CAPÍTULO XXVII.
CONTINUACION.
[269.] Es hasta ridículo el decir que los conocimientos de los mas sublimes matemáticos, se hayan reducido á esta ecuacion: A es A. Esto, dicho absolutamente, es no solo falso sino contrario al sentido comun; pero ni es contrario al sentido comun, ni es falso, el decir que los conocimientos de todos los matemáticos, son percepciones de identidad, la cual presentada bajo diferentes conceptos sufre infinitas variaciones de forma, que fecundan al entendimiento y constituyen la ciencia. Para mayor claridad tomemos un ejemplo y sigamos una idea al través de sus transformaciones.
[270.] La ecuacion círculo = círculo(1) es muy verdadera, pero nó muy luminosa, pues no sirve para nada, á causa de que hay identidad no solo de ideas sino tambien de conceptos y expresion. Para que haya un verdadero progreso en la ciencia, no basta que la expresion se mude, es necesario que se varié en algun modo el concepto bajo el cual se presenta la cosa idéntica. Asi es que si la ecuacion anterior la abreviamos en esta forma C = círculo(2) nada hemos adelantado, sino en cuanto á la expresion puramente material. La única ventaja que puede resultarnos, es el que aliviamos un tanto la memoria porque en vez de expresar el círculo por una palabra la expresamos por una letra, la inicial C. ¿Por qué? porque la variedad está en la expresion, no en el concepto.
Si en vez de considerar la identidad en toda su simplicidad en ambos miembros de la ecuacion, referimos el valor del círculo al de la circunferencia, tendremos C = circunferencia x ½ R (3) es decir que el valor del círculo es igual á la circunferencia multiplicada por la mitad del radio. En la ecuacion (3) hay identidad como en las (1) y (2) porque en ella se significa que el valor expresado por C es el mismo expresado por circunferencia x ½ R; de la propia suerte que en las anteriores se expresa que el valor del círculo es el valor del círculo. ¿Pero hay alguna diferencia de esta ecuacion á las anteriores? sí, y muy grande. ¿Cuál es? en las primeras se expresaba simplemente la identidad concebida bajo un mismo punto de vista; el círculo expresado en el segundo miembro no excitaba ninguna idea que no excitase el primero; pero en la última el segundo miembro expresa el mismo círculo sí, pero en sus relaciones con la circunferencia y el radio, y por consiguiente á mas de contener una especie de análisis de la idea del círculo, recuerda el análisis que anteriormente se ha hecho de la idea de la circunferencia con relacion á la del radio. La diferencia pues no está en la sola expresion material, sino en la variedad de conceptos bajo los cuales se presenta una cosa misma.
Llamando N el valor de la relacion de la circunferencia con el diámetro, y C al círculo, la ecuacion se nos convierte en esta otra C = N R¹(4). Aquí hay tambien identidad en los valores, pero encontramos un progreso notable en la expresion del segundo miembro, en el cual se nos ofrece el valor del círculo desembarazado de sus relaciones con el de la circunferencia y dependiente tan solo de un valor numérico N y de una recta que es el radio. Sin perder pues la identidad y solo por sucesion de percepciones de identidad, hemos llegado á adelantar en la ciencia, y habiendo partido de una proposicion tan estéril como círculo = círculo, nos encontramos en otra por la cual podemos desde luego calcular el valor de un círculo cualquiera con tal que se nos dé su radio.
