247. Zusammengesetzter Hebel.
Da der Hebel dazu dient, um mittels einer kleinen Kraft eine große Last zu heben, liefert er einen Kraftgewinn, z. B. vierfachen Kraftgewinn, wenn die Kraft 4 mal kleiner ist, als die Last. Kraftgewinn ist das Verhältnis von Last zu Kraft, wird also beim Hebel gemessen durch das (umgekehrte) Verhältnis der Hebelarme. Ein Hebel, dessen einer Arm 5 mal so lang ist wie der andere, liefert also 5 fachen Kraftgewinn.
In der Anwendung kann man nun nicht gut einen Hebel von beträchtlich großem oder beliebig großem Kraftgewinne machen; denn schon um etwa einen 1000 fachen Kraftgewinn zu erzielen, müßten die Hebelarme 1 mm und 1 m, oder 1 cm und 10 m sein, was beides praktisch nicht wohl gemacht werden kann. Dagegen ist ein Hebel von 10 fachem Kraftgewinne etwa mit den Hebelarmen von 10 cm und 100 cm noch ein handliches Instrument.
Für größeren Kraftgewinn dient der zusammengesetzte Hebel; er besteht aus mehreren Hebeln, die so angebracht sind daß immer das Ende des einen Hebels auf den Anfang des folgenden drückt. Es bleibt der Anfang des ersten und das Ende des letzten frei, und an diesen wirken Kraft und Last.
Fig. 324.
Haben wir etwa einen dreifach zusammengesetzten Hebel ([Fig. 324]), und es wirkt an a die Last Q, so muß an b die Kraft P′ wirken, so daß:
1) Q : P′ = b : a.
Wird die Kraft P′ nicht wirklich angebracht, so wirkt sie als Last an a′; also muß an b′ die Kraft P′′ wirken, so daß:
2) P′ : P′′ = b′ : a′.
Wird die Kraft P′′ nicht wirklich angebracht, so wirkt sie als Last in a′′; also muß an b′′ die Kraft P wirken, so daß:
3) P′′ : P = b′′ : a′′.
Wenn Q und die Hebelarme bekannt sind, so kann ich aus diesen drei Gleichungen nacheinander die unbekannten P′, P′′, P berechnen; wenn nur P gefunden werden soll, so kann man durch Multiplikation der drei Gleichungen sofort erhalten:
Q : P = b b′ b′′ : a a′ a′′.
Nennen wir die der Kraft P zugewendeten Hebelarme b, b′, b′′ die Kraftarme, die anderen die Lastarme, so heißt dieser Satz: Der zusammengesetzte Hebel ist im Gleichgewichte, wenn sich die Last zur Kraft verhält wie das Produkt aller Kraftarme zum Produkt aller Lastarme; oder wenn:
Q · a a′ a′′ = P · b b′ b′′, d. h. wenn die Last mal allen Lastarmen gleich ist der Kraft mal allen Kraftarmen. Das Gesetz gilt ebenso, wenn man eine andere Anzahl als drei Hebel nimmt. Der Kraftgewinn Q P ist aus obiger Gleichung: Q P = b b′ b′′ a a′ a′′ = b a · b′ a′ · b′′ a′′; aber b a ist der Kraftgewinn des ersten Hebels, b′ a′ der des zweiten, b′′ a′′ der des dritten; also der Kraftgewinn des zusammengesetzten Hebels ist gleich dem Produkte der Kraftgewinne der einzelnen Hebel. Man kann einen tausendfachen Kraftgewinn erzielen, wenn man drei Hebel zusammensetzt, deren jeder einen zehnfachen Kraftgewinn hat; man kann also großen Kraftgewinn erzielen, ohne daß die einzelnen Hebel unpraktische Verhältnisse bekommen.
Man macht von dem zusammengesetzten Hebel auch eine wichtige Anwendung, um eine kleine, kaum sichtbare, nicht meßbare Bewegung in eine größere, deutlich sichtbare, gut meßbare zu verwandeln; denn auch die Wege, welche Q und P beim Drehen zurücklegen, verhalten sich wie: a a′ a′′ : b b′ b′′. Wenn also das Ende von a nur eine ganz kleine Bewegung macht, so macht das von b′′ eine viel größere. Eine solche Vorrichtung nennt man dann Fühlhebel, wie beim Aneroidbarometer und beim Muschenbrookschen Apparat.
Fig. 325.
Wir betrachten die Arbeiten, welche die zwei an einem Hebel angreifenden Kräfte verrichten. Da die Kräfte sich verhalten umgekehrt wie die Hebelarme
P : Q = b : a
und die Kraftwege sich verhalten gerade so wie die Hebelarme
(Weg P) : (Weg Q) = a : b,
so folgt durch Multiplikation beider Proportionen:
P · (Weg P) = Q · (Weg Q).
Da aber Kraft mal Weg das Maß der Arbeit ist, so heißt das: die Arbeit der Kraft ist gleich der Arbeit der Last.
Da beim zusammengesetzten Hebel ebenso ist:
P : Q = a · a′ · a′′ : b · b′ · b′′
([Fig. 324])
und die Kraftwege sich verhalten, wie die Produkte der Hebelarme
(Weg P) : (Weg Q) = b · b′ · b′′ : a · a′ · a′′,
so folgt durch die Multiplikation beider Proportionen
P · (Weg P) = Q · (Weg Q), d. h. auch beim zusammengesetzten Hebel ist die Arbeit der Kraft gleich der Arbeit der Last.
Dieser Satz von der Gleichheit der Arbeit findet sich bei allen Maschinen bestätigt, Gesetz der Maschinen; es ist derselbe Satz, den wir früher die goldene Regel der Mechanik genannt haben.
Aufgabe:
162. Bei einem dreifach zusammengesetzten Hebel gibt der erste Hebel einen 5 fachen, der zweite einen 6 fachen, der dritte einen 21⁄2 fachen Kraftgewinn. Welche Last kann durch eine Kraft von 12 kg gehoben werden?