174. Schwingungsverhältnisse musikalischer Töne.
Besonders wichtig sind die Schwingungsverhältnisse derjenigen Töne, welche in der Musik gebräuchlich sind. Bringt man auf der Sirenenscheibe außer der ersten Lochreihe noch eine mit doppelt so vielen Löchern an, so gibt bei gleicher Umdrehungsgeschwindigkeit die zweite Reihe die obere Oktave des Tones der ersten Reihe. Es ist dabei gleichgültig, wie rasch man die Scheibe dreht; wenn nur beide Reihen bei derselben Geschwindigkeit angeblasen werden. Da sich hiebei die Schwingungszahlen wie 1:2 verhalten, so sagt man: Grundton und Oktave haben das Schwingungsverhältnis 1 : 2, oder die Oktave macht in derselben Zeit doppelt so viele Schwingungen wie der Grundton. Aus dem Satze über die Wellenlänge folgt dann, daß die Wellenlänge der Oktave 2 mal kleiner ist als die des Grundtons.
Ähnlich findet man das Schwingungsverhältnis von Grundton zu Quinte, also etwa: c : g = 2 : 3,
das von Grundton zu Quarte, also etwa: g : c̅ = 3 : 4,
das von Grundton zur (großen) Terz, also: c̅ : e̅ = 4 : 5.
Fig. 225.
Der Dur-Dreiklang hat also folgende Schwingungsverhältnisse: c : e : g : c̅ = 4 : 5 : 6 : 8, und diese Schwingungsverhältnisse gelten nicht bloß von dem hier als Beispiel angegebenen von c zu c̅ gehenden Dreiklang, sondern von jedem über einem beliebigen Grundton liegenden Dreiklang.
In [Fig. 225] sind die Wellen angedeutet, welche einem Dur-Dreiklang entsprechen.
Den Musiker werden noch folgende Verhältnisse interessieren.
Man kann die Schwingungszahlen der Töne einer Dur-Tonleiter durch folgende Zahlen darstellen:
c24 d27 e30 f32 g36 a40 h45 c̅48.
Das Schwingungsverhältnis der ganzen Töne ist
c d = 2427 = 89; f g = 3236 = 89; a h = 4045 = 89.
Diese Intervalle nennt man große ganze Töne; ferner ist
d e = 2730 = 910, g a = 3640 = 910;
diese Intervalle sind kleine ganze Töne. Das Verhältnis beider ist 89 · 109 = 8081, und heißt ein Komma.
Das Schwingungsverhältnis der halben Töne ist
e f = 3032 = 1516 und h c = 4548 = 1516.
Schaltet man zwischen c und d einen halben Ton ein, cis, so ist seine Schwingungszahl 24 · 1615 = 25,6 und setzt man nach cis wieder einen halben Ton vom Verhältnis 1615, so würde seine Schwingungszahl 25,6 · 1615 = 27,3 also höher als d; es sind also die Intervalle der zwei halben Töne zwischen c und d, f und g, a und h kleiner als der halbe Ton zwischen e und f.
Noch größer wird der Unterschied, wenn man zwischen die kleinen ganzen Töne halbe Töne einschaltet.
Die Schwingungsverhältnisse der Töne der Dur-Tonleiter sind:
c Grundton, d 98, e 109, f 1615, g 98, a 109, h 98, c̅ 1615,
und diese Verhältnisse gelten nicht bloß für die c-dur-Tonleiter, sondern für jede über einem beliebigen Grundton aufgebaute Tonleiter. Wenn also der Musiker rein spielen will, so muß die diesen Verhältnissen entsprechende Aufeinanderfolge von großen und kleinen ganzen Tönen und von halben Tönen der angegebenen Größe stattfinden. Der Musiker achtet auch hierauf beim Singen und Geigen; aber bei Klavier und Orgel, wo die Bildung der Tonhöhe nicht in seiner Hand liegt, würden Unzuträglichkeiten entstehen, sobald man aus einer anderen Tonart spielt. Ist z. B. auf der Orgel die c-dur-Tonleiter den angegebenen Verhältnissen gemäß gestimmt, so kann man auf ihr in c-dur rein spielen; geht man aber nach g-dur über, so muß zunächst f um einen halben Ton erhöht und durch fis ersetzt werden.
Aber die Tonleiter wäre noch nicht rein; denn schon das erste Intervall g : a ist ein kleiner ganzer Ton, während es ein großer sein sollte, und das umgekehrte findet beim nächsten Intervall a : h statt. Ähnliches findet statt, wenn man auf noch andere Tonarten übergeht. Wenn man also auf der Orgel die Töne für eine Tonleiter genau richtig macht, so passen sie nicht ganz für die anderen Tonarten.
Diesen Übelstand kann man vermindern dadurch, daß man auf ganz reine Stimmung überhaupt verzichtet und eine Universalskala einführt, welche für jede Tonart gleich gut, wenn auch für keine vollkommen paßt. Man teilt nämlich das Schwingungsverhältnis der Oktave (2 : 1) in 12 gleiche Intervalle, so daß jeder folgende halbe Ton gleich vielmal öfter schwingt als der vorhergehende, also gleichschwebende Temperatur hat. Ein halber Ton hat also das konstante Schwingungsverhältnis 12√2, welches nahezu = 1615 · 147148 ist, sich also auch vom halben Tone sehr wenig unterscheidet. Die so erhaltenen halben Töne benützt man zur Bildung jeder Tonart. Hiebei werden die Oktaven natürlich alle ganz rein, und die Quinten und Quarten fast vollkommen rein; dagegen weichen die Terzen und Sexten von den reinen Intervallen beträchtlicher ab, jedoch um weniger als ein Komma.
Aus den angegebenen Schwingungsverhältnissen musikalischer Töne erkennt man das Gesetz, daß uns das Zusammenklingen zweier oder mehrerer Töne nur dann eine angenehme Empfindung verursacht, wenn die Schwingungszahlen in einem durch kleine ganze Zahlen ausdrückbaren Verhältnisse stehen (oder nur sehr wenig davon abweichen wie bei der gleichschwebenden Temperatur). Zwei Töne, welche im Schwingungsverhältnis 1 : 2 stehen, wie Grundton und Oktave geben also den einfachsten Zusammenklang, die vollkommenste Harmonie. Quinte, Quarte und Terz, als Zweiklänge, und den bekannten Dur-Dreiklang fühlen wir als harmonische Zusammenklänge und ihre Schwingungsverhältnisse sind auch durch einfache Zahlen ausgedrückt. Je größer diese Verhältniszahlen werden, um so unangenehmer wirkt der Zusammenklang auf unser Ohr, derart, daß wir den Zusammenklang als unbefriedigend empfinden, als etwas, das der Auflösung bedarf, oder daß wir ihn sogar als Disharmonie empfinden, die das Ohr beleidigt.