ANALYSE MATHÉMATIQUE.

Rapport de M. CHARLES HERMITE sur le Mémoire présenté par M. PAUL APPELL au Concours ouvert par S. M. le Roi de Suède et de Norvège OSCAR II, et récompensé d'une Médaille d'Or le 21 janvier 1889.

Les expressions des fonctions elliptiques par des séries simples de sinus et de cosinus, telles que les donne la formule de Fourier, ont, à bien des points de vue, une grande importance en Analyse. Elles ont été employées avec succès et jouent un rôle important dans beaucoup d'applications du calcul à la Physique et à l'Astronomie. Elles ont conduit Jacobi aux formules si remarquables du § 40 des Fundamenta, où le grand géomètre, allant au delà des propositions connues de l'Arithmétique, obtient le nombre de décompositions d'un entier quelconque en 2, 4, 6 et 8 carrés, exprimé au moyen des diviseurs de ce nombre. D'autres résultats, d'une nature plus cachée, sur le nombre des classes de formes quadratiques de déterminants négatifs, devaient encore découler de la même source analytique et mettre dans tout son jour l'étroite correspondance des identités de la théorie des fonctions elliptiques avec la théorie des nombres. Nous les rappelons succinctement pour faire comprendre quelles espérances on avait dû concevoir de la découverte mémorable de Göpel et Rosenhain, lorsqu'on eut, sous une forme entièrement semblable à celle des fonctions elliptiques, les fonctions quadruplement périodiques de deux variables, inverses des intégrales hyperelliptiques de première classe. Assurément il était possible de joindre aux expressions de ces nouvelles transcendantes, par des quotients de fonctions Θ, des développements en séries simples de sinus et de cosinus; mais la détermination effective des coefficients présente les plus grandes difficultés et n'a pu jusqu'à présent être abordée. Elle est le principal objet du Mémoire dont nous allons analyser les méthodes et les résultats.

I. La solution donnée par Jacobi du problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe, lorsqu'il n'y a pas de forces accélératrices, a été l'origine d'une notion analytique importante. Les expressions de l'illustre auteur présentent, en effet, dans le cas le plus simple, l'exemple de fonctions qui se reproduisent multipliées par des constantes lorsqu'on augmente la variable de l'une ou l'autre des périodes. On a reconnu qu'elles constituent un nouveau genre de fonctions, plus générales que les fonctions doublement périodiques, dont le rôle comme élément analytique propre se montre dans beaucoup de questions importantes. Elles s'offrent, en particulier, dans la rotation d'un corps grave de révolution suspendu par un point de son axe, dans la recherche de la figure de l'élastique gauche, dans le mouvement d'un corps solide dans un liquide indéfini, lorsqu'il n'y a pas de forces accélératrices, etc. Enfin elles donnent une méthode régulière, d'une application facile, pour effectuer l'intégration des équations différentielles linéaires d'ordre quelconque, à coefficients doublement périodiques, dans tous les cas où la solution est une fonction uniforme. Sous un autre point de vue, ces transcendantes peuvent encore être considérées comme provenant de l'intégrale elliptique la plus générale qui aura été mise en exponentielle, en y remplaçant la variable par un sinus d'amplitude. On peut aussi ne pas faire ce changement et conserver l'intégrale qui, suivant le contour décrit par la variable, est susceptible d'une infinité de déterminations. Ces valeurs multiples s'obtenant par l'addition de constantes, les expressions dont nous parlons auront la propriété de se reproduire, multipliées par des facteurs constants, lorsqu'on fait décrire certains chemins à la variable. Qu'au lieu de considérer la variable sur un plan unique on recoure à la conception de Riemann, de manière à remplacer, par une fonction à sens unique, affectée de coupures, une expression à déterminations multiples, on parvient à une quantité dont les valeurs, lorsqu'on passe d'un bord à l'autre de la coupure, se reproduisent multipliées par une constante. Nous nous trouvons ainsi amenés à l'idée fondamentale de l'auteur, à la notion analytique des nouvelles transcendantes, auxquelles il donne la dénomination de fonctions à multiplicateurs et dont il établit les propriétés; voici succinctement les résultats auxquels il est parvenu.

II. Son point de départ est dans la considération d'une équation algébrique de genre p, et de la surface correspondante de Riemann, rendue simplement connexe au moyen de coupures; ce sont les éléments qui lui permettent de définir d'une manière complète et précise les fonctions à multiplicateurs, d'après les conditions suivantes. Elles seront uniformes sur la surface, elles ne présenteront aucune autre singularité que des pôles, et elles prendront aux deux bords infiniment voisins d'une coupure des valeurs qui ne diffèrent que par des multiplicateurs constants. Ceci posé, voici un premier résultat d'une grande importance: toutes les fonctions qui satisfont aux conditions posées, leurs multiplicateurs étant des constantes données d'avance, peuvent s'exprimer au moyen des intégrales normales de troisième espèce qui sont attachées à l'équation algébrique. Viennent ensuite plusieurs théorèmes; le suivant qui est une généralisation de la proposition célèbre d'Abel, sur les intégrales de différentielles algébriques, mérite une attention particulière. Il consiste en ce que la somme des valeurs que prend une intégrale abélienne de première espèce, aux zéros d'une fonction à multiplicateurs, est égale à la somme des valeurs qui correspondent aux infinis de la même fonction, augmentée d'une constante dépendant uniquement des multiplicateurs. Après avoir déduit de là d'importantes conséquences sur le nombre des constantes arbitraires d'une fonction qui a des multiplicateurs et des pôles donnés, l'auteur démontre qu'il existe en général p-1 relations entre les pôles et les résidus d'une fonction à multiplicateurs, et p dans un cas spécial, comprenant en particulier celui des fonctions algébriques. Ce cas spécial intéressant tient à l'existence d'une fonction sans zéros, ni infinis, et qui admet les multiplicateurs donnés.

