Sphärische Linsen.

207. Brennpunkt der positiven Linsen.

Eine optische Linse ist ein durchsichtiger Stoff, der von zwei sphärisch gekrümmten Flächen begrenzt ist. Die Verbindungslinie der Mittelpunkte beider Krümmungen ist die Achse der Linse.

Fig. 273.

Wir betrachten einen Querschnitt der optischen Linse und lassen Lichtstrahlen auffallen parallel der Achse. Denken wir uns den Querschnitt selbst wieder in Stücke zerschnitten parallel der Achse ([Fig. 273]), so kann jedes Stück, etwa NORQ als ein Prismenabschnitt betrachtet werden; deshalb wird das Licht abgelenkt. Je weiter ein solches Prismenstück von der Achse entfernt ist, desto größer ist die Neigung der brechenden Flächen, desto größer ist die Ablenkung des Lichtes. Dies zeigt die Möglichkeit, daß die gebrochenen Strahlen sich alle wieder in einem Punkte der Achse vereinigen. Das Experiment zeigt, daß dies wirklich der Fall ist.

Fällt paralleles Licht, etwa Sonnenlicht auf eine Linse parallel der Achse, so gehen die Strahlen nach der Brechung alle durch einen Punkt der Achse.

Weil sich in diesem Punkte auch die Wärmestrahlen der Sonne sammeln, und dort eine große Hitze erzeugen, so wird er der Brennpunkt, Focus, genannt. Seine Entfernung von der Linse heißt Brennweite.

Fig. 274.

Die Linse ist in der Mitte dicker als am Rand, die gebrochenen Strahlen werden wirklich in einem Punkte F₁ vereinigt ([Fig. 274]), die Linse hat einen reellen Brennpunkt und wird auch positive Linse oder Sammellinse genannt. Sind beide Flächen nach außen konvex, so heißt sie bikonvex (a); ist eine Fläche eben, so heißt sie plankonvex (b); ist eine Fläche nach außen konkav, jedoch schwächer gekrümmt als die konvexe, so heißt sie konkavkonvex (c).

Läßt man das Licht von der anderen Seite auf die Linse fallen, so zeigt sie ebenso einen Brennpunkt in gleicher Brennweite.

Fig. 275.

Da das Licht vorwärts und rückwärts denselben Weg zurücklegt, so ergibt sich: das von einem Brennpunkt ausgehende Licht wird nach der Brechung der Achse parallel ([Fig. 275]). Kommt das Licht nur von einer Seite, (links) so nennt man den hinter der Linse liegenden Brennpunkt den ersten Brennpunkt F₁; den vor der Linse liegenden, von welchem das Licht ausgehen muß, um nach der Berechnung der Achse parallel zu werden, nennt man den zweiten Brennpunkt F₂.

Fig. 276.

208. Brennpunkt der negativen Linsen.

Ist eine Linse in der Mitte dünner als am Rand ([Fig. 276]), so sind entweder beide Flächen nach außen konkav — bikonkave Linse —, oder es ist eine davon eben — plankonkav — oder es ist zwar eine davon konvex, jedoch schwächer gekrümmt, als die konkave — konvexkonkav.

Wir zerlegen den Querschnitt wieder in einzelne Stücke, so sind ([Fig. 277]) deren Grenzflächen die Flächen von Prismen, deren brechende Kante diesmal der Achse zugekehrt ist.

Fig. 277.

Läßt man nun ein Bündel paralleler Lichtstrahlen parallel der Achse einfallen, so werden sie so gebrochen, daß sie sich von der Achse entfernen, um so mehr, je größer der Abstand des Teilprismas von der Achse ist. Hieraus erkennt man die Möglichkeit, daß die gebrochenen Strahlen so divergieren, als wenn sie von einem vor der Linse liegenden Punkt herkämen.

Betrachtet man einen hinter einer bikonkaven Linse liegenden Gegenstand, so sieht man ihn deutlich, wenn auch verkleinert. Dies beweist, daß die Linse von ihm ein virtuelles, wenn auch verkleinertes Bild erzeugt hat. Wir schließen aus diesem Versuch:

Parallel der Achse einfallende Lichtstrahlen werden von einer konkaven Linse so gebrochen, wie wenn die gebrochenen Strahlen von einem vor der Linse liegenden Punkte herkämen. Dieser Punkt heißt erster Brennpunkt und ist ein virtueller Bildpunkt eines im Unendlichen liegenden Lichtpunktes. Konkave Linsen heißen auch Zerstreuungsgläser oder negative Linsen.

