Nach diesen Arbeiten müssen wir, um einen wirklich bemerkenswerten Fortschritt in der Theorie, welche uns beschäftigt, zu finden, uns zu H a l p h e n und N ö t h e r wenden, deren Abhandlungen[[465]], im Jahre 1882 von der Akademie zu Berlin mit dem Preise gekrönt, die Grundlage für eine allgemeine Theorie der Raumkurven sind; denn sie behandeln die Probleme: »alle voneinander verschiedenen Kurven von gegebener Ordnung zu bestimmen«, »anzugeben, welche Kurven es auf einer gegebenen Oberfläche giebt« und noch viele andere von nicht geringer Bedeutung. Diese beiden Arbeiten verschlingen sich so enge und durchdringen sich so innig, daß es sehr schwer wird, zu entscheiden, welcher Anteil jedem der beiden Autoren in den vielen gemeinsamen

Resultaten zufällt, die sie enthalten. Wenn einerseits N ö t h e r die Theoreme, welche Ende des Jahres 1870 von H a l p h e n in den Comptes rendus und an anderen Stellen[[466]] ausgesprochen sind, ausbeuten konnte, so konnte dieser sich der Sätze bedienen, welche in der sehr bedeutenden Abhandlung von B r i l l und N ö t h e r, Über die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie[[467]] enthalten sind, und in derjenigen, in welcher N ö t h e r streng den Fundamentalsatz der Theorie der algebraischen Funktionen dargethan hatte, welcher in der Auseinandersetzung von H a l p h e n unumgänglich notwendig war.[[468]] Und man glaube nicht, daß die von den beiden Geometern bei ihrem Thema eingeschlagenen Wege im wesentlichen verschieden gewesen seien, vielmehr benutzten sie beide (wie Cayley geraten hatte) Monoide, und wenn der eine vorzugsweise Formeln und Sätze aus der Theorie der Abelschen Integrale gebraucht, so wendet der andere solche Lehrsätze über die algebraischen Funktionen an, welche zu denselben Eigenschaften führen. Jedenfalls steht es außer Zweifel, daß diese beiden hervorragenden Produktionen unseres Zeitalters bestimmt sind, die Grundlage für die zukünftigen geometrischen Untersuchungen zu bilden, und wenn bis jetzt sich ihr Einfluß noch nicht so allgemein geltend gemacht hat, so ist dieses vorzugsweise den großen Schwierigkeiten zuzuschreiben, die ihr Gegenstand noch immer darbietet, und vielleicht auch den Lücken, die in den Methoden vorhanden sind, die man zu Hilfe nehmen könnte, um jene zu überwinden.[[469]]

Aber vor der Begründung der allgemeinen Theorie wurden viele einzelne Kurven einem genaueren Studium unterworfen; da ich aber wünsche, mehr als getreuer, denn als glänzender Geschichtsschreiber angesehen zu werden, so muß ich hier eine Aufzählung der Arbeiten unternehmen, in welchen die hervorragenderen unter diesen Untersuchungen enthalten sind.

»Degli altri fia laudabile il tacerci,

Chè il tempo saria corto a tanto suono.«[[470]]

Unter ihnen verdienen den ersten Platz diejenigen, welche die kubischen Raumkurven behandeln. Über diese haben M ö b i u s[[471]] und C h a s l e s[[472]] verschiedene sehr schöne Eigenschaften aufgefunden; dieselben vermehrten sich mit solcher Schnelligkeit, daß S t a u d t[[473]] binnen kurzem die vollständige Analogie, die zwischen ihnen und den Kegelschnitten besteht, feststellen konnte; diese Analogie hat sich von Tag zu Tag mehr vervollkommnet, dank den Studien von S e y d e w i t z,[[474]] J o a c h i m s t h a l[[475]] C r e m o n a,[[476]]

S c h r ö t e r,[[477]] R e y e,[[478]] E m i l W e y r,[[479]] S t u r m,[[480]] H u r w i t z,[[481]] welche nicht allein die Aufstellung einer vollständigen synthetischen Behandlung dieser Kurven gestatten, sondern auch das Terrain für die so elegante analytische Auseinandersetzung ebneten, die mein innigst geliebter Lehrer E. d ' O v i d i o[[482]] und P i t a r e l l i[[483]] gemacht haben.

Dann will ich die Theorie der unebenen, auf einem einschaligen Hyperboloide gezeichneten Kurven anführen, für welche C h a s l e s[[484]] das Fundament gelegt hat, und die von unserem C r e m o n a[[485]] so sehr bereichert ist. Ferner will

ich der vielen Eigenschaften erwähnen, welche P o n c e l e t,[[486]] C h a s l e s,[[487]] C r e m o n a,[[488]] R e y e,[[489]] P a u l S e r r e t,[[490]] L a g u e r r e,[[491]] M i l i n o w s k i[[492]] und viele andere über die Raumkurven vierter Ordnung erster Art gefunden haben, und die schönen Anwendungen, die sie für die Theorie der zweifach periodischen Funktionen geliefert haben, — H a r n a c k,[[493]] L a n g e,[[494]] W e s t p h a l,[[495]] L é a u t é[[496]] u. s. w. Auch kann ich die schönen Arbeiten von C r e m o n a,[[497]] von A r m e n a n t e,[[498]] B e r t i n i[[499]] und E m. W e y r[[500]] über die Raumkurven vierter Ordnung zweiter Art nicht stillschweigend übergehen, ferner nicht die von K l e i n und L i e über die durch unendlich viele lineare Transformationen in sich selbst transformierten