III. Les intégrales de fonctions à multiplicateurs font ensuite le sujet d'une étude approfondie. L'auteur obtient, à leur égard, un ensemble de propositions qui correspondent exactement aux théorèmes célèbres de Riemann sur les intégrales abéliennes. Nous indiquerons, comme exemples, leur classification en intégrales de première espèce qui sont toujours finies, en intégrales de deuxième espèce n'ayant que des pôles, et en intégrales de troisième espèce où s'offrent des infinis logarithmiques. Nous citerons encore cette importante proposition, qu'en général il existe p-1 intégrales de première espèce, linéairement indépendantes, et p dans le cas particulier dont il a été question précédemment. Les modules de périodicité de ces intégrales, le long des coupures, sont liés aux multiplicateurs par des relations qui deviennent identiques lorsque les multiplicateurs se réduisent à l'unité et que les intégrales deviennent abéliennes. Entre les modules de périodicité de deux intégrales de première espèce, à multiplicateurs inverses, existe une équation qui coïncide, dans le cas particulier des multiplicateurs égaux à l'unité, avec la relation d'une importance capitale découverte par Riemann, entre les modules de périodicité de deux intégrales abéliennes de première espèce. Enfin l'auteur forme les intégrales normales de fonctions à multiplicateurs de deuxième et de troisième espèce; il établit des relations entre les modules de périodicité de ces intégrales et leurs multiplicateurs, puis d'autres entre ces modules et ceux d'une intégrale de première espèce aux multiplicateurs inverses. L'ensemble de ces résultats rend manifeste l'analogie de la nouvelle théorie avec celle des intégrales abéliennes; la différence de nature analytique entre les deux genres de quantités apparaît toutefois dans cette circonstance, qu'il existe une intégrale de troisième espèce, avec un seul infini logarithmique, tandis qu'une intégrale abélienne de troisième espèce possède au moins deux infinis de cette nature. En dernier lieu, nous signalerons, dans la théorie des intégrales de deuxième espèce, ce théorème d'un grand intérêt, que toute fonction à multiplicateurs s'exprime par une somme d'intégrales de seconde espèce, ayant les mêmes multiplicateurs et devenant chacune infinie en un seul point. C'est, comme on le voit, la généralisation de la belle formule de Riemann-Roch, qui représente une fonction algébrique quelconque par une somme d'intégrales abéliennes de deuxième espèce.

IV. Nous venons d'indiquer rapidement les points les plus essentiels de la théorie des fonctions à multiplicateurs. Nous avons montré qu'elle a pour première origine les fonctions algébriques, leurs propriétés et celles de leurs intégrales, telles que Riemann les a fait connaître; nous avons montré qu'elles constituent par l'ensemble de leurs caractères de nouveaux éléments analytiques où l'on retrouve, dans un sens beaucoup plus général, toutes les propriétés des fonctions doublement périodiques de deuxième espèce. Il nous faut maintenant revenir à la question principale que l'auteur a eue en vue en entreprenant ces belles et profondes recherches où il a montré le plus remarquable talent d'invention. Son but était d'obtenir les intégrales définies réelles qui représentent les coefficients des développements, par la formule de Fourier, des fonctions elliptiques et des fonctions abéliennes de deux variables à quatre paires de périodes simultanées. Un changement de variables le conduit d'abord à des fonctions à multiplicateurs, et, pour le cas des sinus d'amplitude qu'il traite en premier lieu, ses principes généraux lui permettent d'obtenir les coefficients du développement avec autant de simplicité que d'élégance. En appliquant ensuite la même méthode aux transcendantes de Göpel et de Rosenhain, il trouve les coefficients sous la forme d'une fonction rationnelle des constantes p, q, r qui figurent dans les fonctions Θ à deux variables, multipliée par une intégrale définie où entrent deux entiers indéterminés. C'est, pour la théorie des fonctions abéliennes, un résultat du plus haut intérêt: il donne la solution d'une question restée jusqu'ici inabordable, sous une forme qui permettra d'en poursuivre les conséquences; il ouvre la voie pour l'étude approfondie des développements par la formule de Fourier, des fonctions abéliennes, et obtenir pour ces fonctions des développements procédant suivant les puissances des trois quantités p, q, r. On peut donc attendre de voir ainsi se combler une grande lacune dans la théorie de ces transcendantes; on peut donc espérer de voir se rétablir, autant que le comporte la nature des choses, l'analogie avec les fonctions elliptiques, dans ce point d'une importance capitale où elles se lient aux propriétés des nombres. Pressé par la date fixée pour le terme du concours, l'auteur a dû ajourner ces recherches qui auraient pu devenir le couronnement de son beau et savant Mémoire. Mais il a grandement accompli sa tâche en posant les fondements d'une théorie qui ajoute au domaine de l'Analyse un nouveau genre de fonctions, dont il a encore indiqué une autre application importante à l'intégration des équations linéaires d'ordre quelconque à coefficients algébriques.

Nous pensons, en résumé, que le travail dont nous venons de faire l'exposé est l'œuvre d'un géomètre de premier ordre, et qu'il sera placé au nombre des plus importantes productions mathématiques qui aient appelé dans ces dernières années l'attention des analystes.

Paris, 10 Janvier 1889.

AM, t. 13, 1890, p. VII-XII.

Voir la Lettre de M. G. Mittag-Leffler: C R, t. 108, 25 fév. 1889, p. 387.

OUVRAGES.

1. Notice sur les Travaux scientifiques de M. PAUL APPELL,

Rédigée par lui-même à l'appui de sa candidature comme membre de l'Académie des Sciences, dans la Section de Géométrie.

Paris, G.-V., in-4: 1re éd., 1884, 39 p.; 2e éd., 1889, 83 p.; 3e éd. 1892, in-4, 112 p.

2. Théorie des Fonctions algébriques et de leurs Intégrales, par PAUL APPELL et ÉDOUARD GOURSAT.

Étude des Fonctions analytiques sur une surface de Riemann.

Paris, G.-V., 1895, gr. in-8, x-530 p.

Préface de Ch. Hermite: p. a g.

Présentation par M. P. Appell à l'Académie des Sciences: C R, t. 120, 18 fév. 1895, p. 362-363.

Analyse par G. Koenigs: RO, t. 4, 15 fév. 1893, p. 173-174.

Analyse par R. Le Vavasseur: B S M, 2e s., t. 18, 1re p., nov. 1894, p. 242-277.

Analyse par P. Staeckel: J F M, Bd. 26, J. 1895, S. 416-425.

Analyse par Robert Fricke: Z M P, 41. J., 1896, Abt., S. 94-100.