Fig. 278.

Läßt man das Licht von der andern Seite einfallen, so erhält man einen zweiten Brennpunkt in gleicher Entfernung auf der andern Seite der Linse.

In [Fig. 278] ist dargestellt, wie die Strahlen I und II von links her parallel der Achse einfallen, und so gebrochen werden, als I′ und II′, wie wenn sie vom Brennpunkt F₁ herkämen. Ferner kommen die Strahlen III und IV von links her so, wie wenn sie auf den zweiten Brennpunkt F₂ hin wollten, und werden so gebrochen, daß sie als III′ und IV′ der Achse parallel werden.

209. Größe der Brennweite.

Die Brennweite f berechnet sich aus der Brennpunktsgleichung:

1f = (n - 1) (1 r₁ - 1r₂),

wobei n den Brechungskoeffizient, r₁ und r₂ die Krümmungsradien der zwei sphärischen Flächen bedeuten und jeder als positiv genommen wird, wenn das Licht die konvexe Seite der Krümmung trifft.

Fig. 279. Fig. 280.

Ergibt sich f als positiv, so hat man eine Sammellinse; wird f negativ, so hat man eine Zerstreuungslinse.

Soll eine Linse eine sehr kurze Brennweite haben, also f klein sein, so gibt man dem r₁ und r₂ verschiedene Zeichen, so daß ihre Werte addiert werden (also bikonvex oder bikonkav) und sucht r₁ und r₂ möglichst klein zu machen. Dann muß aber auch die Linse sehr klein sein. Linsen von kurzer Brennweite haben meist entgegengesetzt gerichtete Krümmungsflächen, sehr kleine Krümmungsradien und können nicht groß sein ([Fig. 280]).

Soll die Linse eine große Brennweite haben, also f groß sein, so macht man die Krümmungsradien r₁ und r₂ beide sehr groß. Hiebei ist es möglich, die Linse selbst groß zu machen, ohne daß ihre Dicke verhältnismäßig zu groß wird. Linsen von großer Brennweite haben sehr große Krümmungsradien und können (aber müssen nicht) groß sein ([Fig. 279]).

Brennversuche wurden bald nach Erfindung der Brenngläser gemacht; Mariotte machte positive Linsen aus Eis und entzündete damit Schießpulver; Tschirnhaus machte Linsen von 90 cm Durchmesser und 4,34 m Brennweite, in deren Brennpunkt alle Metalle schmolzen, Wasser ins Kochen kam und die Verbrennlichkeit des Diamanten nachgewiesen wurde (1687). Für optische Zwecke waren diese Linsen ganz unbrauchbar, denn sie waren voll „Schlieren“.

210. Ableitung der Bildgleichung.

Fällt Licht von einem in mäßiger Entfernung liegenden leuchtenden Punkt auf eine positive Linse, so werden die Lichtstrahlen auch in einen Punkt vereinigt, der aber vom Brennpunkt verschieden ist.

Die Lage dieses Bildpunktes findet man auf folgende Art. Liegt der leuchtende Punkt in der Achse, so liegt auch das Bild in der Achse. Rückt man den leuchtenden Punkt senkrecht zur Achse etwas seitwärts, so rückt auch der Bildpunkt senkrecht zur Achse etwas seitwärts. Beides bestätigt der Versuch, das letztere auch dadurch, daß man die Linse etwas dreht.

Fig. 281.

Ist nun in [Fig. 281] L′ ein leuchtender Punkt, so geht 1) der parallel der Achse gehende Strahl I nach der Brechung durch den ersten Brennpunkt F₁; 2) der durch die Mitte der Linse gehende Strahl II geht ungebrochen durch, da er dort, besonders wenn man die Dicke der Linse sehr klein nimmt, parallele Flächen trifft. Der Schnittpunkt B′ beider Strahlen bestimmt somit die Lage des Bildpunktes B, welcher dem leuchtenden Punkte L zugehört. Somit ist auch B das Bild von L.

Bezeichnet man den Abstand des leuchtenden Punktes von der Linse, LM, mit a, den Abstand des Bildpunktes B von der Linse, BM, mit b, die Brennweite F₁M mit f, so ist

△ B′BM ~ △ L′LM, also BB′ : LL′ = b : a; ferner

△ B′BF₁ ~ △ JMF₁, also BB′ : MJ = b - f : f; da nun

LL′ = MJ, so folgt durch Vergleichung:

b : a = b - f : f; hieraus a · (b - f) = b f, oder

a b = b f + a f. Dividiert man beiderseits mit a b f, so wird

1f = 1a + 1b. (Bildpunktsgleichung.)

