Es ist bekannt, daß infolge des Traité des propriétés projectives des figures eine Unterscheidung aufgestellt wurde zwischen den Eigenschaften der Figuren, die erhalten bleiben, wenn diese projiziert werden, und solchen, die nicht erhalten werden; es ist ferner bekannt, daß unter den ersteren alle Lagen-Eigenschaften, aber nur einzelne metrische Eigenschaften begriffen sind. Nun stellten die Geometer sich die Frage, ob es nicht möglich sei, die metrischen Eigenschaften der Figuren so auszusprechen, daß sie bei der Projektion sämtlich erhalten werden. Für einige Arten der Projektion haben C h a s l e s und P o n c e l e t die Frage gelöst, indem sie den Begriff der unendlich fernen Kreispunkte der Ebene und des unendlich entfernten imaginären Kreises einführten; für andere wurde die Lösung von L a g u e r r e[[684]] gegeben, dem es gelang, den Begriff des Winkels projektiv zu machen; aber derjenige, welcher die Lösung in ihrer ganzen Allgemeinheit gab, war C a y l e y[[685]] (1859), der in dem sechsten von seinen berühmten Memoirs upon Quantics zeigte, daß jede metrische Eigenschaft einer ebenen Figur als in einer
projektiven Beziehung zwischen dieser und einem festen Kegelschnitte enthalten betrachtet werden könne.
Nun besteht der Hauptzweck der angeführten Abhandlung von K l e i n eben darin, die innige Beziehung zwischen den Schlüssen C a y l e y s und denen, zu welchen B o l y a i und L o b a t s c h e w s k y gelangt waren, herzustellen; auf welche lichtvolle Weise dieses Ziel erreicht ist, das beweist der große Ruhm, zu dem diese Schrift alsbald gelangte.[[686]]
An diese Schriften schließen sich viele andere; an die von Riemann und Beltrami einige interessante Arbeiten von d e T i l l y,[[687]] G e n o c c h i,[[688]] v o n E s c h e r i c h[[689]] und B i a n c h i;[[690]] an die von Klein verschiedene Abhandlungen von B a t t a g l i n i,[[691]] d ' O v i d i o,[[692]] d e P a o l i s[[693]] und A s c h i e r i,[[694]] C a y l e y,[[695]] L i n d e m a n n,[[696]] S c h e r i n g,[[697]] von S t o r y,[[698]]
H. S t a h l[[699]] und V o ß,[[700]] von H. C o x[[701]] und A. B u c h h e i m.[[702]]
Die mathematische Litteratur der allerneuesten Zeit jedoch ist nicht sehr reich an Forschungen auf diesem Gebiete;[[703]] es hat den Anschein, als wenn jenes Zeitalter, welches man das heroische nennen könnte, und durch welches jede Disziplin einmal hindurchgeht, schon von der Nicht-Euklidischen Geometrie durchlaufen sei. Sollten vielleicht die unermüdlichen Arbeiter der beiden Jahrzehnte 1860-1880 die Minen in jeder Richtung so gründlich durchwühlt haben, daß sie keine goldführende Ader mehr bergen?