Analyse par Ed. Weyr: C M F, R. 26, 1897, p. 241-246.

Analyse par C. Juel: N T M, Afd. B., 8 aa., 1897, p. 91-93.

3. Principes de la Théorie des Fonctions elliptiques et Applications, par P. APPELL et É. LACOUR.

Paris, G.-V., 1897, gr. in-8, IX-421 p.

Présentation par M. P. Appell des fasc. I et II à l'Académie des Sciences: C R, t. 122, 29 juin 1896, p. 1523-1524;—t. 123, 30 novembre 1896, p. 932.

Analyse par J. Tannery: B S M, 2e s., t. 21, 1re p., fév. 1897, p. 50-55.

Analyse par P. Staeckel: J F M, Bd. 28, J. 1897, S. 382-383.

Analyse: M M P, 8. J., 1897, Lit., S. 17-19.

Analyse par Koygowski: W M, t. 1, 1897, p. 118-119.

Analyse par Robert Fricke: Z M P, 43. Bd., 1898, Abt., S. 140-143.

4. Éléments d'Analyse mathématique,

A l'usage des Ingénieurs et des Physiciens.

Cours professé à l'École Centrale des Arts et Manufactures.

Paris, G. C. et C. N., 10 août 1898, gr. in-8, VI-720 p.;—G.-V., 2e éd., 1905, gr. in-8, VII-714 p.

Analyse par A. G. Greenhill: E M, 1re a., 15 janv. 1899, p. 66-72.

Analyse par Gomes Teixeira: J S T, v. 13, 1897, p. 167-169.

Analyse par P. Mansion: R Q S, 2e s., t. 15, avr. 1899, p. 596-603.

Analyse par C. Bourlet: B S M, 2e s., 1er p., t. 23, juin 1899, p. 136-139,—t. 29, avr. 1905, p. 96.

Analyse: M M P, 10. J., 1899, Lit., S. 32-33.

Analyse par S. Dickstein: W M, t. 3, 1899, p. 65-67.

Analyse par M. Cantor: Z M P, 44. Bd., 1899, Abt., 5 u. 6 Ht., S. 153-155.

Analyse par P. H. Schoute: N A W, T. R., D. 4, 1900, p. 158-160.

Analyse par H. Liebmann: A M P G, d. R., 12. Bd., 1907, S. 81-82.

MÉMOIRES. NOTES.

Analyse pure:

1º Fonctions d'un point analytique.

1. Sur les intégrales de fonctions à multiplicateurs et leur application au développement des fonctions abéliennes en séries trigonométriques.

Ce Mémoire a obtenu, le 21 janvier 1889, la Médaille d'Or accordée par S. M. le Roi de Suède et de Norvège, Oscar II, à l'occasion du 60e anniversaire de sa naissance.

A M, t. 13, 1890, 174 p.

Rapport de Ch. Hermite: A M, t. 13, 1890, p. VII-XII.

Analyse par Hurwitz: J F M, Bd. 22, J. 1890, S. 412-418.

2. 3. Sur les fonctions uniformes d'un point analytique (x, y).

C R, t. 94, 13 mars 1882, p. 700-703.

A M, t. 1, 1882-1883, 2 sept. 1882, p. 109-131, 132-144.

Analyse par J. Tannery: B S M, 2e s., t. 8, 2e p., août 1884, p. 138-142.

4. Théorèmes sur les fonctions d'un point analytique.

C R, t. 95, 9 oct. 1882, p. 624-626.

5. Sur une classe de fonctions dont les logarithmes sont des sommes d'intégrales abéliennes de première et de troisième espèce.

C R, t. 92, 18 avr. 1881, p. 960-962.

6. Relations entre les résidus d'une fonction d'un point analytique (x, y) qui se reproduit, multipliée par une constante, quand le point (x, y) décrit un cycle.

C R, t. 95, 23 oct. 1882, p. 914-919.

7. Généralisation des fonctions doublement périodiques de seconde espèce.

J L, 3e s., t. 9, janv. 1883, p. 5-24.

Analyse: B S M, 2e s., t. 9, 2e p., janv. 1885, p. 20-21.

Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 412-413.

2º Séries. Intégrales définies. Généralités sur les fonctions d' une variable.

8. Sur certaines séries ordonnées par rapport aux puissances d'une variable.

M. P. Appell donne des exemples de cas où l'on peut reconnaître l'existence d'un pôle ou d'un point critique pour une fonction définie par une série entière, et déterminer la partie principale.

C R, t. 87, 28 oct. 1878, p. 689-692.

9. Évaluation d'une intégrale définie.

Les intégrales évaluées par M. P. Appell dans cette Note portent sur des fonctions hypergéométriques; elles comprennent, en particulier, la réduction de l'intégrale eulérienne de première espèce B(p, q) aux fonctions Γ, et les formules relatives aux polynomes qui naissent de la série hypergéométrique et qui ont été considérés par Jacobi.

C R, t. 87, 2 déc. 1878, p. 874-876.

10. Sur la série hypergéométrique et les polynomes de Jacobi.

M. P. Appell indique quelques applications de l'intégrale définie dont il a donné l'expression dans la Note nº 9.

C R, t. 89, 7 juil. 1879, p. 31-38.

11. Sur les séries divergentes à termes positifs.

M. P. Appell donne divers théorèmes sur les séries divergentes numériques et sur les séries ordonnées par rapport aux puissances d'une variable, généralisant ceux de la Note nº 8.

A M P G, 64. Teil, 16 sept. 1879, S. 387-392.

12. Développement en série entière de (1 + ax)1∕x.

A M P G, 65. Teil, 6 janv. 1880, S. 171-175.

Analyse par Hoppe: J F M, Bd. 12, J. 1880, S. 191-192.

13. Développement en séries trigonométriques des polynomes de M. Léauté.

N A M, 3e s., t. 16, juin 1897, p. 265-268.

14. Sur une classe de polynomes.

M. P. Appell étudie des polynomes Pn(x) de degré n tels que

dPn=nPn−1.
dx

Ces polynomes forment une classe spéciale comprenant les polynomes que Ch. Hermite a déduits de la différentiation de e−x2 et les polynomes introduits par M. Léauté pour le développement d'une fonction dont on connaît les valeurs moyennes des dérivées dans un intervalle. M. Appell définit en même temps une opération fonctionnelle qui consiste à former le polynome (PQ)n obtenu en remplaçant, dans Pn, chaque puissance xk par un polynome Qk (x). Ces polynomes ont été rencontrés par M. Pincherle dans diverses recherches (A M B, s. 2, t. 12, 1888, p. 126).