211. Bilder positiver Linsen.

In Bezug auf die Größe der Bilder folgt aus [Fig. 281]:

LL′ : BB′ = a : b ; d. h.

Gegenstand und Bild verhalten sich wie ihre Abstände von der Linse.

Liegt das Bild hinter der Linse, so ist es reell, liegt es vor der Linse, so ist es virtuell.

Liegen Gegenstand und Bild auf verschiedenen Seiten der Linse, so sind sie der Stellung nach verschieden, das Bild ist verkehrt; liegen beide auf derselben Seite der Linse, so haben sie gleiche Stellung, das Bild ist aufrecht.

Fig. 282.

Zur Untersuchung der Lage der Bilder benützen wir die Bildgleichung 1f = 1a + 1b, woraus 1b = 1f - 1a. Wir nehmen an, das Licht komme von links, so liegt der erste Brennpunkt F₁ rechts, der zweite Brennpunkt F₂ links von der Linse. Wir teilen den Raum vom Unendlichen bis zur Linse in drei Räume: der erste Raum reicht vom Unendlichen bis zum zweiten Gegenpunkt im Endpunkt der doppelten zweiten Brennweite (G₂), der zweite Raum reicht von da bis zum zweiten Brennpunkt (F₂), der dritte Raum reicht von da bis zur Linse. Ebenso wird der Raum hinter der Linse geteilt; der dritte Raum von der Linse bis F₁, der zweite von F₁ bis G₁, der erste von G₁ bis ins Unendliche.

Liegt der leuchtende Punkt im Unendlichen, ist a = ∞, so liegt das Bild im ersten Brennpunkt, b = f, und ist reell. Das Bild eines endlichen Gegenstandes (Sternes) wäre demnach ein Punkt. Zwei Sterne geben Bilder von meßbarem Abstand. Ihre Bilder liegen dort, wo die Achsen der von ihnen ausgehenden Büschel paralleler Strahlen die in F₁ zur Achse senkrechte Ebene (Brennpunktsebene) treffen.

Rückt ([Fig. 283]) der leuchtende Punkt vom Unendlichen gegen G₂, so wird a kleiner, also 1a größer, also wird aus der Bildgleichung 1b kleiner, also b größer; das Bild rückt demnach von F₁ gegen G₁ zu in den zweiten Raum. Ist der l. P. in G₂ angekommen, so ist a = 2 f, also auch b = 2 f, deshalb liegt das Bild in G₁. Während der leuchtende Punkt den ersten Raum vom Unendlichen bis G₂ durchläuft, durchläuft das Bild von F₁ aus den zweiten Raum bis G₁ und ist reell. Das Bild ist dabei verkleinert und verkehrt. Liegt der Gegenstand in G₂, so liegt sein Bild in G₁, ist verkehrt, reell und gleich groß.

Fig. 283.

In [Fig. 283] ist zuerst dargestellt, wie die Lichtstrahlen vom Punkt L ausgehen, durch die Linse (zweimal) gebrochen und dann in einen Punkt B vereinigt werden. Liegt L′ seitwärts der Achse, so liegt auch B′ seitwärts der Achse. In der dritten Figur ist dargestellt, wie man das Bild durch eine Konstruktion finden kann. Man benützt 3 von L′ ausgehende Strahlen: I parallel der Achse, geht dann durch F₁; II geht durch die Mitte der Linse ungebrochen weiter; III geht durch F₂ und wird nach der Brechung parallel der Achse. In der vierten Figur sind für mehrere Lagen des leuchtenden Gegenstandes L₁, L₂ . . . . G₂ die Bilder B₁, B₂ . . . . G₁ gezeichnet.

Rückt ([Fig. 284]) der l. P. von G₂ in den zweiten Raum, so wird a noch kleiner, 1 a größer, also 1b noch kleiner, demnach b noch größer; das Bild rückt von G₁ aus von der Linse weg in den ersten Raum. Ist der l. P. in F₂ angekommen, so ist a = f, also 1b = 0, also b = ∞: das Bild liegt im Unendlichen, die Lichtstrahlen sind nach der Brechung parallel der Achse. Während der leuchtende Punkt den zweiten Raum von G₂ nach F₂ durchläuft, durchläuft das Bild den ersten Raum von G₁ bis ins Unendliche und ist reell. Die Bilder sind dabei vergrößert und verkehrt.

