Abb. 122.
Eulers aus Glas und Wasser zusammengesetztes Objektivglas[740].
Auch mit einem wichtigen Problem der angewandten Mechanik hat sich Euler beschäftigt. Im Jahre 1750 hatte Segner das nach ihm benannte Wasserrad erfunden[741]. Dies veranlaßte Euler, eine »Vollständigere Theorie der Maschinen, die durch die Reaktion des Wassers in Bewegung gesetzt werden«, zu entwickeln[742]. Die Arbeiten von Segner und Euler sind für den Bau der horizontalen Wasserräder (Turbinen) grundlegend gewesen. Die soeben erwähnte Abhandlung Eulers wird selbst heute noch als nur wenig veraltet betrachtet[743]. Euler löst in ihr die Aufgabe, die Leistung einer hydraulischen Maschine zu finden, die für ein gegebenes Gefälle und einen bestimmten Wasserverbrauch gebaut ist. Ferner wird an einer Reihe von Beispielen gezeigt, wie man für gewisse Bedingungen die größtmögliche Leistung der Turbine berechnen kann.
Die Begründung der analytischen Mechanik.
Der Weg zu der dem 18. Jahrhundert gelungenen, vorläufig abschließenden Gestaltung der Mechanik führt von den Bernoullis und Euler über d'Alembert zu Lagrange, dem großen Analytiker, dem jener Abschluß vorbehalten blieb. Die durch Euler repräsentierte, ältere Generation begnügte sich mit der Lösung zahlreicher, isolierter Aufgaben aus allen Teilen der angewandten Mathematik. Für jedes Problem mußte man daher einen neuen Weg, für jede Aufgabe besondere Kunstgriffe suchen, so daß nur die hervorragendsten mathematischen Talente sich auf dem Gebiete der Mechanik betätigen konnten. Durch d'Alembert und in noch höherem Grade durch Lagrange wurde dieser Mangel beseitigt, indem sie die allgemeinen Sätze fanden, die auf ganze Gruppen von mechanischen Aufgaben anwendbar sind. D'Alembert war es, der diese »Formgebung« der Mechanik einleitete, während Lagrange sie vollendete[744]. Diese Bedeutung d'Alemberts rechtfertigt es, daß wir nicht nur seinem Hauptwerk, sondern auch seinem Lebensgang eine kurze Darstellung zuteil werden lassen, zumal seine Beziehungen zu den philosophischen Bestrebungen der Aufklärungsperiode von besonderem Interesse sind.
D'Alemberts Lebensumstände waren ganz außergewöhnliche. Zu der Zeit, als in Frankreich der berüchtigte Herzog von Orleans die Regentschaft führte, fand man auf den Stufen einer Kirche ein ausgesetztes Kind, das der Frau des Handwerkers Alembert zum Aufziehen übergeben wurde. Erst als dieses Kind zum Manne geworden, der sich unter dem Namen d'Alembert einen geachteten Namen geschaffen hatte, wurde der Schleier, der seine Herkunft verbarg, gelüftet. Es stellte sich nämlich heraus, daß seine Mutter eine Frau war, in deren Salon hervorragende Schriftsteller, vornehme Militärs und Kleriker, darunter der spätere Papst Benedikt XIV., verkehrten. Mit 12 Jahren wurde d'Alembert in ein Collège aufgenommen. Er studierte Theologie, die Rechte und Medizin, bis er sich schließlich mit ausgesprochener Neigung der Philosophie und den mathematischen Wissenschaften zuwandte.
D'Alembert wurde Mitglied der Pariser und der Berliner Akademie. Den glänzenden Verlockungen, durch die ihn Friedrich der Große und Katharina II. an sich zu fesseln suchten, widerstand er. Er blieb in Frankreich und starb dort im Jahre 1783.
Seine grundlegende »Abhandlung über Dynamik« veröffentlichte d'Alembert im Alter von 26 Jahren (1743)[745]. Sie bedeutet einen Markstein in der Entwicklung der Mechanik, weil sie für die Bewegung der Körper ein ebenso einfaches Grundprinzip aufstellte, wie man es für das Gleichgewicht in dem Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten besaß.
Die Ableitung des d'Alembert'schen Prinzips geht auf das Problem des zusammengesetzten Pendels zurück. Offenbar ist ein solches nichts anderes als ein Hebel, der sich in Bewegung befindet. An einem solchen werden die auf jeden Massenpunkt wirkenden Kräfte bekanntlich in zwei Bestandteile zerlegt, von denen die einen sich gegenseitig aufheben, zur Bewegung also nicht beitragen, während die anderen im Gegensatz zu jenen »verlorenen«, sich das Gleichgewicht haltenden Kräften dem System die Bewegung erteilen. Derjenige Massenpunkt, an dem weder Verlust noch Gewinn stattfindet, ist der uns aus früheren Betrachtungen bekannte Schwingungsmittelpunkt. Auch d'Alembert behandelt als typischen Fall für sein Prinzip eine an einem Ende befestigte und im übrigen mit verschiedenen Körpern beschwerte Stange, also ein System, das sich gleichfalls als ein zusammengesetztes Pendel oder ein in Bewegung begriffener Hebel betrachten läßt. Dann zerlegt er, wie es schon vor ihm Jakob Bernoulli bei der Untersuchung des zusammengesetzten Pendels getan, die wirkenden Kräfte in diejenigen, die im Gleichgewicht sein müssen, und in diejenigen, welche die Bewegung hervorrufen. In dieser Art der Betrachtung liegt das Wesen von d'Alemberts Prinzip, das in seiner allgemeinen Fassung folgendermaßen lautet: Werden einem System von materiellen Punkten oder Körpern Bewegungen mitgeteilt, die infolge der wechselseitigen Verbindung der Punkte oder Körper eine Abänderung erfahren, so findet man die resultierenden Bewegungen auf folgende Weise. Man zerlege die jedem Körper mitgeteilten Bewegungen in je zwei andere a, α; b, β; c, γ ... derart, daß die Körper, wenn man ihnen nur die Bewegungen a, b, c beigelegt hätte, diese Bewegungen hätten bewahren können, ohne sich gegenseitig zu hindern; und daß, wenn man ihnen nur die Bewegungen α, β, γ ... eingeprägt hätte, das System in Ruhe geblieben wäre. Dann werden a, b, c ... die Bewegungen sein, welche diese Körper infolge ihrer Wechselwirkung annehmen.