Lemma II.
Corporis longinqui gravitatem ad Sphæroidem oblatam determinare.
Retentis iis quæ sunt in lemmate superiori demonstrata; esto C centrum sphæroidis, cujus æquatori parallelus sit circulus IMK. Sphæroidis hujus semiaxis major sit a, semiaxis minor b, eorum differentia c, quam exiguam esse suppono; et dicatur D circumferentia æquatoris. Centro C et radio æquali semiaxi minori describi concipiatur circulus qui secet IK in i, eritque gravitas in directione SD, qua urgetur corpus S versus materiam sitam inter circumferentiam IMKN et circumferentiam centro X et radio Xi descriptam, æqualis gravitati in lemmate præcedenti definitæ ductæ in rectam Ii. Sed est Ii. c∷ IX. a, atque d. D∷ IX. a; unde Ii × d. D × c∷ (IX)². aa, hoc est, ex naturâ ellipseos, ob CX = z, et IX = r, Ii × d. D × c∷ bb - zz. bb, adeoque Ii × d = D × c ⁄ bb × (bb - zz), atque rr = aa - aazz ⁄ bb; scribi autem potest in sequenti calculo bb - zz pro rr ob parvitatem differentiæ semiaxium in quam omnes termini ducuntur. Gravitas igitur corporis S in materiam inter circumferentias supradictas consistentem exprimetur per D × c ⁄ bb × (bb - zz) × (k - z) in 1 ⁄ l³ + 3kz ⁄ l⁵ - 3bb ⁄ 2l⁵ - 15zz ⁄ 4l⁵ + 15bbhh ⁄ 4l⁷ + 45kkzz ⁄ 4l⁷. Et si addatur gravitas in similem materiam ex alterâ parte centri C ad æqualem à centro distantiam, quia tunc CX sive z evadit negativa, gravitas corporis S in hanc duplicem materiam erit D × c ⁄ bb × (bb - zz) in 2k ⁄ l³ - 6kzz ⁄ l⁵ - 3kbb ⁄ l⁵ + 15k³zz ⁄ l⁷ + 15hhkbb ⁄ 2l⁷ - 15hhkzz ⁄ 2l⁷. Ducatur jam gravitas hæc in ż, et sumptâ gravitatum omnium summâ, factâ z = b, gravitatio tota corporis S in totam materiam globo interiori superiorem secundum directionem SD æquatori perpendicularem prodit (D × c) × (4kb ⁄ 3l³ - 4kb³ ⁄ 5l⁵ + 2khhb³ ⁄ l⁷). Simili ratiocinio gravitatio corporis S in eamdem materiam secundum directionem SR æquatori parallelam invenitur æqualis D × c × (4hb ⁄ 3l³ + 2hb³ ⁄ 5l⁵ - 2hkkb³ ⁄ l⁷). Tum si addatur gravitatio corporis S in globum interiorem, ex unâ parte scilicet 2b³kD ⁄ 3al³, et ex alterâ 2b³hD ⁄ 3al³, habebitur gravitas corporis S in totum sphæroidem. Q. E. I.
Coroll.
Igitur gravitas corporis S secundum SD est ad ejusdem gravitatem secundum SR sive DC in materiam sphæroidis globo interiori incumbentem ut 2k ⁄ 3 - 2kb² ⁄ 5l² + khhb² ⁄ l⁴ ad 2h ⁄ 3 + hb² ⁄ 5l² - hkkb² ⁄ l⁴, adeoque si gravitas prior exponatur per k, posterior exprimetur per h - 3hb² ⁄ 5l² quamproximè. Unde cum sit DC = h, patet gravitatem corporis S in sphæroidem oblatam non tendere ad centrum C, sed ad punctum c rectæ DC in plano æquatoris jacentis vicinius puncto D.