Fig. 284.

In [Fig. 284] ist zuerst dargestellt, wie die von L ausgehenden Lichtstrahlen durch die Linse (zweimal) so gebrochen werden, daß sie sich in einem Punkt B vereinigen. In der zweiten Figur wird das Bild BB′ durch Konstruktion gefunden, indem man drei Strahlen I, II, III von denselben Eigenschaften wie vorher benützt. In der dritten Figur ist für mehrere Lagen des leuchtenden Gegenstandes G₂, L₁, L₂ . . . . das zugehörige Bild G₁, B₁, B₂ . . . . gezeichnet.

Rückt ([Fig. 285]) der l. P. vom F₂ in den dritten Raum, so wird a < f, also 1a > 1f; deshalb ergibt sich 1b negativ. Das bedeutet, daß das Bild nicht hinter, sondern vor der Linse liegt. So lange dabei a noch nahezu = f ist, ist auch b noch sehr groß; wird a noch kleiner und schließlich = 0, so wird auch b kleiner und schließlich = 0. Während der leuchtende Punkt von F₂ aus den dritten Raum durchläuft bis zur Linse, durchläuft das Bild den ganzen Raum vor der Linse vom Unendlichen bis zur Linse und ist virtuell. Die Bilder sind dabei vergrößert und aufrecht.

Fig. 285.

In [Fig. 285] ist zuerst gezeichnet, wie die von L herkommenden Strahlen durch die positive Linse (zweimal) so gebrochen werden, daß sie nach der Brechung divergieren, wie wenn sie von dem vor der Linse liegenden Punkte B herkämen. In der zweiten Figur ist das Bild BB′ konstruiert: I parallel der Achse geht dann durch F₁, II geht durch die Mitte der Linse ungebrochen weiter, III, welches so geht, als wenn es von F₂ herkäme, wird nach der Brechung parallel der Achse; die drei gebrochenen Strahlen I′, II′, III′ divergieren so, wie wenn sie von B′ herkämen. In der dritten Figur ist für verschiedene Lagen des leuchtenden Gegenstandes L₁, L₂ etc. das virtuelle Bild B₁, B₂ etc. gezeichnet.

Mit einer Kerzenflamme und einer positiven Linse kann man leicht die reellen Bilder erzeugen, auf einem Schirme auffangen und ihre Lage, Art und Größe ersehen.

Aufgaben:

129. 5,4 m vor einer positiven Linse von 90 cm Brennweite befindet sich ein leuchtender Gegenstand von 37 cm Durchmesser. Wo erscheint das Bild, welcher Art und wie groß ist es?

130. Vor einer positiven Linse von 30 cm Brennweite befinden sich zwei leuchtende Punkte in 2,4 m bezw. 2,5 m Entfernung. Wie weit stehen ihre Bilder von einander ab?

131. 120 cm vor einer positiven Linse steht eine Kerzenflamme; 40 cm hinter der Linse entsteht das reelle Bild der Flamme. Wie läßt sich hieraus die Brennweite der Linse berechnen?

132. Wenn zwei Sterne einen scheinbaren Abstand von 2' 38" haben, wie weit sind dann ihre Bilder von einander entfernt, welche durch eine positive Linse von 3,8 m Brennweite erzeugt werden? Unter welchem Gesichtswinkel erscheint dieses Bildpaar aus der deutlichen Sehweite von 18 cm betrachtet?

133. Berechne Art, Lage und Größe des Bildes aus folgenden Angaben, wobei G die Größe des Gegenstandes bedeutet:

a)	f = 1,4 m,	a = 3,5 m,	G = 20 cm;
b)	f = 0,6 m,	a = 4 mm,	G = 0,3 mm;
c)	f = 3 cm,	a = 5 cm,	G = 1,4 cm;
d)	f = 30 cm,	a = 2 m,	G = 2,4 cm;
e)	f = 10 cm,	a = 6 cm,	G = 0,20 cm;
f)	f = 10 cm,	a = 12 cm,	G = 0,2 cm.

212. Bilder negativer Linsen.

Fig. 286.