A S E N, 2e s., t. 9, avr. 1880, p. 119-144.

Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 12, J. 1880, S. 342-345.

Analyse: B S M, 2e s., t. 6, 2e p., janv. 1882, p. 6-9.

15. 16. Développements en série d'une fonction holomorphe dans une aire limitée par des arcs de cercle.

C R, t. 94, 1er mai 1882, p. 1238-1240.

M A, Bd. 21, 1883, 23 sept. 1882, S. 118-124.

Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 324-325.

17. Développements en série dans une aire limitée par des arcs de cercle.

A M, t. 1, 1882-1883, p. 145-152.

18. Sur certains développements en série de puissances.

M. P. Appell présente des remarques se rapportant aux Notes nos 16 et 17, sur le degré d'indétermination des coefficients.

B S M F, t. 11, 1882-1883, 18 fév. 1883, p. 65-71.

19. Définition d'une opération sur les fonctions.

Cette Note contient la définition d'une opération itérative d'ordre fractionnaire.

B S P, 7e s., t. 3, 1878-1879, 12 avr. 1879, p. 166.

3º Fonctions périodiques et doublement périodiques d'une variable. Périodicité générale.

20. Sur une méthode élémentaire pour obtenir les développements en série trigonométrique des fonctions elliptiques.

B S M F, t. 13, 1884-1885, 6 déc. 1884, p. 13-18.

Remarques de M. H. Poincaré: B S M F, t. 13, 1884-1885, 20 déc. 1884, p. 19-27.

Analyse: B S M, 2e s., t. 10, 2e p., juin 1886, p. 140-141, 141-142.

21. Sur un problème d'interpolation relatif aux fonctions elliptiques.

B S M, 2e s., t. 10, 1re p., mai 1886, p. 109-114.

22. Sur les fonctions elliptiques.

M. P. Appell définit les fonctions elliptiques in abstracto et expose leur réduction aux fonctions Θ. Cette méthode peut être étendue aux fonctions de deux variables (Voir nos 51 et 52, p. 28).

C R, t. 110, 6 janv. 1890, p. 32-34.

23. Sur une expression nouvelle des fonctions elliptiques par le quotient de deux séries.

A J M, v. 14, nº 1, 1892, p. 9-14.

Analyse par J. Hadamard: R O, t. 3, 30 nov. 1892, p. 796.

Analyse par Staeckel: J F M, Bd. 23, J. 1891, S. 476.

24. Décomposition en éléments simples des fonctions doublement périodiques de troisième espèce.

C R, t. 97, 17 déc. 1883, p. 1419-1422.

25 à 27. Sur les fonctions doublement périodiques de troisième espèce.

Dans le Mémoire nº 25, M. P. Appell étudie la décomposition en éléments simples des fonctions doublement périodiques de troisième espèce, et présente des remarques sur certaines fonctions d'un point analytique (x, y). Les principaux résultats qu'il démontre se trouvent indiqués dans la Note nº 26.

Le Mémoire nº 27 fait suite aux Mémoires nos 25 et 28.

Voir Notice sur M. Paul Appell, p. 5.

A S E N, 3e s., t. 1, avril, mai 1884, p. 135-164.

C R, t. 101, 28 déc. 1885, p. 1478-1480.

A S E N, 3e s., t. 3, janv., fév. 1886, p. 9-42.

Analyse du Mémoire nº 25: B S M, 2e s., t. 9, 2e p., août 1885, p. 154-158.

Analyse par F. Müller de la Note nº 26: J F M, Bd. 17, J. 1885, S. 409-410.

Analyse du Mémoire nº 27: B S M, 2e s., t. 12, 2e p., fév. 1888, p. 18-19.

28. Développements en séries des fonctions doublement périodiques de troisième espèce.

A S E N, 3e s., t. 2, janv. 1885, p. 9-36.

Analyse par F. Müller: J F M, Bd. 17, J. 1885, S. 409-410.

29. Application du théorème de M. Mittag-Leffler aux fonctions doublement périodiques de troisième espèce.

Dans ce Mémoire, M. P. Appell donne, du théorème de M. Mittag-Leffler, une application dans laquelle les degrés des polynomes qu'on retranche de la partie principale croissent indéfiniment.

A S E N, 3e s., t. 2, févr., mars 1885, p. 67-74.

Analyse par Hurwitz: J F M, Bd. 17, J. 1885, S. 381-383.

30. Quelques exemples de séries doublement périodiques.

N A M, 3e s., t. 15, mars 1896, p. 126-129.

31. Formation d'une fonction F(x) possédant la propriété F[φ(x)] = F(x).

M. P. Appell généralise le mode de représentation analytique des fonctions périodiques et applique à plusieurs exemples la formule qu'il a obtenue.

C R, t. 88, 21 avr. 1879, p. 807-810.

32. Sur les fonctions telles que

F(sinπx) = (Fx).
2

M. P. Appell applique la méthode qu'il a exposée dans la Note nº 31, en lui faisant subir quelques légères modifications pour simplifier le calcul.

C R, t. 88, 19 mai 1879, p. 1022-1024.

33. Sur quelques applications de la fonction Γ(x) et d'une autre fonction transcendante.

C R, t. 86, 15 avr. 1878, p. 953-956.

34. Sur une classe de fonctions analogues aux fonctions eulériennes étudiées par M. Heine.

C R, t. 89, 17 nov. 1879, p. 841-844.

Analyse par F. Müller: J F M, Bd. 11, J. 1879, S. 501-503.

35. Sur une classe de fonctions qui se rattachent aux fonctions de M. Heine.

C R, t. 89, 15 déc. 1879, p. 1031-1032.

36. Sur une classe de fonctions analogues aux fonctions eulériennes.

Dans ce Mémoire, M. P. Appell développe les considérations qu'il a présentées dans les Notes nos 33 à 35. Il étudie en particulier des relations fonctionnelles, renfermant des fonctions Θ, ou des fonctions elliptiques, dans lesquelles interviennent trois périodes.

