeichnet. Dadurch ist zugleich ein schiefwinkliges Koordinatensystem x, y gegeben, durch das die Punkte der Kurve festgelegt werden können. Man zeichnet jetzt das ungleichmäßig geteilte Netz ξ = x², η = y², und in dieses trägt man genügend viele Punkte der eiförmigen Kurve ein; sie werden, den vier Quadranten der Kurve entsprechend, angenähert auf vier Seiten eines Parallelogramms liegen. Die Abweichung der Punkte von diesen Geraden läßt auch die Abweichung der Eilinie von der Ellipse erkennen. Wenn man über die Punkte, die angenähert auf einer Geraden liegen, einen Faden spannt oder eine auf einen Film geritzte Gerade legt, kann man in den meisten Fällen genau genug die Abweichungen ausgleichen und dadurch die Längen für die konjugierten Halbmesser der Ellipse bestimmen, die die Eilinie am besten darstellt ([Fig. 103]).

Fig. 103.

§ 105. Logarithmenpapier. Besonders wichtig ist ein Netz mit logarithmischer Einteilung. Solche Netze sind in Form von Logarithmenpapier käuflich zu haben. Es gibt zwei Arten davon: bei der einen ist sowohl die Abszissenachse, wie auch die Ordinatenachse logarithmisch geteilt, bei der anderen nur die eine der Koordinatenachsen. Ihre Verwendung wird aus folgenden Beispielen hervorgehen.

Wenn es sich darum handelt, die polytropische Kurve mit der Gleichung

pv^κ = c

zu zeichnen, wo κ, c zwei Konstanten, p und v aber Druck und Volumen eines Gases bedeuten, das sich adiabatisch ausdehnt, so setze man

ξ = lg v, η = lg p, C = lg c

und erhält

η + κξ = C,

d. h. im Koordinatennetz ξ, η eine gerade Linie. Man wird hier also die erste Art des doppelt logarithmisch geteilten Papiers benutzen ([Fig. 104]).

Fig. 104.

Wenn man mit einem gut eingeschossenen Gewehr nach einem Punkte O einer ebenen senkrechten Scheibe oftmals schießt, so werden die Einschläge sich in der Nähe von O häufen und mit wachsendem Abstande von O an Zahl abnehmen. Gauß hat als Maß für die Häufigkeit eines Treffers im Abstande ξ von O den Ausdruck (Fehlergesetz)

z = e^–ξ²

angegeben, dem die Häufigkeit proportional ist, unter der Annahme, daß sie in allen von O ausgehenden Richtungen dieselbe sei. Setzt man

η = lg z, lg e = 0,4343,

so wird

η = –0,4343 · ξ².

Bei Verwendung einfach logarithmisch geteilten Papiers ergibt dies eine Parabel. Setzt man noch ξ = √ζ, d. h. bringt man noch auf der gleichmäßig geteilten Skale des Logarithmenpapiers eine quadratische Teilung an, so geht die Parabel in die Gerade

η = –0,4343 · ζ

über ([Fig. 105]).

Fig. 105.

§ 106. Darstellung einer Funktion von zwei Veränderlichen durch ein Rechenblatt. Es sei z = f(x, y) die darzustellende Funktion der beiden voneinander unabhängigen Veränderlichen x und y. Ihr geometrisches Bild ist eine Fläche, wenn man die Werte von z als Höhen senkrecht über einer Ebene in den Punkten mit den Koordinaten x, y aufträgt. Zu jedem festen Werte von z gehört eine Kurve bestimmter Höhe auf der Fläche, d. h. eine ihrer Schichtlinien. Die Projektionen der Schichtlinien auf die als Zeichenebene gedachte xy-Ebene liefern die Karte der Fläche und somit eine geometrische Darstellung der Funktion durch Schichtenlinien f(x, y) = konst. im Koordinatensystem (x, y). An den Schichtenlinien hat man sich die zugehörigen Werte von z als Höhenzahlen angeschrieben zu denken, genau so, wie es bisher bei der kartenmäßigen Darstellung der Geländeflächen geschehen ist. Es ist nicht nötig, daß die Funktion in entwickelter Form z = f(x, y) gegeben sei; für eine Gleichung der Form F(x, y, z) = 0 ist dieselbe Darstellung möglich. Diese Darstellung hat man ein Rechenblatt (Nomogramm, Abakus) der Funktion oder der Gleichung genannt.

