196. Bildgleichung des Hohlspiegels.
Wir lassen das Licht ausgehen von einem auf der Hauptachse im Endlichen liegenden Punkte L und untersuchen den Gang der reflektierten Strahlen ([Fig. 249]). Ist LJ der einfallende Strahl, OJ das Einfallslot, JB der reflektierte Strahl, so daß LJO = OJB, und B dessen Schnittpunkt mit der Achse, so ist in △ BJL der Winkel an der Spitze halbiert, daher
LJ : JB = LO : OB.
Fig. 249.
Betrachten wir nur Zentralstrahlen, so daß ohne nennenswerten Fehler LJ = LM und BJ = BM, so ist
LM : BM = LO : OB.
Bezeichnet man den Abstand des leuchtenden Punktes vom Spiegel, also LM, mit a, den Abstand des Punktes B vom Spiegel mit b und setzt r = 2 f, so wird aus obiger Proportion:
a : b = (a - 2 f) : (2 f - b); hieraus
2 a f - a b = a b - 2 b f,
2 a f + 2 b f = 2 a b, und durch Division mit 2 a b f
1a + 1b = 1f. Aus dieser Gleichung kann b berechnet werden. Für jeden anderen Zentralstrahl LJ gilt dieselbe Ableitung, folglich gehen alle reflektierten Strahlen durch denselben Punkt B. Man hat also den Satz: Liegt der leuchtende Punkt auf der Hauptachse, so gehen die reflektierten Strahlen alle durch einen Punkt B der Hauptachse. Dieser Punkt B ist deshalb ein reelles Bild des leuchtenden Punktes L, und sein Abstand b vom Spiegel berechnet sich aus der Gleichung 1a + 1b = 1f (Bildgleichung).
Lichtpunkt L und Bildpunkt B liegen harmonisch zu O und M, oder Lichtpunkt und Bildpunkt teilen den Radius äußerlich und innerlich in demselben Verhältnisse.