es mir gestattet sein, meinen Namen anzuführen[[209]] neben dem meines teuern Freundes S e g r e.[[210]]
Die römische Fläche von Steiner hat wiederholt die Aufmerksamkeit der Geometer auf sich gezogen und zwar vorzüglich zweier Eigenschaften wegen; die eine derselben, nämlich von jeder Tangentialebene in zwei Kegelschnitten getroffen zu werden, wurde besonders von den Synthetikern betrachtet, die andere, dass die homogenen Koordinaten ihrer Punkte sich als ganz allgemeine ternäre quadratische Formen darstellen lassen,[[211]] wurde mehr von den analytischen Geometern verwertet. Wer Lust hat, alle Eigenschaften, die sie besitzt, kennen zu lernen,[[212]] wird dieselben in den synthetischen Abhandlungen von C r e m o n a,[[213]] S c h r ö t e r[[214]] und S t u r m,[[215]] auf den Seiten, welche R e y e ihr in seiner
Geometrie der Lage (2. Bd.) gewidmet hat, und in den analytischen Abhandlungen von C a y l e y,[[216]] B e l t r a m i,[[217]] C l e b s c h,[[218]] E c k a r d t,[[219]] L a g u e r r e[[220]] und G e r b a l d i[[221]] finden.
K u m m e r verdanken wir auch die Kenntnis einer anderen wichtigen Klasse von Flächen vierter Ordnung; dieselbe besteht aus Oberflächen, die nicht singuläre Linien enthalten, sondern nur singuläre Punkte.[[222]] Wir werden in kurzem (§ VII) sehen, welche Untersuchungen Kummer zu diesen Oberflächen geführt haben; für jetzt genüge es, hervorzuheben, dass die interessanteste unter ihnen (welche man heute die Kummersche Oberfläche nennt) 16 singuläre Doppelpunkte und 16 singuläre Tangentialebenen hat und daß Specialfälle derselben die Wellenfläche von F r e s n e l[[223]] und das von C a y l e y 1846 untersuchte Tetraedroid[[224]] sind. Eine solche Oberfläche ist zu sich selbst dual.[[225]] Ihre
asymptotischen Kurven wurden von K l e i n und L i e bestimmt[[226]] und R e y e[[227]] zeigte, daß jede die Grundkurve eine Büschels von Oberflächen vierter Ordnung ist; zwischen ihnen und den Thetafunktionen existiert eine innige Beziehung, welche C a y l e y und B o r c h a r d t (1817-1880)[[228]] entdeckt haben und die H. W e b e r[[229]] zusammen mit anderen entwickelt hat;[[230]] die algebraischen Fragen, welche sich an die Bestimmung ihrer Singularitäten knüpfen, wurden von J o r d a n[[231]] gelöst; endlich kann man dieselbe, wie R o h n[[232]] es gethan hat, vermittelst der Theorie der hyperelliptischen Funktionen[[233]] behandeln.
Indem ich die Oberflächen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve einen in zwei getrennte oder zusammenfallende Gerade degenerierten Kegelschnitt haben und andere, mit denen Cayley[[234]] sich beschäftigt hat, übergehe, will ich noch die Monoide erwähnen,[[235]] die von R o h n studiert sind,[[236]] und
diejenigen Flächen, welche, ohne geradlinig zu sein, eine gewisse Anzahl von Geraden enthalten. Dieselben sind der Ort der Punkte, in welchen vier entsprechende Ebenen von vier kollinearen Räumen sich schneiden; C h a s l e s hat ihre Ordnung bestimmt und S c h u r eine Menge eleganter Eigenschaften derselben gefunden.[[237]]
Ich will diesen Abschnitt meiner Musterung beschließen, indem ich noch einige Oberflächen von höherer als der vierten Ordnung anführe, welche die Gelehrten schon beschäftigten. Zuerst verdienen die geradlinigen Oberflächen erwähnt zu werden, welche im allgemeinen von C h a s l e s,[[238]] S a l m o n,[[239]] C a y l e y,[[240]] von P l ü c k e r,[[241]] L a G o u r n e r i e (1814-1883),[[242]] V o s s[[243]] und im besonderen von C h a s l e s,[[244]] C r e m o n a,[[244]] S c h w a r z,[[245]] L a G o u r n e r i e[[246]] (Regelflächen, die in bezug auf ein Tetraeder symmetrisch sind), von
C l e b s c h,[[247]] A r m e n a n t e[[248]] (rationale und elliptische Regelflächen), von E m. W e y r[[249]] (Regelflächen, erzeugt durch die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier gerader Punktreihen in der Korrespondenz [m, n]), von E d. W e y r[[250]] (Oberflächen, erzeugt durch die Bewegung eines variabelen Kegelschnittes), von E c k a r d t[[251]] und C h i z z o n i[[252]] (Regelflächen, erzeugt durch die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier ebener projektiv bezogener Kurven). Dann folgen solche, die, wenn sie auch nicht Regelflächen sind, doch Gerade enthalten und die von S t u r m[[253]] und A f f o l t e r[[254]] untersucht sind, ferner die algebraischen Minimalflächen, bei welchen G e i s e r[[255]] und L i e[[256]] bemerkenswerte Eigentümlichkeiten fanden. Dann will ich noch einige Flächen nennen, die aus einer Oberfläche zweiten Grades abgeleitet sind (Ort der Krümmungscentren; Fusspunktflächen, Aspidalflächen etc.), sowie die Örter der Spitzen der Kegel zweiten Grades, die m Gerade berühren und durch (6-m) Punkte gehen, welche Flächen eingehend von C h a s l e s,[[257]] L ü r o t h,[[258]] H i e r h o l z e r[[259]] und von C a y l e y[[260]] studiert wurden, da sie zur Auflösung gewisser Probleme aus der Theorie der Charakteristiken der einfach unendlichen Systeme von Kegeln zweiter Ordnung dienten; schließlich diejenigen, welche unendlich viele lineare
Transformationen zulassen, die kontinuierlich aufeinander folgen;[[261]] diejenigen, welche die eigenen reziproken Polaren in bezug auf unendlich viele Flächen zweiten Grades sind,[[262]] diejenigen, welche durch reciproke Cremonasche Systeme erzeugt werden,[[263]] und diejenigen, welche dieselben Symmetrie-Ebenen wie ein reguläres Polyeder besitzen.[[264]]