Amusements des Sciences.
SOLUTION DES QUESTIONS PROPOSÉES DANS LE
CINQUANTE-HUITIÈME NUMÉRO
1. Ce problème admet plusieurs solutions très-simples et très-élégantes.
Soient d'abord placés les deux carrés A B, C D, ainsi que les représente la figure 1, de manière que les côtés de l'un soient exactement dans le prolongement des côtés de l'autre. Sur A C construisons le carré A C E F. Les trois carrés que nous considérons ainsi se coupent mutuellement en plusieurs parties, que nous numérotons 1, 2, 3, pour le carré C D; 4 et 5, pour le carré A B; 1, 6 et 7, pour le carré C F. Il est facile de voir qu'en découpant les deux premiers carrés suivant ces diverses parties, on formera le troisième, ou, en d'autres termes, que la somme des parties 1, 2, 3, 4 et 5, sera égale à la somme l, 4, 6 et 7. En effet, 1 et 4 sont des parties communes; 2 et 7 sont des triangles égaux; enfin, les surfaces 3 et 5 font une somme égalé à la surface numérotée 6. car 3 est égal au triangle K B F, qui, ajouté à 5, donne un triangle rectangle égal à A H F. Or, celui-ci est l'équivalent de 6, comme renfermant la partie commune F H I K et le triangle 4 égal au triangle F H G.
La figure 2 donne lieu à une décomposition plus simple encore. Les deux carrés A B, A C sont placés à côté l'un de l'autre. On prend D E, égal au côté du plus petit carré, et on achève le troisième carré C E B F. Le carré A B se trouve ainsi décompose en 1 et 2; le carré A C est 3, 4 et 5; et l'ensemble de ces cinq morceaux constitue le troisième carré C B, composé de 1, 5, 6 et 7; car d'abord 1 et 5 sont communs de part et d'autre; 2 et 3 font le triangle 7; 4 et 6 sont égaux.
Cette élégante décomposition a été donnée pour la première fois, à notre connaissance, dans un article fort curieux du Magasin pittoresque de 1843 (p. 103).
Ceux de nos lecteurs qui ont vu les premiers éléments de la géométrie, auront reconnu dans les figures précédentes, des démonstrations de la fameuse proposition du carré de l'hypothénuse, dont la découverte causa, dit-on, à Pythagore une joie si vive, qu'il offrit une hécatombe à Jupiter.
On voit, en effet dans la première figure que le carré A C E F est construit sur l'hypothénuse A C du triangle rectangle A C I, et que les carrés AB, CD sont construits sur les côtés A I, I C de l'angle droit de ce même triangle. Dans la seconde figure, B C est le carré fait sur l'hypothénuse CE; B A et A C sont les carrés faits sur les deux côtes de l'angle droit D E et D C.
Si la question que nous avons proposée d'abord était présentée sous une forme un peu différente, et qu'il s'agit uniquement de donner une démonstration de visu de la proposition de Pythagore, nous trouverions encore dans l'article cité du Magasin deux figures très-simples, auxquelles nous renvoyons le lecteur.
II. Soient d'abord deux miroirs seulement, que nous supposons représentés par leurs tranches AB, CD, lesquelles sont censées perpendiculaires au plan du tableau. Le point lumineux est en O, l'œil en S. Le trajet des rayons lumineux se déterminera ainsi:
Du point O on abaisse une perpendiculaire O F sur A B, et on la prolonge d'une quantité F E égale à elle-même; du point S une perpendiculaire S H sur D, et on la prolonge aussi d'une quantité H I égale à elle-même; enfin, on tire I E qui coupe A B en G et C D en K Le trajet du rayon lumineux sera O G K S.
Ou pourrait encore, du point E, abaisser E I perpendiculaire à C D, la prolonger de I M égalé à E I et tirer S M, puis K E. Ou trouverait alors le même trajet O G K S, et on verrait de plus que le trajet est égal au rayon S M.
Cette seconde manière d'opérer est plus générale que la première et s'applique à un nombre quelconque de miroirs. Car si ces miroirs, vus encore par leurs tranches A B, B C, C D, sont censées perpendiculaires au plan du tableau, le point lumineux étant en O et l'œil en S, ou opérera de la maniéré suivante: O I, I K, K L seront respectivement perpendiculaires aux droites A B, C B, C D ou à leurs prolongements, et divisées en deux parties égales aux points H, M, N; il ne restera plus qu'à tirer les lignes S I, G K, F I, O E, pour avoir le chemin O E F G S du rayon lumineux, qui va du point O à l'œil, après trois réflexions consécutives. On verra en même temps que le trajet total est égal à la ligne S L.