Saliendo de la geometría elemental y considerando el círculo como una curva referida á dos ejes y cuyos puntos se determinan con respecto á estos, tendremos Z = 2Bx-x¹ (5); expresando Z el valor de la ordenada; B el de una parte constante del eje de las abscisas; y x la abscisa correspondiente á Z. Aquí encontramos ya otro progreso de ideas todavía mas notable; en ambos miembros, no expresamos ya el valor del círculo sino el de unas líneas, con las cuales se determinan todos los puntos de la curva; y concebimos fácilmente que esta curva que nos cerraba la figura cuyas propiedades determinábamos en la geometría elemental, puede ser concebida bajo tal forma que pertenezca á un género de curvas de las cuales ella constituya una especie por la particular relacion de las cantidades 2 x y B; de manera que modificando la expresion con la añadidura de una nueva cantidad combinada de este ó de aquel modo, puede resultarnos una curva de otra especie. Entonces, si queremos determinar el valor de la superficie encerrada en esto círculo, podremos considerarla, no simplemente con respecto al radio, sino á las áreas encerradas entre las varias perpendiculares cuyos extremos determinan los puntos de la curva y que se llaman ordenadas: con lo cual resultará que el mismo valor del círculo se determinará bajo conceptos diferentes, no obstante de que ese valor es siempre idéntico: la transicion de unos conceptos á otros será la sucesion de las percepciones de identidad presentada bajo formas diferentes.
Consideremos ahora que el valor del círculo depende del radio, lo cual nos da C = funcion x (6). Ecuacion que nos lleva á concebir el círculo bajo la idea general de una funcion de su radio ó de x, y por consiguiente nos autoriza á someterle á todas las leyes á que una funcion está sujeta y nos conduce á las propiedades de las diferencias, de los límites, y de las relaciones de estos; con lo cual entramos en el cálculo infinitesimal cuyas expresiones nos presentan la identidad bajo una forma que nos recuerda una serie de conceptos de análisis detenida y profunda. Así, expresando la diferencial del círculo por dc; y su integral por S. dc; tendremos c = S. dc (7) ecuacion en que se expresan los mismos valores que en aquella otra, círculo = círculo, pero con la diferencia de que la (7) recuerda inmensos trabajos analíticos, es el resultado de la dilatada sucesion de conceptos del cálculo integral, del diferencial, de los límites de las diferencias de las funciones, de la aplicacion del álgebra á la geometría y de una muchedumbre de nociones geométricas elementales, reglas y combinaciones algebráicas y de todo cuanto ha sido menester para llegar al resultado. Entonces, cuando se integre la diferencial, y por integracion se llegue á sacar el valor del círculo, es claro que seria lo mas extravagante el afirmar que la ecuacion integral no es mas que la de círculo = círculo; pero no lo es el decir que en el fondo hay identidad, y que la diversidad de expresion á que hemos llegado es el fruto de una sucesion de percepciones de la misma identidad presentada bajo aspectos diferentes. Suponiendo que los conceptos por los cuales haya sido necesario pasar sean A B C D E M; la ley de su enlace científico podrá expresarse de esta manera: A = B, B = C, C = D, D = E, E = M; luego A = M.
[271.] Lo que acabo de explicar no puede comprenderse bien si no se recuerdan algunos caractéres de nuestra inteligencia, en los cuales se encuentra la razon de tamañas anomalías. Nuestro entendimiento tiene la debilidad de no poder percibir muchas cosas sino sucesivamente, y de que aun en las ideas mas claras, no ve lo que en ellas se contiene, sino con mucho trabajo. De esto resulta una necesidad á la cual corresponde con admirable armonía una facultad que la satisface: una necesidad de concebir bajo varias formas no solo distintas sino diferentes, aun las cosas mas simples; una facultad de descomponer un concepto en muchas partes, multiplicando en el órden de las ideas lo que en realidad es uno. Esta facultad de descomposicion seria inútil si al pasar el entendimiento por la sucesion de conceptos, no tuviese medio de enlazarlos y retenerlos, en cuyo caso iría perdiendo el fruto de sus tareas escapándosele de la mano tan pronto como lo acababa de coger. Afortunadamente, este medio le tiene en los signos escritos, hablados ó pensados; expresiones misteriosas que á veces designan no solo una idea, sino que son como el compendio de los trabajos de una larga vida y quizás de una dilatada serie de siglos. Al presentársenos el signo, no vemos ciertamente con entera claridad todo lo que por él se expresa, ni las razones de la legitimidad de la expresion; pero sabemos en confuso el significado que allí se encierra, sabemos que en caso necesario nos basta tomar el hilo de las percepciones por las cuales hemos pasado, volviendo así con paso retrógrado hasta los elementos mas simples de la ciencia. Al hacer los cálculos, el matemático mas eminente no ve con toda claridad lo que significan las expresiones que va empleando, sino en cuanto se refieren al objeto que le ocupa; pero está cierto que aquellas expresiones no le engañan, que las reglas por las cuales se guia son enteramente seguras; porque sabe que en otro tiempo las afianzó en inconcusas demostraciones. El desarrollo de una ciencia puede compararse á una serie de colunas en las cuales se han marcado las distancias de un camino; el ingeniero que ha hecho las operaciones se sirve de los guarismos de las colunas, sin necesidad de recordar las operaciones que le condujeron á marcar la cantidad que tiene á la vista; bástale saber que las operaciones fueron bien hechas y que el resultado de ellas se escribió bien.
