[705] S. C a y l e y, A memoir on abstract Geometry (Phil. Trans. 1870); vgl. auch Cambridge Journ. 4, 1845.
[706] Comptes rendus, 1847.
[707] Überdies scheint es außer Zweifel zu stehen, daß G a u ß ausgedehnte und bestimmte Ideen über die Geometrie von mehreren Dimensionen gehabt hat; vgl. S a r t o r i u s v o n W a l t e r s h a u s e n, a. O. S. 81 (s. Note [673] des vor. Abschn.).
[708] Théorie des fonctions analytiques (Paris, an V, S. 223).
[709] Ich darf nicht verschweigen, daß schon 1827 M ö b i u s einen Einblick hatte, wie durch Zulassung der Existenz eines vierdimensionalen Raumes ein unerklärlicher Unterschied zwischen der Ebene und dem Raume aufgehoben wird; dieser Unterschied besteht darin, daß, während man zwei in Bezug auf eine Gerade symmetrische ebene Figuren immer zur Deckung bringen kann, es nicht möglich ist, zwei räumliche in Bezug auf eine Ebene symmetrische Figuren zusammenfallen zu lassen. Später bemerkte Z ö l l n e r beiläufig, wie die Existenz eines vierdimensionalen Raumes gewisse Bewegungen zulassen würde, die wir für unmöglich halten; die folgenden Resultate können als Beispiele zu dieser Beobachtung dienen: N e w c o m b zeigte (Amer. Journ. 1), daß, wenn es einen Raum von vier Dimensionen giebt, es möglich ist, die beiden Seiten einer geschlossenen materiellen Fläche umzuwechseln, ohne dieselbe zu zerreißen. K l e i n bemerkte (Math. Ann. 9), daß bei dieser Voraussetzung die Knoten nicht erhalten bleiben könnten, und V e r o n e s e führte (in der 1881 an der Universität zu Padua gehaltenen Prolusione) die Thatsache an, daß man dann aus einem geschlossenen Zimmer einen Körper herausnehmen könne, ohne die Wände desselben zu zerbrechen. H o p p e gab (Grunerts Arch. 64) Formeln an, welche die Beobachtungen K l e i n s illustrierten. Diese Formeln erforderten einige Modifikationen, die von D u r è g e angegeben wurden (Wiener Ber. 1880); vgl. auch Grunerts Arch. 65 und die synthetischen Betrachtungen von S c h l e g e l, Zeitschr. f. Math. 28.
[710] Annali di Matem. II, 2 und 5.
[711] Journ. für Math. 65; Annali di Matem. II, 5.
[712] Journ. für Math. 83.
[713] Amer. Journ. 2.
[714] Die Nicht-Euklidischen Raumformen in analytischer Behandlung, Leipzig, 1885.