Fig 78

3. Ein reguläres Rhombendodekaeder zu zeichnen. Eine Ebene, die durch die Mitte eines Würfels geht und zwei Kanten enthält, werde als Diagonalebene bezeichnet. Dann entsteht das Rhombendodekaeder so aus dem Würfel, daß man durch jede der zwölf Würfelkanten eine Ebene legt, die auf der hindurchgehenden Diagonalebene senkrecht steht. Diese Ebenen sind die 12 Begrenzungsflächen des Rhombendodekaeders; aus der Symmetrie des Würfels folgt, daß die in ihnen entstehenden Begrenzungspolygone kongruente Rhomben sind. Je vier, die durch die vier Kanten einer Würfelfläche gehen, bilden überdies eine quadratische Pyramide mit dieser Würfelfläche als Grundfläche, und zwar ist leicht ersichtlich, daß ihre Höhe gleich der halben Würfelkante ist. Die Ecken des Rhombendodekaeders bestehen also aus den sechs Spitzen dieser Pyramide und den acht Würfelecken.

Man erhält es daher am einfachsten, indem man vom Würfel ausgeht, auf seine Flächen vom Mittelpunkt M die Lote fällt, und diese um sich selbst verlängert (Fig. [78[!--tex4ht:ref: fig:78 --]).[69]

4. Einen vierseitigen Pyramidenstumpf zu zeichnen (Fig. [79[!--tex4ht:ref: fig:79 --]). Wir gehen von einer dreiseitigen Pyramide aus, deren Spitze O, deren Grundfläche ABC = γ und deren Kanten a, b, c seien; eine gewisse, noch unbestimmt bleibende Ebene γ1 möge sie in dem Dreieck A1B1C1 schneiden. Aus dem Pohlkeschen Satz folgt zunächst, daß die axonometrischen Bilder von O', A', B', C' und damit auch die Bilder a', b', c'4 beliebig wählbar sind. Ebenso können wir aber auch die Bildpunkte A'1, B'1, C'1 auf a', b', c' beliebig annehmen; ihnen entsprechen stets gewisse Raumpunkte A1, B1, C1 so daß durch die Wahl von A'1, B'1, C'1 die Ebene γ1 festgelegt ist.[70] Die Punkte D und D1, die von γ und γ1 auf einer vierten durch O gehenden Kante bestimmt werden, sind jedoch nicht mehr beide willkürlich; vielmehr ergibt sich alles weitere auf Grund des in § [4[!--tex4ht:ref: section:4 --] abgeleiteten Satzes von Desargues. Aus ihm folgt zunächst, daß die drei Schnittpunkte

A0 = (B'C' , B1'C1' ), B0 = (C'A' , C1'A1' ), C0 = (A'B' , A1'B1' )

auf einer Geraden s0 liegen, die das axonometrische Bild der Schnittlinie von γ und γ1 ist.[71] Auf ihr können wir nun einen Punkt D0 beliebig annehmen und festsetzen, daß er Schnittpunkt von s0 mit der durch O gehenden Ebene (ad) = δ sein soll, und können außerdem auch die Bildkante d' beliebig zeichnen; sie muß notwendig Bild einer gewissen in δ liegenden Kante d sein. Um endlich D' und D1' zu finden, haben wir wieder D0 mit A' und A1' zu verbinden und die Schnittpunkte dieser Geraden mit d' zu bestimmen. Sie liefern uns die Punkte D' und D1'. Übrigens schneiden sich auch die Geraden B'D' und B1'D1', sowie C'D' und C1'D1' auf s0, was zeichnerische Überbestimmungen liefert.

Fig 79

Ebenso kann man mit jeder weiteren durch O' angenommenen Kante verfahren und den zugehörigen Stumpf leicht konstruieren.

In gleicher Weise kann man auch den Schnitt eines geraden Zylinders oder geraden Kegels mit einer Ebene punktweise konstruieren.[72]