[19] J. A. Serret, Cours D’algèbre Supérieure, Gauthier-villard, Paris, 1866.

[20] C. Jordan, Traité Des Substitutions Et Des Équations Algébriques, Gauthier-villard, Paris, 1870.

[21] A. Clebsch, Theorie Der Binären Algebraischen Formen, Teubner, Leipzig, 1872.

[22] F. Klein, “Ueber eine geometrische Repräsentation der Resolventen algebraischer Gleichungen.” In: Mathematische Annalen 1871, 4, 346-358 − [http://dx.doi.org/10.1007/BF01442600].

Vergl. Note I. des Anhangs. [↩]
Vergl. Note II [↩]
Vergl. Note III [↩]
Vergl. Note IV [↩]
Diese knappe Form ist ein Mangel der im Folgenden gegebenen Darstellung, der das Verständniss, wie ich fürchte, wesentlich erschweren wird. Aber dem hätte wohl nur durch eine sehr viel weitere Auseinandersetzung abgeholfen werden können, in der die Einzel-Theorien, die hier nur berührt werden, ausführlich entwickelt worden wären. [↩]
Wir denken von den Transformationen immer die Gesammtheit der räumlichen Gebilde gleichzeitig betroffen und reden desshalb schlechthin von Transformationen des Raumes. Die Transformationen können, wie z. B. die dualistischen, statt der Puncte andere Elemente einführen; es wird dies im Texte nicht unterschieden. [↩]
Begriffsbildung wie Bezeichnung sind herübergenommen von der Substitutionstheorie, in der nur an Stelle der Transformationen eines continuirlichen Gebietes die Vertauschungen einer endlichen Zahl discreter Grössen auftreten. [↩]
Camille Jordan hat alle Gruppen aufgestellt, die überhaupt in der Gruppe der Bewegungen enthalten sind: Sur les groupes de mouvements. Annali di Matematica. t. II[1] [↩]
Die Transformationen einer Gruppe brauchen übrigens durchaus nicht, wie das bei den im Texte zu nennenden Gruppen allerdings immer der Fall sein wird, in stetiger Aufeinanderfolge vorhanden zu sein. Eine Gruppe bildet z. B. auch die endliche Reihe von Bewegungen, die einen regelmässigen Körper mit sich selbst zur Deckung bringen, oder die unendliche, aber discrete Reihe, welche eine Sinuslinie sich selber superponiren. [↩]
Unter dem Sinne verstehe ich hier die Eigenschaft der Anordnung, welche den Unterschied von der symmetrischen Figur (dem Spiegelbilde) begründet. Ihrem Sinne nach unterschieden sind also z. B. eine rechts- und eine linksgewundene Schraubenlinie. [↩]
Dass diese Transformationen eine Gruppe bilden, ist begrifflich nothwendig. [↩]
Man erzeugt ein solches Gebilde beispielsweise, indem man auf ein beliebiges Anfangselement, das durch keine Transformation der gegebenen Gruppe in sich selbst überzuführen ist, die Transformationen der Hauptgruppe anwendet. [↩]
Diese Anschauungsweise ist als eine der schönsten Leistungen von Chasles zu betrachten; durch sie erst gewinnt die Eintheilung in Eigenschaften der Lage und Eigenschaften des Maßes, wie man sie gern an die Spitze der projectivischen Geometrie stellt, einen präcisen Inhalt. [↩]
Den erweiterten Kreis, der auch imaginäre Umformungen umspannt, hat v. Staudt erst in den „Beiträgen zur Geometrie der Lage"[3–5] zu Grunde gelegt. [↩]
Wenn man will, ist hier das Princip unter etwas erweiterter Form angewendet. [↩]
Statt des Kegelschnittes in der Ebene kann man mit gleichem Erfolge eine Raumcurve dritter Ordnung einführen, überhaupt bei n Dimensionen etwas Entsprechendes aufstellen [↩]
Bez. anderer Beispiele, sowie namentlich der Erweiterungen auf mehr Dimensionen, deren die angeführten fähig sind, verweise ich auf bez. Auseinandersetzungen in einem Aufsatze von mir[6] sowie auf die sogleich noch zu nennenden Lieschen Arbeiten. [↩]
Vergl. Note III. [↩]
Vergl. Note V [↩]
Vergl. Note VI. [↩]
Ich wähle den Namen nach dem Vorgange von Dedekind, der in der Zahlentheorie ein Zahlengebiet als Körper bezeichnet, wenn es aus gegebenen Elementen durch gegebene Operationen entstanden ist (Zweite Auflage von Dirichlets Vorlesungen [9].) [↩]