M A, Bd. 19, 1882, août 1881, S. 84-102.

37. Sur les fonctions uniformes doublement périodiques à points singuliers essentiels.

C R, t. 94, 3 avr. 1882, p. 936-938.

4º Fonctions de plusieurs variables. Fonctions abéliennes; fonctions de deux variables à deux, trois ou quatre paires de périodes. Fonctions hypergéométriques de deux variables. Inversion des intégrales multiples.

38. Sur une classe de fonctions de deux variables indépendantes.

Dans ce Mémoire, j'étends à une classe particulière de fonctions de deux variables indépendantes x et y les théorèmes de MM. Weierstrass et Mittag-leffler sur les fonctions d'une seule variable. J'applique ensuite les théorèmes généraux ainsi obtenus à la formation de certaines fonctions simplement périodiques de deux variables. P. A.

M. G. Mittag-Leffler a publié son théorème le 7 juin 1876 dans le Bulletin de l'Académie royale des Sciences de Suède (Öfversigt af ...); ses recherches successives ont été publiées dans ce Bulletin et dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris. Il a développé l'ensemble de ses recherches sur la représentation analytique des fonctions homogènes uniformes d'une variable indépendante dans Acta Mathematica (t. 4, 1884, p. 1-79).

Les premières recherches de Weierstrass se trouvent dans son Mémoire intitulé Zur Theorie der eindentigen analytischen Functionen (A A W B, 16 oct. 1876, S. 11). La démonstration qu'il a donnée du théorème de M. Mittag-Leffler est dans le Mémoire intitulé Ueber einen functionentheoretischen Satz des Hernn G. Mittag-Leffler (M A W B, 5 Aug. 1880, S. 707).

A M, t. 2, 15 mars 1883, p. 71-80.

Analyse par J. Tannery: B S M, 2e s., t. 8, 2e p., sept. 1884, p. 155-156.

39. Propositions d'Algèbre et de Géométrie déduites de la considération des racines cubiques de l'unité.

M. P. Appell obtient des fonctions de deux variables à deux paires de périodes liées par une certaine relation algébrique et une infinité de systèmes de surfaces jouissant de propriétés remarquables.

C R, t. 84, 19 mars 1877, p. 540-543.

40. Sur certaines fonctions analogues aux fonctions circulaires.

M. P. Appell fait l'étude de n + 1 fonctions de n variables, à n groupes de périodes, définies par un système d'équations aux différentielles totales; ces fonctions sont liées par une relation algébrique; elles généralisent celle de la Note nº 39.

C R, t. 84, 11 juin 1877, p. 1378-1380.

41. Sur des fonctions uniformes de deux points analytiques qui sont laissées invariables par une infinité de transformations rationnelles.

C R, t. 96, 4 juin 1883, p. 1643-1646.

42. Sur un cas de réduction des fonctions Θ de deux variables à des fonctions θ d'une variable.

C R, t. 94, 13 fév. 1882, p. 421-424.

43. Sur des cas de réduction des fonctions Θ de plusieurs variables à des fonctions Θ d'un moindre nombre de variables.

B S M F, t. 10, 1881-1882, 3 mars 1882, p. 59-67.

Analyse par F. Müller: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 405-406.

44. Sur une fonction analogue à la fonction Θ.

Dans cette Note, il s'agit d'une fonction définie par une série simple d'exponentielles dont l'exposant est un polynome du quatrième degré en n. Cette fonction a été étudiée ensuite par M. Rivereau (A F S Ma, t. 2, 1892, p. 59).

A F S Ma, t. 1, 1891, p. 47-52.

45. Exemples de fonctions de plusieurs variables admettant un groupe de substitutions linéaires entières.

M. P. Appell applique la fonction définie dans la Note nº 44.

B S M F, t. 19, 1890-1891, 18 nov. 1891, p. 125-127.

46. Sur les fonctions de Bernoulli à deux variables.

Extrait d'une Lettre adressée à M. Martin Krause par M. P. Appell.

A M P G, d. R., 4 Bd., 9 oct. 1903, S. 292-293.

Analyse par G. Kowalewski: J F M, Bd. 34, J. 1903, S. 484-485.

47. Sur des fonctions de deux variables à trois ou quatre paires de périodes.

C R, t. 90, 26 janv. 1880, p. 174-176.

48. Sur certaines expressions quadruplement périodiques.

C R, t. 108, 25 mars 1889, p. 607-609.

49. Sur les fonctions de deux variables à plusieurs paires de périodes.

C R, t. 110, 27 janv. 1890, p. 181-183.

50. Sur les fonctions de deux variables quadruplement périodiques de troisième espèce.

A S E N, 2e s., t. 7, mai 1890, p. 143-154.

Analyse: B S M, 2e s., t. 16, 2e p., déc. 1892, p. 190-191.

51. 52. Sur les fonctions périodiques de deux variables.

L'objet de ce travail est l'étude des fonctions méromorphes de deux variables à quatre (ou à trois) paires de périodes. La méthode suivie peut être étendue d'elle-même aux fonctions de n variables à 2n groupes de périodes.

C R, t. 111, 3 nov. 1890, p. 636-638.

J L, 4e s., t. 7, f. 2, 1891, p. 157-219.

Analyse par Burkhardt: J F M, Bd. 23, J. 1891, S. 430-431.

Analyse par J. Hadamard: R O, t. 3, 15 juin 1892, p. 419.

53. 54. Sur les fonctions abéliennes.

C R, t. 94, 26 juin 1882, p. 1702-1704.

C R, t. 103, 20 déc. 1886, p. 1246-1248.

55. 56. Sur l'inversion des intégrales abéliennes.

C R, t. 99, 8 déc. 1884, p. 1010-1011.

J L, 4e s., t. 1, f. 3, 1885, p. 245-279.

Analyse par Dyck: J F M, Bd. 17, J. 1885, S. 473-475.

57. Formes des intégrales abéliennes des diverses espèces.

A F S T, t. 7, 1893, p. A.5-A.8.

58. Sur les fonctions abéliennes considérées comme fonctions algébriques de fonctions d'une variable.

Ce Mémoire est inséré dans le premier des deux Tomes des Acta Mathematica imprimés Niels Henrick Abel in Memoriam.

A M, t. 26, 8 juil. 1902, p. 249-253.

