Wir wollen diesen Abschnitt unserer Arbeit beschließen, indem wir noch einige Worte über die vielfachen Transformationen zwischen zwei Gebilden zweiter und dritter Stufe sagen, auf welche ich nur im Vorübergehen hinweisen konnte, indem ich einige Abhandlungen von P a o l i s anführte. Der erste, der sich mit ihnen beschäftigte, war C h r. W i e n e r,[[594]] welcher sie untersuchte, indem er eine eindeutige Korrespondenz in der Ebene herstellte zwischen den Geraden einer Ebene und den Kurven eines linearen Systemes; dann ist einem Punkte, betrachtet als Schnitt zweier Geraden, die Gruppe der Grundpunkte des Büschels zugeordnet, der durch die entsprechenden Kurven konstituiert wird. Diese Art und Weise, vielfache Transformationen zu erzeugen, wurde von T o g n o l i[[595]] auf den Raum ausgedehnt; derselbe ließ jedem Punkte, betrachtet als Schnitt dreier Ebenen, die Grundpunkte desjenigen Netzes entsprechen, das durch die drei den drei Ebenen entsprechenden Oberflächen eines dreifach unendlichen linearen Systemes bestimmt wird. Solche Untersuchungen haben sich bis jetzt jedoch noch nicht als sehr fruchtbar gezeigt. Ziemlich wichtig dagegen sind die schon genannten Untersuchungen von P a o l i s über die doppelten Transformationen. Das zeigen die Arbeiten, in denen V i s a l l i[[596]] und J u n g[[597]] die vielfachen Transformationen untersucht haben und welche die Fortsetzungen jener sind.
Mit einigen speziellen vielfachen Transformationen des Raumes haben sich R e y e[[598]] und S e g r e[[599]] beschäftigt und von ihnen elegante Anwendungen gemacht. A s c h i e r i[[600]] übertrug eine spezielle ebene zweifache Transformation, welche P a o l i s bearbeitet hatte, auf den Raum und dehnte auch die
Anwendungen, die jener davon gemacht hatte, auf die Nicht-Euklidische Geometrie aus. Allgemeine Untersuchungen auf diesem Gebiete haben wir jedoch keine außer den wenigen, die in einer kurzen Arbeit von R e y e[[601]] aufgezeichnet sind, und den sehr wichtigen über die doppelten Transformationen des Raumes von P a o l i s.[[602]] Wir zweifeln nicht, daß diese und jene als Grundlage einer allgemeinen Theorie der zweifachen Transformationen, die wir noch erwarten, dienen können; und wir erwarten dieselbe mit Ungeduld, da wir sicher sind, daß dieselbe der Geometrie nicht geringere Dienste leisten wird, als die sehr bekannten, die ihr durch die birationalen Transformationen geleistet sind, und jene, die, wie P a o l i s bemerkt, die doppelten leisten können.
Neben die vielfachen Korrespondenzen zwischen zwei Räumen von Punkten (oder Ebenen) kann man die zwischen einem Punktraume und einem Ebenenraume stellen. Untersucht wurden dieselben für den Fall, daß durch jeden Punkt die entsprechenden Ebenen gehen und in jeder Ebene die entsprechenden Punkte liegen. Zusammen betrachtet bilden die zwei Räume ein höheres Nullsystem oder Punktebenensystem. Die Theorie dieser Systeme ist in diesen letzten Jahren besonders durch die Arbeiten von A m e s e d e r,[[603]] von S t u r m[[604]] und V o ß[[605]] hervorgetreten, während R e y e[[606]] das Verdienst zukommt, den Begriff des gemeinen Nullsystemes[[607]] zuerst, doch in einer anderen Weise — die entsprechenden Elemente sind nicht Punkte und Ebenen, sondern Flächen zweiter Ordnung und zweiter Klasse — erweitert zu haben.