Die letzte Abhandlung endlich erörtert die Projektionsart, die De Lisle seiner Karte des russischen Reiches zugrunde gelegt hat[824], und zeigt, wie man die Fehler einer solchen nach De Lislescher Projektion entworfenen Karte möglichst verringern kann. Die genannte Projektionsart ist eine konische, d. h. ein Teil der Kugelzone wird derart auf einen Kegel übertragen, daß den Meridianen gerade Linien, den Parallelkreisen der Kugel aber parallele Kreise auf dem Mantel des Kegels entsprechen.
Nicht minder groß sind die Verdienste, die sich Euler um die wichtigste Hilfswissenschaft der Astronomie, die Trigonometrie, erworben hat. In seiner ersten Abhandlung über diesen Gegenstand (1753) stellte er sich die Aufgabe, wichtige Sätze der sphärischen Trigonometrie nach der Methode der größten und kleinsten Werte abzuleiten[825].
Etwaige Bedenken gegen die Ableitung der sphärischen Trigonometrie aus den Regeln der Infinitesimalrechnung werden von Euler zurückgewiesen. Es sei immer von Nutzen, auf verschiedenem Wege dieselben Wahrheiten zu erreichen, weil aus diesem Verfahren sich stets neue Gesichtspunkte ergeben würden. Zur Notwendigkeit wurde aber die Anwendung der neuen Methode hier wie in allen übrigen Fällen, wenn man ein Problem ganz allgemein lösen wollte. Die bisher übliche Betrachtungsweise war auf das ebene und das sphärische Dreieck beschränkt. Wollte man dagegen Dreiecke untersuchen, die auf einer beliebigen, z. B. einer konoidischen oder sphäroidischen Fläche dadurch entstehen, daß man drei Punkte durch drei kürzeste, der betreffenden Oberfläche angehörende Linien verbindet, so war damit ein Problem gegeben, das sich nur mit den Mitteln der höheren Mathematik lösen ließ. Die Wichtigkeit einer solchen Begründung der Trigonometrie auf einer allgemeinen Auffassung leuchtet ein, wenn man bedenkt, daß die Messungen der Geodäten nicht auf einer Kugel, sondern, wie Euler hervorhebt, auf einer sphäroidisch gestalteten Fläche geschehen. Wenn man die bei den Triangulationen erforderlichen Dreiecke recht groß wähle, so müsse man auf diesen Umstand auch Rücksicht nehmen. In der erwähnten Abhandlung leitet Euler nur die Formeln für die Kugeloberfläche mit Hilfe der Infinitesimalrechnung ab. Für andere Flächen, wie das Sphäroid (Umdrehungsellipsoid), wird diese Trigonometrie der kürzesten Linien (der Name sphärische Trigonometrie paßt ja nur für die Kugel) in einer späteren Arbeit behandelt[826]. Auch darauf wies Euler hin, daß die ebene Trigonometrie aus der sphärischen hervorgeht, wenn man den Radius der Kugel unendlich groß werden läßt[827]. Sehr glücklich war sein Gedanke, die Seiten eines Dreiecks mit a, b, c und die entsprechenden Gegenwinkel mit A, B, C zu bezeichnen. Die trigonometrischen Formeln wurden dadurch viel übersichtlicher und neue Beziehungen weit leichter als bisher entdeckt[828]. Die trigonometrischen Formeln, die wir heute benutzen, hat Euler mit Ausnahme der Gaußschen Formeln[829] infolgedessen besonders klar dargestellt, teilweise auch zum ersten Male abgeleitet[830].
20. Mineralogie und Geologie im 18. Jahrhundert
Wesentlich bedingt durch die Fortschritte der Physik und der Chemie entwickelten sich im 18. Jahrhundert die Mineralogie und die Geologie auf der in der vorhergehenden Epoche vor allem durch Steno geschaffenen Grundlage weiter.
Die von Agricola begründete Lehre von den äußeren Kennzeichen bildete bei Linné zwar noch den Kernpunkt der mineralogischen Wissenschaft. Doch dürfen wir nicht vergessen, daß Linné auf diesem Gebiete kein Forscher war, sondern die Mineralien nur seinem alles umfassenden Natursystem anzugliedern suchte. Seine Begriffsbestimmungen erhoben sich kaum über die von Agricola aufgestellten; sie waren sogar weniger verständlich, da bei Linné Erläuterungen durch Beispiele, wie sie Agricola gegeben, fehlten[831].
Linné berücksichtigte die äußere Gestalt (würflig, säulenförmig, pyramidal), die Oberfläche (rauh, glatt), die innere Struktur (körnig, faserig, blätterig), die Härte (am Stahl funkend, läßt sich schneiden, schreibt) und endlich das optische Verhalten (durchsichtig, gefärbt usw.). Der Kristallform schenkte man zu jener Zeit noch geringe Aufmerksamkeit. Linné suchte die an den Mineralien vorkommenden Formen auf einige bekannte Salze (Kochsalz, Salpeter, Alaun, Vitriol) zurückzuführen. Dies war ein vergebliches Bemühen, zumal Linné sich von der sonderbaren Vorstellung leiten ließ, daß dasjenige Salz, mit dem ein Mineral in seiner Kristallform übereinstimmt, auch die Ursache für die Form des Minerals sei.
Die Begründung der Mineralchemie.
Erst im 18. Jahrhundert gelangte man allgemeiner zu der Auffassung, daß man es in den Mineralien mit Verbindungen zu tun habe und begann sie nach ihrer Zusammensetzung einzuteilen. Ein nach diesem Gesichtspunkt durchgeführtes System konnte sich indessen im 18. Jahrhundert wegen des unfertigen Zustandes der Chemie noch nicht entwickeln. Durch das Handinhandgehen der Mineralogie mit der Chemie wurden aber im 18. Jahrhundert die wichtigen Grundlagen für die Mineralchemie geschaffen. Die größten Verdienste um diesen Wissenzweig haben sich die schwedischen Forscher Cronstedt (1722–1765) und Bergman (1735–1784) erworben.