Anknüpfend an Bravais, hat schließlich der deutsche Physiker Sohncke eine Ableitung der Kristallsysteme aus den Symmetrieverhältnissen von Punktsystemen gegeben. Auch für Sohncke bedeutet der »Punkt« einen Massenpunkt oder ein Molekül. Ferner ist die Verteilung der Punkte in einem kristallinischen Punktsystem so zu denken, daß sie um jeden Massenpunkt die gleiche ist wie um jeden anderen. Bravais hatte seine abstrakt mathematische Untersuchung über regelmäßige Punktsysteme auch auf zahlreiche Verhältnisse ausgedehnt, die zur Kristallographie in keiner Beziehung stehen; Sohncke dagegen beschränkte sich darauf[417], möglichst einfach a priori nachzuweisen, daß es unter der Voraussetzung der atomistischen Beschaffenheit der Körper nur die bekannten Kristallsysteme und keine anderen geben kann.

Sohnckes Untersuchung ergab kurz folgendes: Es kann nur sieben durch ihre Symmetrieverhältnisse verschiedene Arten von kristallinischen Punkthaufen, d. h. sieben Kristallsysteme, geben und zwar:

  1. Punkthaufen ohne Symmetrieebene (d. h. ohne eine Ebene, die ein gegebenes, geometrisches Gebilde so teilt, daß die eine Hälfte das genaue Spiegelbild der anderen ist). Dies ergibt das trikline System.
  2. Punkthaufen mit einer Symmetrieebene: das monokline System.
  3. Punkthaufen mit drei zueinander senkrechten Symmetrieebenen: das rhombische System.
  4. Punkthaufen mit drei durch dieselbe Gerade gehenden, unter 60° geneigten Symmetrieebenen: das rhomboedrische System[418].
  5. Punkthaufen mit vier durch dieselbe Gerade gehenden Symmetrieebenen und einer zu ihnen senkrechten: das tetragonale System.
  6. Punkthaufen mit sechs durch dieselbe Gerade gehenden, unter 30° geneigten Symmetrieebenen und einer zu ihnen senkrechten: das hexagonale System.
  7. Punkthaufen mit neun Symmetrieebenen: das reguläre System.

Ein Kristallsystem stellt sich somit als die Gesamtheit aller Formen dar, die nicht nur in ihrer äußeren Gestalt, sondern auch in ihrem molekularen Aufbau denselben Grad von Symmetrie besitzen. Als weiteres Ziel der Kristallographie war damit die Aufgabe gesteckt, nicht nur die äußere Gestalt, sondern auch sämtliche physikalischen Eigenschaften als bedingt durch den inneren Aufbau, durch das molekulare Gefüge, nachzuweisen.

Welch ausgedehnte Anwendung die Mathematik auf das Gebiet der Kristallographie gestattet, zeigten vor allem die Arbeiten Sellas[419]. In einer Abhandlung über das Verknüpfungsgesetz der Kristallformen einer Substanz zeigte er, daß die verschiedenen Formen nicht nur auf Achsen oder auf Zonen zurückgeführt werden können, wie es Naumann und Miller getan, sondern daß ein dritter Ausdruck für das Grundgesetz der Kristallographie möglich ist. Sella bezog nämlich die Formen einer Substanz auf ein Ellipsoid, dessen konjugierte Durchmesser drei Kristallkanten sind, die in ihrer Länge von einer vierten Fläche des Kristalls begrenzt werden. Sellas Betrachtungsweise erwies sich besonders deshalb als sehr fruchtbar, weil sich auch die physikalischen Eigenschaften der Kristalle auf Ellipsoide zurückführen lassen, so daß von mehreren Forschern (Dana, Brewster) die Moleküle der Kristalle als Ellipsoide hingestellt wurden. In einer anderen Abhandlung[420] zeigte Sella, daß sich die kristallographischen Formeln zweckmäßiger als bisher ausdrücken lassen, wenn man die in der Determinantenrechnung gebräuchlichen Bezeichnungen anwendet.

Zur Erkenntnis des Zusammenhanges zwischen der Form und dem optischen Verhalten der Kristalle war man schon während der ersten Jahrzehnte des 19. Jahrhunderts durch die Arbeiten eines Fresnel und Brewster gelangt. Ganz analoge Beziehungen wurden nun hinsichtlich des thermischen und des elektrischen Verhaltens entdeckt. Auch hier ergab sich, daß die regulären Substanzen nach allen Richtungen des Raumes das gleiche Verhalten besitzen, während die Kristalle des tetragonalen und des hexagonalen Systems Verschiedenheiten nach zwei, diejenigen der übrigen Systeme nach drei Richtungen aufweisen. Und zwar gilt dies sowohl hinsichtlich des Ausdehnungskoeffizienten wie der Wärmeleitung. Erhitzt man z. B. eine Kugel von regulärem Steinsalz, so wird sie ihr Volumen vergrößern, ohne ihre Form zu ändern, während eine aus dem hexagonalen Kalkspat hergestellte Kugel zu einem Rotationsellipsoid und endlich derselbe aus dem monoklinen Feldspat hergestellte Körper zu einem dreiachsigen Ellipsoid wird.

Für die schon von Aepinus erforschte Pyroëlektrizität[421] ergab sich gleichfalls eine merkwürdige Beziehung. Es stellte sich nämlich heraus, daß die pyroëlektrischen Kristalle hemimorph, d. h. an den entgegengesetzten Enden der Hauptachse, die zu elektrischen Polen werden, durch Flächen verschiedener Formen begrenzt sind. Beziehungen zwischen der chemischen Zusammensetzung und der Gestalt der Mineralien hatte schon Mitscherlich, der Entdecker der Isomorphie, gefunden. Aus der näheren Untersuchung der isomorphen Substanzen ging hervor, daß es sich, vom regulären Systeme abgesehen, nicht um eine vollkommene Übereinstimmung der Formen, sondern nur um eine sehr große Ähnlichkeit handelt. Als entscheidendes Merkmal für die Isomorphie erkannte man das Vermögen der betreffenden Stoffe, sogenannte isomorphe Mischungen einzugehen, d. h. in homogenen Kristallen zusammen zu kristallisieren. Einer der ersten, der ein Mineral als eine isomorphe Mischung deutete, war Hessel, den wir an anderer Stelle als den Entdecker des kristallographischen Einteilungsprinzips kennen gelernt haben. Er erklärte nämlich[422] schon 1826 den Labradorit, einen Kalknatronfeldspat, als eine isomorphe Mischung von Albit (Natronfeldspat) und Anorthit (Kalkfeldspat). In gleichem Sinne hat später Tschermak, auf der Erkenntnis fußend, daß zwischen dem Albit und dem Anorthit ein allmählicher Übergang stattfindet, eine Theorie der Feldspäte entwickelt, welche den Zusammenhang der einzelnen Glieder dieser Mineralgruppe zu erläutern sucht[423].

Die Frage nach der Entstehung der Mineralien mußte, wie die Frage nach der Bildung der Gesteine, gleichfalls auf dem Wege des Versuches gelöst werden, was zur Entdeckung zahlreicher künstlicher Nachbildungen führte[424]. Auch hier hat man der hauptsächlich durch Daubrée vertretenen Gruppe französischer Forscher die hervorragendsten Erfolge zu verdanken.