Analyse par Staeckel: J F M, Bd. 33, J. 1902, S. 442-443.

59. Sur les séries hypergéométriques de deux variables, et sur des équations différentielles linéaires aux dérivées partielles.

Je définis quatre séries ordonnées suivant les puissances positives croissantes de deux variables, qui se rattachent à la célèbre série de Gauss, comme les fonctions Θ de deux variables de Göpel et de Rosenhain se rattachent aux fonctions Θ d'une variable d'Abel et de Jacobi. P. A.

C R, t. 90, 16 févr. 1880, p. 296-298.

60. Sur la série F3 (α, α', β, β', γ, x, y).

Cette série, qui a été définie dans la Note nº 59, peut être représentée par une intégrale définie semblable à celle dont Jacobi s'est occupé (J C, t. 56, 1859, S. 149).

C R, t. 90, 26 avr. 1880, p. 977-979.

61. Sur quelques formules relatives aux fonctions hypergéométriques de deux variables.

C R, t. 91, 16 août 1880, p. 364-368.

62. Sur des polynomes de deux variables analogues aux polynomes de Jacobi.

A M P G, 66. Teil, 1881, 26 oct. 1880, S. 238-245.

Analyse par Hoppe: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 389-390.

63. Sur les fonctions hypergéométriques de deux variables.

Ce Mémoire a été présenté à l'Académie dans la séance du 29 mars 1880; je lui ai fait subir quelques modifications, afin d'y faire rentrer les résultats que j'ai obtenus depuis et qui ont été indiqués dans deux Notes présentées à l'Académie le 26 avril et 16 août 1880. P. A.

J L, 3e s., t. 8, mai, juin 1882, p. 173-216.

Analyse: B S M, 2e s., t. 9, 2e p., janv. 1885, p. 14-15.

64. Sur certaines formules de Hansen et de M. Tisserand.

M. P. Appell trouve que la valeur d'un certain coefficient est exprimée par un polynome hypergéométrique de deux variables, ce polynome étant formé avec une des fonctions qu'il définit dans la Note nº 59.

C R, t. 97, 12 nov. 1883, p. 1036-1039.

65. Sur une formule de M. Tisserand et sur les séries hypergéométriques de deux variables.

M. P. Appell applique, à des questions étudiées par Tisserand, M. Radau et Callandreau, les résultats qu'il a donnés dans le Mémoire nº 63 et dans la Note nº 64.

J L, 3e s., t. 10, déc. 1884, p. 407-428.

Analyse: B S M, 2e s., t. 10, 2e p., nov. 1886, p. 225-226.

Analyse par Wangerin: J F M, Bd. 16, J. 1884, S. 454-455.

66. Les polynomes d'Hermite rattachés aux polynomes de Legendre.

A S A P P, v. 5, nº 2º, 1910, p. 65-68.

67. Quelques propriétés des polynomes Um, n d'Hermite et des polynomes Xn de Legendre.

A S A P P, v. 5, nº 4º, 1910, p. 209-212.

68. Sur une classe de polynomes à deux variables et le calcul approché des intégrales doubles.

M. P. Appell étend aux intégrales doubles la méthode que Gauss a fondée sur les propriétés des polynomes de Legendre pour le calcul approché des intégrales simples.

A F S T, t. 4, 1890, p. H.1-H.20.

Analyse par R. Le Vavasseur: B S M, 2e s., t. 28, 2e p., janv. 1894, p. 12-14.

Analyse par F. Müller: J F M, Bd. 22, J. 1890, S. 299-300.

69. 70. Sur un mode d'inversion des intégrales multiples.

B S M F, t. 25, 20 janv. 1897, p. 10.

C R, t. 124, 1er fév. 1897, p. 213-214.

71. Exemples d'inversion d'intégrales doubles.

A J M, v. 19, nº 4, 1897, p. 377-380.

5º Équations différentielles ordinaires. Invariants.

72. Sur des polynomes satisfaisant à une équation différentielle du troisième ordre.

M. P. Appell applique, dans cette Communication, un théorème qu'il a démontré dans la Note nº 8, p. 22.

A F A S, 8e Session, Montpellier, 3 sept. 1879, p. 257-260.

73. Sur certaines équations différentielles linéaires contenant un paramètre variable.

A F A S, 8e Session, Montpellier, 3 sept. 1879, p. 253-257.

74. Intégration de certaines équations différentielles à l'aide des fonctions Θ.

M. P. Appell tire des conséquences remarquables du théorème de RIEMANN sur les zéros des fonctions Θ de plusieurs variables.

C R, t. 90, 24 mai 1880, p. 1207-1210.

75. Sur les équations différentielles linéaires à une variable indépendante.

C R, t. 90, 21 juin 1880, p. 1477-1479.

76. Sur la transformation des équations différentielles linéaires.

C R, t. 90, 26 juil. 1880, p. 211-214.

77. Sur les équations différentielles linéaires.

M. P. Appell signale, pour les équations différentielles linéaires, des propriétés analogues à celles des fonctions symétriques des racines d'une équation algébrique et à la transformation des équations algébriques.

C R, t. 91, 26 oct. 1880, p. 684-685.

78. Sur une classe d'équations différentielles linéaires.

Se plaçant à un certain point de vue, M. P. Appell généralise les recherches de M. Ch. Hermite sur l'équation de Lamé (C R, t. 86, 1878, p. 850), celles de MM. E. Picard et Mittag-Leffler sur les équations différentielles linéaires à coefficients doublement périodiques (C R, t. 90, 1880, p. 293-299) et celles de Fuchs sur certaines équations différentielles linéaires (J L, t. 4, 1878, p. 125). M. P. Appell considère des équations différentielles dont l'intégrale générale n'a que des pôles sur la surface de Riemann et dont les substitutions fondamentales sont permutables.

C R, t. 91, 13 déc. 1880, p. 972-974.

Analyse: B S M, 2e s., t. 5, 2e p., janv. 1881, p. 21-22.

79. Sur une classe d'équations différentielles linéaires dont les coefficients sont des fonctions algébriques de la variable indépendante.

M. P. Appell résume un Mémoire où se trouvent développées des propositions contenues dans la Note nº 78.

C R, t. 92, 10 janv. 1881, p. 61-63.