Für Linsen mit negativer Brennweite gilt dieselbe Gleichung, nur hat f einen negativen Wert. Demnach 1b = - 1f - 1a. Hieraus folgt: Solange a positiv ist, also wenn der leuchtende Punkt vom Unendlichen bis zur Linse rückt, ist b stets negativ, das Bild liegt vor der Linse und ist virtuell; und da für a = ∞, b = - f, und für a = 0, b = 0 wird, so rückt das Bild vom Brennpunkt an die Linse; es ist verkleinert und aufrecht. In [Fig. 286] ist zuerst gezeichnet, wie die von L herkommenden Strahlen durch die negative Linse (zweimal) so gebrochen werden, daß sie nach der Brechung divergieren, wie wenn sie von einem Punkte B vor der Linse herkämen.

In der zweiten Figur ist das Bild BB′ konstruiert: I parallel der Achse, geht nach der Brechung so, wie wenn es von F₁ herkäme; II geht durch die Mitte der Linse ungebrochen weiter; III geht so, wie wenn es durch F₂ gehen wollte und wird so gebrochen, daß es parallel der Achse wird.

In der dritten Figur ist dargestellt, wie Lichtstrahlen, welche konvergent auf die Linie treffen, so wie wenn sie auf einen hinter der Linse zwischen der Linse und F₂ liegenden Punkt L hingehen wollten, so gebrochen werden, daß sie sich in einem Punkte B treffen. In diesem Fall ist a negativ und kleiner als f; dann wird b + und größer als f. Z. B. f = -27, a = -21,7; dann ist b = 110.

In der vierten Figur ist dargestellt, wie Lichtstrahlen, welche auf einen hinter der Linse hinter F₂ liegenden Punkt L konvergieren, so gebrochen werden, daß sie divergieren, wie wenn sie von einem vor der Linie liegenden Punkte B herkämen. In diesem Falle ist a negativ und größer als f, dann wird b negativ, z. B. f = -27; a = -60, gibt b = -40.

Barrow († 1677) gab eine geometrische Methode an, um bei jeder Linse die Lage des Bildes zu finden für jede Lage des l. P. Cavalieri stellte 1647 die erste Brennpunktsgleichung für Glaslinsen auf.

213. Das Auge als optischer Apparat.

Fig. 287.

Der Augapfel ist eingehüllt von der harten Haut, welche undurchsichtig, außen weiß, innen geschwärzt und lederartig hart ist. Vorn ist ein Teil derselben ersetzt durch die Hornhaut, welche durchsichtig und etwas stärker gewölbt ist. Das Innere des Auges ist durch die Regenbogenhaut in zwei Teile geschieden: die vordere, kleinere Augenkammer ist angefüllt mit einer klaren, wässerigen Flüssigkeit, die hintere, größere Augenkammer ist mit einer gallertartigen Masse gefüllt, die ganz klar ist, das Licht stark bricht und Glaskörper heißt. In der hinteren Augenkammer sitzt gleich hinter der Regenbogenhaut die Kristallinse, eine klare, das Licht stark brechende, positive Linse von kurzer Brennweite, bestehend aus einer knorpelähnlichen durchsichtigen Masse. Die Regenbogenhaut, Iris, ist undurchsichtig, vorn braun oder blau oder grau, und hat in der Mitte eine Öffnung, das Sehloch oder die Pupille, durch welches Licht ins Auge dringt. Sieht man ins Dunkle, so erweitert sich die Pupille, um viel Licht eindringen zu lassen; sieht man ins Helle, so verengt sie sich, spielt also die Rolle einer Blende. Die hintere Wand der Augenkammer ist mit der Netzhaut (retina) ausgekleidet, in welcher sich der Sehnerv verbreitet; dieser kommt vom Gehirne, dringt seitwärts ins Auge ein, zerteilt sich in seine einzelnen, sehr zahlreichen Fasern, und diese endigen in sehr dünnen Stäbchen und Zapfen, die dicht neben einander stehend dem Lichte ihre Enden zukehren. Werden diese Nervenenden vom Lichte getroffen, so empfinden wir das Licht, wir sehen.

Die Lichtstrahlen werden durch Hornhaut und Kristallinse gebrochen und in einem Punkt hinter der Linse vereinigt. Liegt der Bildpunkt genau auf der Netzhaut, so sehen wir den Punkt klar und deutlich, liegt aber das Bild vor oder hinter der Netzhaut, so wird nicht bloß ein Punkt, sondern eine ganze Fläche (Zerstreuungskreis) der Netzhaut von den Lichtstrahlen getroffen; das Auge empfindet noch Licht und Farbe, aber nicht mehr deutlich, sondern verwaschen, verschwommen.

