SOLUTIONS DES QUESTIONS PROPOSÉES DANS L'AVANT-DERNIER NUMÉRO.
I. Ce problème n'a de difficulté que celle de reconnaître la volonté du testateur. Or, on a coutume de l'interpréter ainsi: puisque ce testateur a ordonné que, dans le cas où sa femme accoucherait d'un garçon, cet enfant aura les deux tiers de son bien et la mère un tiers, il s'ensuit que son dessein a été de faire à son fils un avantage double de celui de la mère; et puisque, dans le cas où celle-ci accouchera d'une fille, il a voulu que la mère eût les deux tiers de son bien et la tille l'autre tiers, on en doit conclure que son dessein a été que la part de la mère fût double de celle de la fille. Pour allier ces deux conditions, il faut partager la succession de manière que le fils ait deux fois autant que la mère et la mère deux fois autant que la fille. Ainsi, en supposant que le bien à partager soit de 30,000 fr. la part du fils serait de 17 142 fr. 6/7, celle de la mère de 8 571 fr. 3/7 et celle de la fille de 4 285 fr. 5/7.
On propose ordinairement, à la suite de ce problème, une autre difficulté; on suppose que cette mère accouche de deux garçons et d'une fille, et l'on demande quel sera, dans ce cas, le partage de la succession?
Il n'y a d'autre réponse à faire que celle que feraient les jurisconsultes; savoir, que le testament serait nul dans ce cas; car, y ayant un enfant d'omis dans le testament, toutes les lois connues en prononceraient la nullité, attendu 1° que la loi est précise; 2º qu'il est impossible de démêler quelles auraient été les dispositions du testateur s'il avait eu deux garçons, ou s'il avait prévu que sa femme en eut mis deux au monde.
II. Ou trouvera que le vin de Bourgogne leur a coûté 50 c. la bouteille, et celui de Champagne 75 c. Il est aisé de le prouver.
III. On voit aisément que, pour résoudre ce problème, il est question de trouver un nombre qui, divisé par 7, ne laisse aucun reste, et, étant divisé par 2, par 3, par 5, laisse toujours 1.
Plusieurs méthodes plus ou moins savantes peuvent y conduire, mais voici la plus simple.
Puisque, le nombre des pièces étant compté sept à sept, il ne reste rien, ce nombre est évidemment un multiple de 7; et puisqu'en les comptant deux à deux, il reste l, ce nombre est un multiple impair; il est donc compris dans la suite des nombres 7, 21, 35, 48, 65, 77, 91, 105, etc.
De plus ce nombre doit, étant divisé par 3, laisser l'unité pour reste. Or, dans la suite des nombres ci-dessus, on trouve que 7, 48, 91, qui croissent arithmétiquement, et dont la différence est 42, ont la propriété demandée. On trouve de plus que le nombre 91 étant divisé par 5 il reste 1; d'où on conclut que le premier nombre qui satisfait à la question est 91, car il est multiple de 7; et, étant divisé par 2, par 3. et par 5, il reste toujours 1.
Le nombre 91 est le premier qui satisfait à la question, car il y en a plusieurs autres qu'on trouvera par le moyen suivant: combinez, la progression ci-dessus, 7, 49, 91, 133, 175, 217, 259, 301, jusqu'à ce que vous trouviez un autre terme divisible par 5, en laissant l'unité, ce terme sera 301, qui satisfera encore à la question. Or, la différence avec 91 est 210; d'où on conclut que, formant cette progression,
91, 301, 511, 721, 951, 1 161, etc.,
tous ces nombres remplissent également les conditions du problème.
Il serait donc incertain quelle somme était dans la bourse perdue, à moins que son maître ne sût à peu près quelle somme elle contenait. Ainsi, s'il disait savoir qu'il y avait environ 500 pièces, on lui répondrait que le nombre des pièces était de 511.
Supposons maintenant que l'homme à qui appartient la bourse eût dit que, comptant son argent deux à deux pièces, il en restait une; qu'en les comptant trois à trois, il en restait deux; que, comptées quatre à quatre, il en restait trois; que, comptées cinq à cinq, il en restait quatre; que, comptées six à six, il en restait cinq, et enfin, qu'en les comptant sept à sept, il n'en restait aucune. On demande ce nombre.
Il est évident que ce nombre est, comme ci-dessus, un multiple impair de 7 et conséquemment un de ceux de la suite
7, 21, 35, 49, 65, 77, 91, 105, etc.
Or, dans cette suite, les nombres 35, et 77 satisfont à la condition d'avoir 2 pour reste quand on les divise par 3; leur différence est 42. C'est pourquoi on forme une nouvelle progression arithmétique dont la différence est 42, savoir:
35, 77, 119, 161, 203, 245, 287, etc.
On y cherche deux nombres qui, divisés par 4, laissent 3 pour reste, et on trouve que ce sont les nombres 35, 119, 203, 287.
C'est pourquoi ou forme cette nouvelle progression, où la différence des termes est 84:
35, 119, 203, 287, 371, 455, 539, 623, etc.
On cherche encore ici deux termes qui, divisés par 5, laissent un reste égal à 4, et on aperçoit bientôt que ces deux nombres sont 119 et 539, dont le différence est 420. Ainsi la suite des termes répondant à toutes les conditions du problème, hors une, est
119, 539, 959, 1 379, 1 799, 2 219, 2 639, etc.
Or, la dernière condition du problème est que, le nombre trouvé étant divisé par 6, il reste 5. cette propriété confient à 119, 959, 1 799, etc., en ajoutant toujours 840. Conséquemment le nombre cherché est un des termes de cette progression. C'est pourquoi, aussitôt qu'on saura dans quelles limites à peu près il est contenu, on sera en état de le déterminer.
Si donc le maître de la bourse perdue dit qu'il y avait environ 100 pièces, le nombre cherche sera 119; s'il disait qu'il y en avait à peu près 1 000, ce serait 959, etc.
Ce problème serait résolu imparfaitement par la méthode que donne M. Ozanam; car, ayant trouve le plus petit nombre 119, qui satisfait aux conditions du problème, il se borne à dire que, pour avoir les autres nombres qui y satisfont, il faut multiplier de suite les nombres 2, 3, 4, 5, 6, 7 et ajouter leur produit 5, 040 au premier nombre trouvé, 119 et qu'on aura par là le nombre 5,159, qui remplit aussi les conditions proposées. Or, il est aisé de voir qu'il y a plusieurs autres nombres entre 119 et 5159, qui remplissent ces conditions, savoir: 959, 1 799, 2 639, 3 479, 4 519.