Die Naturwissenschaften in ihrer Entwicklung und in ihrem Zusammenhange, II. Band / Von Galilei bis zur Mitte des XVIII. Jahrhunderts - Friedrich Dannemann

Die Lehre von den Gleichungen.

Der zweite große Fortschritt auf dem Gebiete der Algebra betraf die Lehre von den Gleichungen. Vieta war noch der Meinung, daß nur die positiven Wurzelwerte einer Gleichung eine Lösung darstellen. Daß auch die negativen Wurzeln reell sind und überhaupt jede Gleichung so viel Wurzeln hat, als ihr Grad anzeigt, erkannten erst die Mathematiker des 17. Jahrhunderts.

Daß jede Gleichung n. Grades n Wurzeln besitzt, folgerte der Niederländer Girard 1629 in seinem Werke »Neue Entdeckungen auf dem Gebiete der Algebra« aus dem von ihm erkannten Zusammenhange zwischen den Wurzeln einer Gleichung mit ihren Koeffizienten[272]. Dieser Zusammenhang ergab sich daraus, daß die Entstehung einer Gleichung n. Grades durch die Multiplikation von n Faktoren ersten Grades nachgewiesen wurde, eine Erkenntnis, deren mathematischer Ausdruck X_n = (x - α₁)(x - α₂)(x - α₃) ... (x - α_n) lautet, wenn wir mit X_n das Polynom der Gleichung und mit α₁, α₂, α₃, α_n die Wurzeln bezeichnen.

Nachdem Girard das Bildungsgesetz der Gleichungen erkannt hatte, erhielten auch die imaginären Wurzeln, mit denen man früher nichts anzufangen wußte, gleichsam ihre Daseinsberechtigung. Wenn Girard z. B. findet, daß eine bestimmte Gleichung vierten Grades neben zwei reellen noch zwei imaginäre Wurzeln liefert, so läßt er sich durch das Auftreten der letzteren nicht beirren, sondern erläutert es dahin, daß diese Wurzeln es eben sind, welche dem Bildungsgesetz Genüge leisten.

In der ersten Hälfte des 17. Jahrhunderts begann man mit den negativen Zahlen und mit der Null zu rechnen. Auch hierin hat Girard neben dem gleich zu nennenden Descartes Bahnbrechendes geleistet. Girard bemerkt, die negative Lösung werde geometrisch durch Rückwärtsschreiten dargestellt[273]. Dieser Gedanke findet sich bei Descartes für eine Reihe von Aufgaben verwertet. Er sowie Girard erklären die negativen Wurzeln geometrisch als Strecken, deren Richtung derjenigen entgegengesetzt ist, welche die den positiven Wurzeln entsprechenden Strecken angeben[274].

Auf Gleichungen dritten Grades kamen schon die Alten durch das Problem der Würfelverdopplung (Bd. I. S. 85). Auch Archimedes wurde auf eine kubische Aufgabe geführt, als er eine Kugel durch eine Ebene so zu zerlegen suchte, daß die beiden Teile der Kugel in einem bestimmten Verhältnis stehen. Die Folge war, daß sich auch die Araber mit Gleichungen dritten Grades beschäftigten, ohne indessen andere als geometrische Lösungen zu finden. Die algebraische Auflösung dieser Gleichungen war daher eins der wichtigsten Probleme der neueren Mathematik. Seine Bewältigung gelang zu Beginn des 16. Jahrhunderts[275], indem man eine Regel fand, um die Gleichung x³ + ax = b zu lösen. Bekannt gegeben wurde diese Lösung durch Cardano (Cardanische Formel). Er hatte sie indes nicht selbst gefunden, sondern verdankte sie Tartaglia. Es ergibt sich, daß eine Gleichung dritten Grades drei Wurzeln hat und daß die Summe dieser Wurzeln gleich dem Koeffizienten von x² ist. Bei diesen Untersuchungen war man gezwungen, auch Wurzeln aus negativen Zahlen zu berücksichtigen und mit solchen »imaginären« Werten wie mit algebraischen Zahlen zu rechnen.

Mit einer Gleichung vierten Grades haben sich zuerst arabische Mathematiker beschäftigt. Die Lösung gelang durch Konstruktion[276]. Die algebraische Lösung dagegen blieb einem Schüler Cardanos[277] vorbehalten. Er führte die biquadratische Gleichung auf eine kubische zurück.

Diese Erfolge des 16. Jahrhunderts bewirkten, daß man im 17. und 18. sich eifrig um die Lösung von Gleichungen fünften und höheren Grades mühte. Alle Anstrengungen waren jedoch vergeblich. Sie führten schließlich zu dem negativen Ergebnis, daß es unmöglich sei, solche Gleichungen algebraisch aufzulösen[278].

Die Begründung der analytischen Geometrie.

Eine ganz ungeahnte Wichtigkeit erhielt die Lehre von den Gleichungen, als Descartes diesen Teil der Algebra mit der Geometrie in die engste Beziehung setzte und dadurch die Grundlagen der analytischen Geometrie der Ebene schuf. Descartes zeigte, daß jede gesetzmäßig entstandene Kurve auf eine Gleichung zurückgeführt werden kann, aus der sämtliche Eigenschaften der Kurve sich durch Rechnung ableiten lassen. Gesetzmäßig entsteht eine Kurve, wenn sie als der geometrische Ort aller Punkte zu betrachten ist, die einer bestimmten Bedingung genügen. Jene Bedingung drückt Descartes durch eine unbestimmte Gleichung zwischen zwei voneinander abhängigen Größen x und y aus, die er durch Linien darstellt. Den Grundgedanken des auf diesen Voraussetzungen beruhenden Verfahrens[279] spricht er in folgenden Worten aus: »Indem man der Linie y der Reihe nach unendlich viele verschiedene Größen beilegt, erhält man auch unendlich viele Werte für die Linie x.« Auf diese Weise sind aber, wie Descartes hinzufügt, unendlich viele Punkte bestimmt, welche der gegebenen Gleichung genügen. Verbindet man diese Punkte, so erhält man eine Kurve als das geometrische Bild jener Gleichung.