Wir sehen einen Gegenstand nur dann deutlich, wenn das Bild genau auf der Netzhaut liegt. Dieses Bild ist verkleinert, reell und verkehrt (Scheiner). Nur der Teil der Netzhaut, der von der Augenachse getroffen wird, sieht scharf und deutlich, dort stehen die Nervenfasern am engsten; er heißt der gelbe Fleck, macula lutea. Weiter entfernte Teile der Netzhaut sehen weniger scharf; um also einen Gegenstand deutlich zu sehen, richten wir die Augenachse auf ihn, z. B. wir folgen mit den Augen den Buchstaben, wenn wir lesen.

Dort, wo der Sehnerv ins Auge tritt, ist er noch nicht verzweigt, dort sind keine Nervenenden, an dieser Stelle ist also das Auge blind. Macht man auf ein Papier zwei (dicke) Punkte horizontal etwa 5 cm entfernt, betrachtet mit dem rechten Auge den links liegenden, senkrecht auf die Papierfläche sehend, so findet man, wenn man näher hin oder weiter weg geht, daß man den rechts liegenden Punkt nicht mehr sieht, sein Bild liegt dann an dieser Eintrittsstelle des Sehnerves. (Mariotte.)

214. Akkommodation.

Die brechenden Flächen des Auges, Hornhaut und Kristallinse wirken wie eine einzige Linse oder Fläche. Da eine solche von Gegenständen in verschiedenen Entfernungen auch Bilder erzeugt, die in verschiedenen Entfernungen hinter der Linse liegen, und wir den Gegenstand nur dann deutlich sehen, wenn das Bild genau auf der Netzhaut liegt, so folgt, daß wir Gegenstände, die in verschiedenen Entfernungen liegen, nicht zugleich deutlich sehen können, ja daß, wenn das Auge sonst keine Vorrichtung hätte, wir nur Gegenstände in ganz bestimmter Entfernung deutlich sehen könnten.

Das Auge kann sich innerhalb gewisser Grenzen so einrichten, daß es Gegenstände in verschiedenen Entfernungen nacheinander deutlich sehen kann, das Auge kann akkommodieren (sich anbequemen, anpassen). Die Kristallinse ist befestigt an einem sie rings umgebenden Band, und dessen Spannung kann durch den im Auge befindlichen, ringsum am Rand der Hornhaut entspringenden Muskel, den Ciliarmuskel, verringert werden. Dann wölben sich die Flächen der Linse, namentlich die vordere stärker, und die Brennweite wird kürzer. Befindet sich nun der betrachtete Punkt im Unendlichen, so bleibt der Muskel ganz schlaff, die Linse ist möglichst flach, ihre Brennweite möglichst groß, sie reicht gerade bis zur Netzhaut. Rückt der leuchtende Punkt gegen das Auge, so würde das Bild hinter die Netzhaut fallen; durch Anspannung des Muskels wird nun die Brennweite kürzer, so daß das hinter dem Brennpunkte liegende Bild wieder gerade auf der Netzhaut liegt. Je näher der Punkt ans Auge rückt, um so stärker wirkt der Muskel, um so kürzer wird die Brennweite. Auf diese Weise richtet das Auge seine Brennweite stets genau entsprechend der Entfernung des betrachteten Punktes, eine staunenswerte Einrichtung. (Thomas Young 1800.)

Das Auge kann nicht auf zwei Punkte in verschiedenen Entfernungen (Hand- und Schultafel) zugleich akkommodieren.

Die Akkommodationsfähigkeit des Auges ist nicht unbeschränkt. Ein normales Auge sieht die unendlich fernen Punkte (die Sterne) deutlich, Fernpunkt, und auch alle Punkte bis in eine Nähe von ca. 20 cm, Nahpunkt.

