als »Prinzip der elektrischen Bilder« studiert und ist unter dem Namen »Transformation durch reciproke Radien« oder »Inversion« allgemein bekannt.[[517]]

Alle diese Transformationen sind linear oder quadratisch, da sie eine Gerade in eine Kurve erster oder zweiter Ordnung verwandeln. Jedoch machte M a g n u s schon die Bemerkung, daß, wenn man eine quadratische Transformation wiederholt, man im allgemeinen eine solche höherer Ordnung erhält.[[518]] Diese wichtige Bemerkung blieb aber bis zu dem Zeitpunkte unfruchtbar (1863), in welchem C r e m o n a von den wenigen bisher erörterten Fällen zur allgemeinen Theorie der geometrischen Transformationen der ebenen Figuren überging.[[519]]

Um dem Leser die Bedeutung der Schriften, welche C r e m o n a dieser Theorie[[520]] gewidmet hat, zu zeigen, würde ich auseinanderzusetzen haben, auf welche Weise dieser große Geometer das Studium der eindeutigen Transformationen auf das eines homaloidischen Netzes von Kurven zurückgeführt hat, und die Bestimmung eines solchen Netzes auf die Lösung eines unbestimmten Systemes von linearen Gleichungen; aber da die Anlage meiner Abhandlung mir das nicht gestattet, so muß ich mich darauf beschränken, ihn davon durch den alten Beweis des »consensus omnium« zu überzeugen. Dann führe ich noch die Namen von Geometern an wie C a y l e y,[[521]] C l e b s c h,[[522]] N ö t h e r,[[523]] R o s a n e s,[[524]] S. R o b e r t s,[[525]] die sich bemüht haben, die (bei der ersten Behandlung des Stoffes unvermeidlichen) Lücken, die sich in den C r e m o n a schen Abhandlungen[[526]] fanden, auszufüllen; ferner die Arbeiten von R u f f i n i,[[527]] J o n q u i è r e s,[[528]] K a n t o r,[[529]] G u c c i a,[[530]] A u t o n n e,[[531]] welche mit dieser Lehre

eng zusammenhängende Fragen behandeln, endlich die von H i r s t,[[532]] T. C o t t e r i l l[[533]] (1808-1881), von S t u r m,[[534]] S c h o u t e[[535]] und sehr vielen anderen, welche sich das bescheidenere Ziel gesetzt haben, die Verbreitung derselben durch geeignete Beispiele und elegante Formeln zu erleichtern.[[536]]

Unter den Arbeiten, welche sich an die von C r e m o n a anschließen, verdienen eine hervorragende Stelle diejenigen von B e r t i n i,[[537]] welche er den ebenen involutorischen Transformationen gewidmet hat, welche Arbeiten noch größere Einfachheit und Eleganz erhielten durch den Begriff der Klasse und andere Begriffe, die von C a p o r a l i[[538]] (1855-1886) eingeführt wurden, jenem ausgezeichneten Geometer, dessen frühen Verlust ganz Italien betrauert.[[539]]

Von ganz verschiedenem Charakter sind hingegen die eleganten Untersuchungen von L a g u e r r e über solche Transformationen, welche er »Transformationen durch reciproke Richtungen« nannte; da es nicht möglich ist, den Grundgedanken in wenigen Worten zusammenzufassen und die vielfachen Anwendungen, welche der Erfinder davon gemacht hat, anzudeuten, verweisen wir den Leser auf die Originalarbeiten des hervorragenden französischen Geometers.[[540]]

Von der Theorie, die wir jetzt besprechen, bildet auch die Lehre von den »isogonalen Transformationen« einen Teil, welcher sich auf die geometrische Darstellung der komplexen Zahlen stützt und deren Nützlichkeit (welche vielleicht grösser

ist für die mathematische Physik als für die reine Geometrie) M ö b i u s,[[541]] S i e b e c k,[[542]] D u r è g e,[[543]] B e l t r a m i,[[544]] V o n d e r - M ü h l l,[[545]] F. L u c a s,[[546]] W e d e k i n d[[547]] und neuerdings H o l z m ü l l e r[[548]] dargethan haben.[[549]]