Fig. 106.

In der [Fig. 106] ist das Rechenblatt der Funktion z dargestellt, die durch die Gleichung

z² + xz + y = 0

gegeben ist. Die Schichtlinien sind alle Geraden. Man kann das Rechenblatt zur zeichnerischen Auflösung einer beliebigen quadratischen Gleichung mit reellen Wurzeln

z² + pz + q = 0

nach der Unbekannten z gebrauchen. Man sucht im Rechenblatt den Punkt mit den Koordinaten p, q und sieht nach, welche Schichtgeraden durch ihn hindurchgehen; die Zahlen der Schichtgeraden, die nötigenfalls durch schätzendes Zwischenschalten zu bestimmen sind, geben die reellen Wurzeln der Gleichung an. Liegt der Punkt auf der einhüllenden Parabel x² = 4y, so hat die Gleichung eine Doppelwurzel, liegt er im Innern dieser Parabel, so hat die Gleichung keine reelle Wurzeln.

In ähnlicher Weise läßt sich die Gleichung

zⁿ + xz^m + y = 0

und noch allgemeiner die Gleichung

φ(z) + xψ(z) + y = 0

behandeln, wo φ(z), ψ(z) beliebige Funktionen bedeuten können, die analytisch oder tabellarisch oder auch zeichnerisch durch Kurven oder Funktionsskalen gegeben sein können. In allen diesen Fällen sind die Kurven des Rechenblattes gerade Linien. Solche Rechenblätter sind natürlich besonders leicht herzustellen.

§ 107. Rechenblatt mit ungleichmäßiger Teilung. Auch wenn die Kurven konstanter Werte von z zunächst keine geraden Linien ergeben, kann man doch häufig durch Benutzung von Skalen auf den Koordinatenachsen bewirken, daß die Kurven des Rechenblattes Geraden werden. Zum Beispiel wenn die Gleichung

φ(z) + ξ(x) · ψ(z) + η(y) = 0

vorliegt, die eine Verallgemeinerung der vorhergehenden ist, so wird man das Netz der Skalen ξ(x), η(y), wie in [§ 103] angegeben worden ist, benutzen können; die Schichtlinien in diesem Netze ξ, η sind dann gerade Linien, denn es ist

φ(z) + ξ · ψ(z) + η = 0

für jeden Wert von z die Gleichung einer Geraden.

Die Zustandsgleichung eines vollkommenen Gases lautet

pv = RT,

wobei p den Druck, v das Volumen, R die Gaskonstante, T die absolute Temperatur des Gases bedeuten. Die Isothermen T = konst. sind, im Koordinatensystem p, v gezeichnet, gleichseitige Hyperbeln; im System

ξ = lg p, η = lg v

dagegen ergeben sich dafür gerade Linien. Bei Benutzung doppelt geteilten Logarithmenpapiers läßt sich mithin für die obige Zustandsgleichung ein Rechenblatt mit dem Lineal allein herstellen.

Wenn man sich auf doppelt geteiltem Logarithmenpapier mit den Skalen ξ = lg x, η = lg y die Geraden z = xy zeichnet, so kann das entstandene Rechenblatt als Multiplikationstafel dienen; denn in ihm liegt der Punkt mit den Koordinaten x, y, den Faktoren, jedesmal auf der Geraden mit der Höhenzahl xy, dem Produkte ([Fig. 107]).

Fig. 107.