215. Fehler in der Akkommodation. Brillen.

Das kurzsichtige Auge. Durch angestrengtes, lange dauerndes Sehen in großer Nähe, besonders in der Jugend, wird das Auge kurzsichtig, es kann nicht mehr auf ferne Gegenstände akkommodieren; der Fernpunkt liegt sehr nahe 2 m, 1 m, 50 cm am Auge. Dies kommt daher, daß infolge angestrengten und andauernden Sehens in die Nähe im Auge Blutandrang entsteht, der die in der Jugend noch weichen Teile der Netzhautgrube (am gelben Flecke) nach auswärts drückt, so daß die Entfernung der Netzhaut von der Linse größer, die Augenachse länger wird. Deshalb können die Bilder fern liegender Gegenstände nicht mehr auf der Netzhaut liegen. Einen (kleinen) Vorteil hat das kurzsichtige Auge dadurch, daß es auch noch Gegenstände näher als 20 cm sehen kann, der Nahepunkt rückt näher ans Auge (bis 5 cm). Die Akkommodationsbreite eines kurzsichtigen Auges reicht also etwa von 1 m bis 5 cm.

Man hilft dem kurzsichtigen Auge durch eine Brille mit negativen Linsen und wählt deren Brennweite gleich dem Abstand des Fernpunktes vom Auge; denn dann entwirft diese Brille von den Punkten, die zwischen dem Unendlichen und dem Fernpunkte (Brennpunkte) liegen, Bilder, die zwischen dem Brennpunkte (Fernpunkte) und dem Auge liegen; das Auge kann dann auf diese Bilder akkommodieren. Für Punkte innerhalb des Nahepunktes braucht das Auge die Brille nicht, weshalb empfohlen wird, bei Betrachtung naher Gegenstände die Brille zu entfernen.

Das weitsichtige Auge. Bei vorgerücktem Alter von 40 bis 50 Jahren wird manchmal die Kristallinse etwas härter, so daß sie sich bei Betrachtung naheliegender Punkte nicht mehr stark genug wölben kann, wohl auch wird die Wölbung der Hornhaut etwas flacher; dadurch wird das Auge weitsichtig, d. h. es verliert die Fähigkeit, auf naheliegende Punkte zu akkommodieren; der Nahepunkt rückt weiter weg, bis 40, bis 60, bis 100 cm. Fernliegende Gegenstände sieht das Auge noch ganz gut, oft ausgezeichnet, denn der Fernpunkt liegt im Unendlichen.

Zur Betrachtung naheliegender Gegenstände (zum Lesen und Schreiben) bedient sich der Fernsichtige einer Brille mit positiven Linsen, hält sie so, daß der Gegenstand im dritten Raume der Linse liegt, also zwischen zweitem Brennpunkt und Linse; dann entwirft die Linse ein vergrößertes, virtuelles, aufrechtes Bild vor der Linse, das aber in größerer Entfernung liegt; wird nun die Brennweite der Linse so gewählt, daß das Bild jenseits des Nahepunktes liegt, so kann das Auge darauf akkommodieren. Bei Betrachtung fernliegender Punkte muß die Brille stets entfernt werden.

216. Das scharfe Sehen.

Will man einen Gegenstand möglichst gut sehen, d. h. die einzelnen Teile gut unterscheiden können, so muß der Gegenstand jedenfalls in der Akkommodationsbreite liegen. Sind aber zwei Punkte recht nahe beisammen, z. B. 1 mm, und vom Auge recht weit entfernt z. B. eine Meile, so liegen die Bilder wohl klar auf der Netzhaut, aber so nahe beisammen, daß sie etwa auf dasselbe oder auf sehr benachbarte Nervenenden treffen; man hat also auch nur eine Empfindung, man sieht die Punkte nicht getrennt. Sie müssen näher am Auge liegen, damit ihre Bilder auf verschiedenen oder ziemlich entfernten Nervenenden der Netzhaut liegen. Man sieht daher um so mehr Einzelheiten (Details) an dem betrachteten Gegenstand, je näher er dem Auge ist, also unter je größerem Gesichtswinkel man ihn sieht. Für ein gutes Auge ist eine Schrift von 1 mm Höhe der kleinen Buchstaben in 1 m Entfernung noch lesbar also bei 2 mm Höhe in 2 m Entfernung u. s. w.

217. Die Lupe oder das einfache Mikroskop.

Um einen Gegenstand möglichst gut zu sehen, muß man ihn möglichst nahe ans Auge halten, um den Sehwinkel groß zu machen; aber wir können ihn nicht näher als bis an den Nahepunkt bringen. Um den Gegenstand gleichwohl näher ans Auge bringen zu können, benützt man die Lupe oder das Vergrößerungsglas, eine positive Linse von sehr kurzer Brennweite (etwa 1 cm).

Fig. 288.