[272.] La prueba de esta necesidad de descomposicion, á mas de tenerla ampliamente consignada en los ejemplos anteriores, se la encuentra en los elementos de toda enseñanza, donde se hace preciso explicar bajo una forma de demostracion proposiciones que nada mas dicen que las definiciones ó axiomas que se han asentado. Por ejemplo, en las obras elementales de geometría se encuentra este teorema: todos los diámetros de un círculo son iguales; y si se quiere que los principiantes le comprendan, es necesario dar la forma de demostracion á lo que no es ni puede ser mas que una explicacion, y casi un recuerdo de la idea del círculo. Cuando se traza la circunferencia se fija un punto en torno del cual se hace girar una línea que se llama radio; pues bien, no siendo el diámetro otra cosa que el conjunto de los dos radios continuados en una misma línea, parece que debiera bastar la enunciacion del teorema para que se le viese evidentemente contenido en la idea del círculo y como una especie de repeticion del postulado en que se funda la construccion de la curva; sin embargo no sucede así, y es necesario explicar, haciendo como que se prueba, y mostrar el diámetro igual á dos radios, y recordar que estos son iguales, y á veces repetir que así se supone en la misma construccion; en una palabra, emplear una porcion de conceptos para convencer de una verdad que debiera ser conocida con la simple intuicion de uno solo, como sucede cuando las fuerzas geométricas del entendimiento han adquirido cierta robustez.
[273.] Ahora podrémos apreciar en su justo valor la opinion de Dugald-Steward en sus Elementos de la filosofía del espíritu humano, cuando dice: «es lícito dudar que aun esta ecuacion aritmética 2 x 2 = 4 pueda ser representada con exactitud por la fórmula A = A. Esta ecuacion es una proposicion que enuncia la equivalencia de dos expresiones diferentes, equivalencia cuyo descubrimiento puede ser de la mayor importancia en una infinidad de casos. La fórmula es una proposicion del todo insignificante y frivola que no puede en ningun caso recibir la menor aplicacion práctica; ¿qué pensaremos pues de esta proposicion A = A, si se la compara con la fórmula del binomio de Newton á la cual en tal caso representaria? sin duda cuando se la aplica á la ecuacion 2 x 2 = 4 (que por su extrema simplicidad y vulgaridad puede pasar por un axioma) la paradoja no presenta tan de bulto su monstruosidad; pero en este segundo caso parece del todo imposible que tenga ni aun significacion» (2. p. cap. 2. seccion 3. § 2.). Este filósofo no advierte que la pretendida monstruosidad nace de la errada interpretacion que él mismo da á la opinion de sus adversarios. Nadie ha pensado en negar la importancia de los descubrimientos en que se prueba la equivalencia de expresiones diferentes; nadie dudará de que la fórmula del binomio de Newton sea un gran progreso sobre la fórmula A = A; pero la cuestion no está aquí, está en ver si la fórmula del binomio de Newton es mas que la expresion de cosas idénticas, y si aun el mérito mismo de la expresion, es ó no el fruto de una serie de percepciones de identidad. Si la cuestion se presentase bajo el punto de vista de Dugald-Steward, seria hasta indigna de ser ventilada: en buena filosofía no puede disputarse sobre cosas no solo absurdas sino ridiculas.