80. Sur une classe d'équations différentielles linéaires à coefficients doublement périodiques.

C R, t. 92, 25 avr. 1881, p. 1005-1008.

81. Sur une classe d'équations différentielles linéaires à coefficients algébriques.

Ces équations sont celles dont l'intégrale générale n'admet, sur une surface de Riemann, d'autres singularités que des pôles et des points critiques logarithmiques. M. P. Appell les classe en équations de 1re, 2e, 3e espèce d'après des caractères analogues à ceux qui servent à classer les trois espèces d'intégrales abéliennes.

A M, t. 13, 1890, 21 janv. 1889, p. 163-174.

82. Sur des équations différentielles linéaires dont les intégrales vérifient des relations de la forme F[φ(x)] = ψ(x)F(x).

M. P. Appell, qui a publié deux Notes sur les fonctions F(x) satisfaisant à une relation de la forme F[φ(x)] = F(x), montre que ces fonctions et les fonctions plus générales de la forme F[φ(x)] = ψ(x)F(x) se présentent dans l'intégration de certaines équations différentielles linéaires, et en particulier dans l'intégration des équations du second ordre.

C R, t. 93, 7 nov. 1881, p. 699-701.

Analyse: B S M, 2e s., t. 6, 2e p., janv. 1882, p. 31-32.

Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 253-254.

83. Mémoire sur les équations différentielles linéaires.

Le résumé de ce Mémoire se trouve dans la Note nº 77.

A S E N, 2e s., t. 10, nov., déc. 1881, p. 391-424.

Analyse: B S M, 2e s., t. 6, 2e p., déc. 1882, p. 269-274.

Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 254-255.

84. 85. Sur une classe d'équations différentielles linéaires binomes à coefficients algébriques.

C R, t. 94, 30 janv. 1882, p. 203-205.

A S E N, 2e s., t. 12, janv., fév. 1883, p. 9-46.

Analyse: B S M, 2e s., t. 8, 2e p., avr. 1884, p. 59-61.

Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 246-247.

86. Sur les fonctions uniformes affectées de coupures et sur une classe d'équations différentielles linéaires.

C R, t. 96, 9 avr. 1883, p. 1018-1020.

87. Sur des équations linéaires intégrables à l'aide de la fonction χm(x, y).

M. P. Appell indique une équation différentielle linéaire avec second membre dont les coefficients sont composés avec des fonctions Θ et leurs dérivées, et dont l'intégrale générale s'exprime à l'aide des fonctions Θ et de la fonction de deux variables χm(x, y), qu'il a introduite dans ses Mémoires nos 25, 27, 28.

A S E N, 3e s., t. 5, juin, juil. 1888, p. 211-218.

Analyse: B S M, 2e s., t. 14, 2e p., oct. 1890, p. 198-199.

Analyse par F. Müller: J F M, Bd. 20, J. 1888, S. 452-454.

88. Sur une classe d'équations différentielles réductibles aux équations linéaires.

C R, t. 107, 12 nov. 1888, p. 776-778.

89. 90. Sur des équations différentielles linéaires transformables en elles-mêmes par un changement de fonction et de variable.

C R, t. 112, 5 janv. 1891, p. 34-37.

A M, t. 15, 1891, 28 sept.-5 oct. 1891, p. 281-315.

Analyse: B S M, 2e s., t. 17, 2e p., fév. 1893, p. 30-31;—t. 19, 2e p., avr. 1895, p. 77-79.

Analyse par J. Hadamard: R O, t. 3, 15 oct. 1892, p. 683.

Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 23, J. 1891, S. 333-335.

91. Sur les équations différentielles algébriques et homogènes par rapport à la fonction inconnue et à ses dérivées.

M. P. Appell indique la possibilité d'étendre la théorie des invariants des équations différentielles linéaires et homogènes aux équations homogènes mais non linéaires.

C R, t. 104, 20 juin 1887, p. 1776-1779.

Analyse par Hamburger des Notes nos 91 et 92: J F M, Bd. 19, J. 1887, S. 291-293.

92. Sur les invariants des équations différentielles.

M. P. Appell complète la Note nº 91.

C R, t. 105, 4 juil. 1887, p. 55-58.

93. Sur les invariants de quelques équations différentielles.

Dans ce Mémoire, M. P. Appell étudie les invariants et les cas d'intégrabilité:

1º D'équations différentielles de la forme

dy=a0 + a1y + ... +anyn (p < n),
dxb0 + b1y + ... + bpyp

qui conservent cette forme quand on choisit une nouvelle fonction inconnue η et une nouvelle variable indépendante ξ liées à y et x par les relations

y = η u(x) + v(x), dξ= µ(x);
dx

2º Des équations différentielles algébriques et homogènes par rapport à la fonction inconnue y et à ses dérivées, ces équations conservant la même forme quand on y fait

y = η u(x), dξ= µ(x).
dx

J L, 4e s., t. 5, f. 4, 1889, p. 361-423.

Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 21, J. 1889, S. 312-314.

Analyse par Gomes Teixeira: J S T, v. 9, 1889, p. 124-125.

Analyse par E. Goursat: R O, t. 1, 30 mars 1890, p. 180.

94. Sur les équations différentielles homogènes du second ordre à coefficients constants.

A F S T, t. 3, 1889, p. K.1-K.12.

Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 21, J. 1889, S. 327.

95. Observations sur une Communication de M. C. Bourlet,

Intitulée Sur certaines équations analogues aux équations différentielles.

C R, t. 124, 21 juin 1897, p. 1433-1434.

96. Sur le théorème de Poisson et un théorème récent de M. A. Buhl.

Dans une Note (C R, t. 132, 1901, p. 313), M. A. Buhl donne une proposition générale dont il déduit, comme cas particulier, ce théorème de Poisson: La forme aux dérivées partielles représentée symboliquement par (α, β) est une intégrale d'un système d'équations canoniques si α et β sont deux intégrales de ce système. Dans sa Note, M. P. Appell montre que, inversement, la proposition de M. A. Buhl peut être considérée comme une conséquence du théorème de Poisson.

C R, t. 133, 5 août 1901, p. 317-319.

6º Équations aux dérivées partielles. Potentiels triplement périodiques. Potentiels multiformes.

97. Sur les séries hypergéométriques de deux variables, et sur des équations différentielles linéaires simultanées aux dérivées partielles.