Man hält den Gegenstand zwischen den zweiten Brennpunkt und die Linse ([Fig. 288]); dann entsteht ein Bild, welches vergrößert, virtuell, aufrecht, vor der Linse und weiter entfernt ist. Hält man nun das Auge hinter die Lupe und liegt das Bild in der Akkommodationsbreite des Auges, so kann man dieses Bild deutlich sehen.

Fig. 289.

Stärke der Vergrößerung. Würde man den Gegenstand ohne Lupe betrachten, so müßte man ihn mindestens in den Nahepunkt halten nach L₁L′₁ ([Fig. 289]), 20 cm vom Auge; er erscheint dann unter einem kleinen Gesichtswinkel, etwa 1°. Betrachtet man ihn aber mit einer Lupe von 4 cm Brennweite, so ist er 4 cm (oder etwas weniger) von der Lupe entfernt in LL′, also auch, wenn das Auge sich unmittelbar hinter der Lupe befindet, 4 cm (ca.) vom Auge entfernt, ist also fünfmal so nahe am Auge, erscheint demnach unter (nahezu) fünfmal so großem Gesichtswinkel β, etwa 5°, also fünfmal vergrößert. Der Gegenstand erscheint (nahezu) so vielmal größer, als die Brennweite in der Entfernung des Nahepunktes enthalten ist.

Dabei ist jedoch folgendes zu beachten:

1. Man halte das Auge möglichst nahe an die Lupe; denn das von der Linse entworfene Bild BB′ sieht man vom Punkte A aus offenbar unter größerem Gesichtswinkel als von einem weiter entfernten Punkte.

2. Die Lupe verändert den Gesichtswinkel nicht (nur unmerklich). Denn allerdings entwirft die Lupe ein vergrößertes Bild; aber so vielmal es größer ist, ebensovielmal ist es weiter entfernt; ein in A befindliches Auge sieht also den Gegenstand LL′ ohne Lupe unter demselben Gesichtswinkel β, unter welchem es das Bild BB′ sieht. Durch die Lupe wird der Gesichtswinkel β des in der Entfernung LA vor dem Auge befindlichen Gegenstandes nicht verändert, wohl aber wird die Akkommodation ermöglicht.

3. Man halte den Gegenstand so, daß das Bild gerade im Nahepunkt liegt; denn je näher man den Gegenstand an die Lupe hält, unter um so größerem Gesichtswinkel erscheint er, (vergleiche [Fig. 285], 3); um aber noch auf ihn akkommodieren zu können, muß das Bild noch in der Akkommodationsbreite liegen, darf also höchstens in den Nahepunkt rücken. Liegt etwa in [Fig. 285], 3 der Nahepunkt in B₄, so sieht man den Gegenstand in L₄ größer als in L₃ oder L₁, obwohl B₄ kleiner ist als B₃ oder B₁; den Gegenstand noch näher an die Linse zu halten, nach L₅, ist unzulässig, weil dann das Bild B₅ nicht mehr in der Akkommodationsbreite liegt.

Besonders Leeuwenhoek † 1723 verstand es, einfache Mikroskope von bedeutender Kraft herzustellen und erzielte dabei bis 160 fache Vergrößerung. Er machte beiderseits sehr stark gekrümmte, stecknadelkopfgroße Linsen. Man verwendet gegenwärtig nur Lupen von mäßiger Vergrößerung (Uhrmacher, Xylograph u. s. w.). Sind stärkere Vergrößerungen erwünscht, so bedient man sich des Mikroskopes. Lupen von starker Vergrößerung also kurzer Brennweite sind stets sehr klein. Statt ihrer nimmt man zwei positive Linsen von etwas größerer Brennweite, welche also ziemlich groß sein können, und befestigt sie in kurzem Abstande hinter einander in einer Hülse; sie wirken dann wie eine Lupe von kurzer Brennweite (zusammengesetzte Lupe).

Aufgaben:

134. Wie weit muß bei einer Lupe von 3 cm Brennweite der Gegenstand vor die Linse gehalten werden, damit sein virtuelles Bild in der deutlichen Sehweite von 20 cm erscheint?

135. Wie weit muß bei einer Lupe von 3 cm Brennweite der Gegenstand vor die Linse gehalten werden, damit sein virtuelles Bild in der deutlichen Sehweite von 18 cm erscheint? Wie vielmal ist es größer, wie vielmal erscheint es dem Auge vergrößert?

136. Welche Brennweite muß eine Lupe haben, damit das in der deutlichen Sehweite (20 cm) erscheinende Bild viermal so groß erscheint?