II. Zu einem Punkt P der Ebene ε kann man den Bildpunkt P' zeichnerisch bestimmen, sobald drei Paare entsprechender Punkte A, B, C und A', B', C' bekannt sind.
Zieht man nämlich (Fig. [16[!--tex4ht:ref: fig:16 --] und [17[!--tex4ht:ref: fig:17 --]) durch P je eine Parallele zu den Seiten AB und AC, sind B1 und C1 ihre Schnittpunkte mit diesen Seiten, und B' und C' wieder deren Bildpunkte in ε', so hat man
| AB1 : B1B = A'B1' : B1'B', |
| AC1 : C1C = A'C1' : C1'C', |
| Fig 16 | Fig 17 |
Damit sind die Punkte B1' und C1' konstruktiv bestimmt. Man hat daher nur noch durch B1' und C1' je eine Parallele zu A'C' und A'B' zu ziehen, und erhält in ihrem Schnittpunkt den Punkt P'.[24]
8. Wichtig ist endlich noch, daß man zwei Ebenen ε und ε' in parallelperspektive Lage bringen kann, wenn man weiß, daß die unter [1[!--tex4ht:ref: subsub:5..1 --]. bis [5[!--tex4ht:ref: subsub:5..5 --]. genannten Eigenschaften für sie erfüllt sind; es reicht sogar schon die Kenntnis eines Teiles dieser Eigenschaften hin. Es besteht nämlich der Satz:
III. Sind zwei Ebenen so aufeinander bezogen, daß für sie die unter [1[!--tex4ht:ref: subsub:5..1 --]. und [2[!--tex4ht:ref: subsub:5..2 --]. genannten Eigenschaften bestehen, und daß in ihnen mindestens ein Paar entsprechender Geraden existiert, für das der Proportionalitätsfaktor den Wert ρ = 1 hat, so können sie in parallelperspektive Lage gebracht werden.
Ist nämlich s und s' ein Geradenpaar, für das ρ = 1 ist, so daß also für drei Paare seiner Punkte A, B, C und A', B', C' die Gleichungen
AB = A'B', BC = B'C', CA = C'A'
bestehen, so bringe man ε und ε' irgendwie in eine solche Lage (Fig. [18[!--tex4ht:ref: fig:18 --]), daß s' auf s fällt, und A', B', C' auf A, B, C, was möglich ist. Dann ist, wie sich zeigen wird, die parallelperspektive Lage bereits hergestellt. Ist nämlich a eine Gerade von ε, die durch den Punkt A von s geht, und sind A1, A2, A3... irgendwelche Punkte auf ihr, so geht auch a' durch A, und man hat überdies gemäß 2. die Relation