Geometrie der reciproken Radien auf der Geraden ist mit der projectivischen Untersuchung der Geraden gleichbedeutend, da die bez. Umformungen die nämlichen sind. Man kann daher auch in der Geometrie der reciproken Radien von einem Doppelverhältnisse von vier Puncten einer Geraden und weiterhin eines Kreises reden. [↩]
Vergleiche die bereits genannte Arbeit: Ueber Liniengeometrie und metrische Geometrie. Math. Annalen Bd. V [6]. [↩]
Vergl. Note VII. [↩]
Partielle Differentialgleichungen und Complexe. Math. Annalen V.[10] [↩]
Diese Transformationen werden gelegentlich in Grassmanns Ausdehnungslehre betrachtet (in der Auflage von 1862, [12] p. 278). [↩]
Projicirt man die Mannigfaltigkeit stereographisch, so erhält man den bekannten Satz: In mehrfach ausgedehnten Gebieten (schon im Raume) gibt es ausser den Transformationen, die sich in der Gruppe der reciproken Radien befinden, keine conformen Puncttransformationen. In der Ebene gibt es dagegen beliebig viele andere. Vergl. auch die citirten Arbeiten von Lie ([10,11]). [↩]
Vergl. bes. die bereits citirte Arbeit[10]: Ueber partielle Differentialgleichungen und Complexe. Math. Ann. V. Die im Texte gegebenen Ausführungen betr. partielle Differentialgleichungen habe ich wesentlich mündlichen Mittheilungen von Lie entnommen; vergl. dessen Note[13]: Zur Theorie partieller Differentialgleichungen. Göttinger Nachrichten. Oct. 1872. [↩]
Ich verdanke diese Definitionen einer Bemerkung von Lie. [↩]
Gött. Abhandlungen. 1872. (Bd. 17): Ueber eine Fundamentalaufgabe der Invariantentheorie[14], sowie namentlich Gött. Nachrichten 1872. Nr. 22: Ueber ein neues Grundgebilde der analytischen Geometrie der Ebene[15,16]. [↩]
Ich erinnere hier daran, dass Grassmann bereits in der Einleitung zur ersten Auflage seiner Ausdehnungslehre (1844, [17]) die Combinatorik und die Ausdehnungslehre parallelisirt. [↩]
Vergleiche den gemeinsamen Aufsatz: Ueber diejenigen ebenen Curven, welche durch ein geschlossenes System von einfach unendlich vielen vertauschbaren linearen Transformationen in sich übergehen, Math. Annalen Bd. IV. [18]. [↩]
Ich muss mir versagen, im Texte auf die Fruchtbarkeit hinzuweisen, welche die Betrachtung unendlich kleiner Transformationen in der Theorie der Differentialgleichungen hat. In §.7. der citirten Arbeit haben Lie und ich gezeigt: Gewöhnliche Differentialgleichungen, welche gleiche unendlich kleine Transformationen zugeben, bieten gleiche Integrationsschwierigkeiten. Wie die Betrachtungen für partielle Differentialgleichungen zu verwerthen seien, hat Lie an verschiedenen Orten, so bes. in dem früher genannten Aufsatze (Math. Ann. V., [10]) an verschiedenen Beispielen auseinandergesetzt (vergl. namentlich auch Mittheilungen der Academie zu Christiania. Mai 1872.) [↩]
Diese Verhältnisse ändern sich bei der gew. Maßgeometrie; zwei unendlich ferne Puncte haben für sie freilich eine absolute Invariante. Der Widerspruch, den man in der Abzählung der linearen Transformationen der unendlich fernen Fläche in sich selbst hiermit finden könnte, erledigt sich dadurch, dass die unter ihnen befindlichen Translationen und Aehnlichkeitstransformationen das Unendlich-Ferne überhaupt nicht ändern. [↩]
Vergl. §.7 des Textes. [↩]
Vergl. §.4 des Textes. [↩]
Vergl. den Aufsatz: Ueber Liniengeometrie und metrische Geometrie. Math. Ann. Bd. V. p. 271.[6] [↩]
Vergl. hiezu die betr. Abschnitte von Clebsch: Theorie der binären Formen[21] [↩]
Durch Betrachtung der linearen Transformationen von f in sich selbst, vergl. Math. Ann, IV. p. 352 [22] [↩]

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