Dans cette Note, qui se rattache à la Note nº 59, p. 29, j'étends les théorèmes de Riemann et de Fuchs, sur les intégrales des équations différentielles linéaires à une variable, à des équations simultanées définissant r et t en fonctions linéaires de s, p, q, z. P. A.

C R, t. 90, 29 mars 1880, p. 731-734.

98. Sur certaines équations différentielles linéaires simultanées aux dérivées partielles.

En commun avec M. E. Picard.

Cette Note contient une extension d'un théorème donné par M. E. Picard pour les équations différentielles linéaires à coefficients doublement périodiques (C R, t. 90, 1880, p. 293).

C R, t. 92, 21 mars 1881, p. 692-695.

Analyse: B S M; 2e s., t. 5, 2e p., mai. 1881, p. 98.

99. Sur une équation linéaire aux dérivées partielles.

M. P. Appell montre que l'équation qu'il a rencontrée dans la théorie des fonctions hypergéométriques de deux variables (voir nº 59, p. 29) contient, comme cas particulier, une équation différentielle linéaire étudiée par M. G. Darboux (C R, t. 95, 1882, p. 69) et étend à son équation les principales propriétés indiquées par ce géomètre.

B S M, 2e s., t. 6, 1re p., déc. 1882, p. 314-318.

Analyse par Toeplitz: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 300.

100. Sur les fonctions satisfaisant à l'équation ΔF = 0.

M. P. Appell considère une fonction F(x, y, z), de trois variables réelles représentant les coordonnées rectangulaires d'un point M. Il suppose que la fonction F est uniforme, continue, qu'elle admet des dérivées premières et secondes et qu'elle vérifie l'équation

ΔF =∂2F+∂2F+∂2F= 0,
∂x2∂y2∂z2

en tous les points M situés à l'intérieur d'une surface fermée S, excepté en certains points isolés, qu'il appelle points singuliers. Il classe ces points en pôles et points essentiels.

C R, t. 96, 5 fév. 1883, p. 368-371.

101. Sur les fonctions de trois variables réelles satisfaisant à l'équation différentielle ΔF = 0.

Dans ce Mémoire, M. P. Appell fait l'étude générale des fonctions qui satisfont à l'équation ΔF = 0. La première partie contient une extension d'un théorème dû à M. Mittag-Leffler et plusieurs applications d'un théorème de Green; la seconde contient l'étude de celles de ces fonctions qui reprennent les mêmes valeurs aux points homologues d'un réseau de parallélépipèdes et qui possèdent des propriétés semblables à celles de la partie réelle d'une fonction doublement périodique d'une variable imaginaire. Ces fonctions s'expriment à l'aide d'un élément simple Z analogue à la fonction

H´introduite par Hermitedans la théorie des fonctions elliptiques.
H

A M, t. 4, 22 janv.-3 mars 1884, p. 313-374.

Analyse par F. Müller: J F M, Bd. 16, J. 1884, S. 373-374.

Analyse par J. Tannery: B S M, 2e s., t. 13, 2e p., juin 1889, p. 98-100.

102. 103. Développements en séries trigonométriques de certaines fonctions vérifiant l'équation du potentiel ΔF = 0.

C R, t. 102, 21 juin 1886, p. 1439-1442.

J L, 4e s., t. 3, f. 1, 1887, p. 5-52.

Analyse par Toeplitz: J F M, Bd. 19, J. 1887, S. 418-420.

104. Sur les fonctions harmoniques à trois groupes de périodes.

M. P. Appell indique un élément analytique pouvant remplacer la fonction Z des deux Mémoires nos 101 et 103.

R C M P, t. 22, 1er sept. 1906, p. 361-370.

Analyse par Wangerin: J F M, Bd. 37, J. 1906, S. 482-483.

Application par A. Myller: C R, t. 145, 11 nov. 1907, p. 790-792.

105. 106. Sur des potentiels conjugués.

M. P. Appell donne un système de quatre équations aux dérivées partielles du premier ordre auxquelles satisfont quatre fonctions X, Y, Z, T de trois variables réelles x, y, z. Il démontre que si l'on choisit arbitrairement la fonction T vérifiant l'équation du potentiel, il existe une infinité de fonctions X, Y, Z vérifiant le système précédent; il parvient à préciser le degré d'indétermination et à exprimer ces fonctions par des intégrales définies.

B S M F, t. 19, 1890-1891, 15 avr. 1891, p. 68-70.

A F S Ma, t. 2, f. 3, 1892, p. 53-58.

Analyse par Wangerin: J F M, Bd. 23, J. 1891, S. 990.

107. Quelques remarques sur la théorie des potentiels multiformes.

Extrait d'une Lettre adressée à M. F. Klein par M. P. Appell.

M. P. Appell considère une certaine fonction F(x, y, z) qui vérifie l'équation ΔF = 0 et qui admet un cercle pour ligne singulière.

M A, Bd. 30, 26 avr. 1887, S. 155-156.

Analyse appliquée à l'Algèbre.

1. Sur les fractions continues périodiques.

A M P G, 62. Teil, 1878, S. 183-188.

Analyse par Günther: J F M, Bd. 10, J. 1878, S. 151-152.

2. Sur les polynomes qui expriment la somme des puissances pièmes des n premiers nombres entiers.

N A M, 3e s., t. 6, juil. 1887, p. 312-321.

3. Sur les valeurs approchées des polynomes de Bernoulli.

M. P. Appell, appliquant aux polynomes de Bernoulli une méthode donnée par M. G. Darboux dans un Mémoire sur les fonctions de grands nombres (J L, 3e s., t. 4, 1878, p. 5, 377), donne l'expression approchée du polynome de Bernoulli de rang n, pour n très grand.

N A M, 3e s., t. 6, déc. 1887, p. 547-554.

4. Sur une suite de polynomes ayant toutes leurs racines réelles.

A M P G, d. R., 1. Bd., 1901, 10 déc. 1900, S. 69-71.

ARTICLE.

1. Sur les fonctions sphériques et autres analogues.

En commun avec M. Armand Lambert (exposé fait d'après l'Article en allemand de M. A. Wangerin, avec des additions).

E S M E F, t. II, Art. 28 (sous presse).

SECTION III.