SOLUTION DES QUESTIONS PROPOSÉES DANS L'AVANT-DERNIER NUMÉRO.

I. L'opération qu'on appelle donner, au jeu de piquet, revient à distribuer 52 cartes en quatre groupes, deux de chacun 12 cartes, qui sont pris respectivement par chaque joueur, et deux autres groupes, l'un de 5, l'autre de 3 cartes, qui forment ensemble le talon. Le nombre des combinaisons auxquelles peut donner lieu cette distribution en quatre groupes partiels est le quotient de la division de deux nombres très-grands qui sont égaux, savoir: le dividende, au produit de tous les nombres entiers consécutifs, depuis 1 jusqu'à 32; le diviseur, au produit des carrés des nombres entiers consécutifs, depuis 1 jusqu'à 12, par le produit ses nombres 1, 2, 3, 4, 5 et 1, 2, 3.

Tout calcul fait, le quotient se trouve égal à

1 592 814 947 068 800.

A cause de l'énormité de ce nombre, et vu la date assignée à l'invention des cartes à jouer, on s'assure par des calculs bien simples qu'il s'en faut de beaucoup que les cartes aient pu être données au jeu de piquet de toutes les manières possibles. D'ailleurs, comme les mêmes séries de cartes, qui ne différent que par un changement de couleur, ont la même valeur au jeu de piquet, on peut regarder comme identiques les distributions qui ne diffèrent que par une permutation entre les couleurs; ce qui réduit considérablement le nombre des combinaisons distinctes.

II. On sait que notre Chambre des Députés est composée de 459 membres que le sort répartit en 9 bureaux, chacun de 51 membres. Le nombre, des distributions possibles a pour expression le quotient de deux nombres qui sont égaux, savoir: le dividende au produit de tous les nombres entiers consécutifs, depuis 1 jusqu'à 459; le diviseur au produit des carrés de tous les nombres entiers consécutifs, depuis 1 jusqu'à 51.

Le calcul de ce quotient, par les procédés de l'arithmétique ordinaire sérait une opération impraticable ou d'une excessive longueur. Avec certaines tables calculées spécialement pour cet objet, on trouve que, les premiers chiffres sur la gauche, qui expriment les plus hautes unités, sont 288 672..., et que le nombre cherché doit avoir 429 chiffres à la partie entière. Il tombe donc entre

278 692 suivi de 423 zéros,

278 692 suivi aussi de 423 zéros.

Nota. Les problèmes I et II, ainsi que leurs solutions, ont été extraits de l'excellent ouvrage intitule: Exposition de la Théorie des chances et des probabilités, par M. Cournot.

III. Le problème proposé se décompose en trois questions partielles, savoir:

1° Reconnaître la fraude. Pour cela, il suffit de transposer les poids. Si les balances sont fausses et préparées de telle sorte qu'elles paraissent justes étant chargées de poids inégaux, tout aussi bien que vides, leur fausseté sera manifestée par la simple transposition du poids et de la marchandise qui se font équilibre dans les deux bassins. On verra la marchandise enlevée alors par le poids qu'on croyait être le sien.

2° Le principe sur lequel ces balances sont fondées est connu sous le nom de principe du levier, et consiste en ce que les forces parallèles appliquées aux deux bras d'un levier mobile autour d'un point d'appui, doivent être en raison inverse des distances de leur point d'application au point d'appui, pour se faire équilibre.

Cela posé, pour fabriquer des balances fausses, on a du prendre d'abord des bras de fléau inégaux en longueur, mais on les a pris aussi inégalement pesants, de telle sorte qu'ils se fassent équilibre autour de l'axe de suspension. On bien encore, s'ils sont également pesants, on leur donne une forme différente, de sorte que le centre de gravité du bras le plus long soit à la même distance de l'axe du fléau que le centre de gravité du fléau le plus court.

Ensuite on a muni les extrémités de ces deux bras du fléau de bassins dont les poids sont aussi en raison inverse des longueurs des deux liras. Ainsi, ces deux bras étant supposés, l'un de 30 l'autre de 322 centimètres de longueur, il faudrait que si le bassin adapté au bras de 32 centimètres pèse 80 grammes, le bassin du bras de 32 seulement pesât 75.

A chaque pesée qu'on ferait avec cette balance, en mettant le poids dans le bassin le plus pesant et la marchandise dans l'autre, l'acheteur serait trompé d'un seizième. Mais nous avons indiqué le moyen de découvrir la fraude.

3º Pour se faire donner un poids exact, il y a un procédé très-simple qui réussit infailliblement, quel que soit l'état de la balance.

Équilibrez d'abord la marchandise placée dans un des bassins avec de la grenaille de plomb ou de fer, avec une matière quelconque que vous mettrez dans l'autre bassin. Enlevez ensuite la marchandise, et remplacez-la par un poids qui fasse équilibre à la grenaille que vous avez laissée à la place où vous l'aviez mise. Ce poids sera exactement celui que l'on cherche. On connaîtra donc le poids de sa marchandise avec une exactitude qui ne dépendra plus aucunement de celle de la balance, mais seulement de celle des poids.

Cette méthode, si simple à concevoir, qui paraît se présenter si naturellement à l'esprit, n'a été imaginée que vers la fin du siècle dernier, par notre illustre navigateur et physicien Borda. Elle est connue sous le nom de Méthode des doubles pesées. Pour apprécier ce qu'une découverte, en apparence si modeste, peut avoir d'importance, il suffira de dire qu'elle a rendu les plus grands services pour la détermination du système métrique des poids et mesures, et qu'elle en rend encore tous les jours dans les laboratoires des physiciens et des chimistes.

Avant de la connaître, on procédait ainsi: on plaçait alternativement la substance à peser dans l'un et l'autre bassin; on cherchait les poids qui y faisaient équilibre et on prenait la racine carrée de leur produit.--Ainsi, l'un des deux poids étant de 80 grammes, l'autre de 90, et la racine du produit de 80 par 90 étant de 84, 83, on en concluait que le véritable poids était de 84 grammes 83 centigrammes.