[41] Unter den Arbeiten, welche das Werk von C h a s l e s bilden, verdient eine besondere Erwähnung die Abhandlung (für welche ursprünglich der Aperçu historique als Einleitung dienen sollte) Sur deux principes généraux de la Science, welche die allgemeine Theorie der Homographie (Kollineation) und der Reciprocität enthält, sowie die Untersuchung der beiden Fälle, in welchen diese involutorisch ist, und die Anwendung dieser Transformationen auf das Studium der Flächen zweiten Grades und der geometrischen Oberflächen überhaupt, sowie auf die Verallgemeinerung des cartesischen Koordinatensystems. Auch müssen noch die Noten erwähnt werden, da sie eingehende historische Studien und geometrische Untersuchungen von großer Bedeutung enthalten. Unter den letzteren will ich diejenigen anführen, in denen die Theorie des Doppel- oder anharmonischen Verhältnisses und der Involution, die anharmonischen Eigenschaften der Kegelschnitte, die Fokaleigenschaften der Flächen zweiten Grades, viele Lehrsätze über die kubischen Raumkurven, glückliche Versuche, die Sätze von Pascal und Brianchon auf die Flächen zweiten Grades auszudehnen, eine Verallgemeinerung der stereographischen Projektion u. s. w. auseinandergesetzt sind.
[42] Dieser Übergang ging nicht friedlich von statten, war vielmehr mit einer Reihe lebhafter Diskussionen verbunden, in welchen P o n c e l e t , C h a s l e s und B o b i l l i e r zu Gegnern hatten P l ü c k e r, S t e i n e r und M a g n u s und deren Hauptschauplatz das Bulletin von F é r u s s a c war. — Hier würde es am Orte sein, den Anteil zu bestimmen, der jedem dieser Gelehrten in den Wissensgebieten zukommt, an denen sie zusammen arbeiteten; aber dafür würde die Feder eines competenteren und gelehrteren Mannes, als ich bin, nötig sein. Im Übrigen sind nach meinem Dafürhalten gewisse Produktionen der menschlichen Intelligenz eine natürliche Frucht ihrer Zeit; daher darf es nicht wunder nehmen, wenn sie gleichzeitig aus verschiedenen Köpfen hervorgegangen scheinen, und darum braucht man auch keine Erklärung dieser Thatsache in der »mala fides« dieses oder jenes zu suchen. Daß solches wirklich bei der Erfindung der Differentialrechnung eingetreten ist, steht heute außer allem Zweifel. Daß dies ebenso bei der modernen Geometrie eingetreten ist, kann die Thatsache beweisen, daß dieselbe hervorgegangen ist aus einem allseitig gefühlten Bedürfnisse (man vergleiche dazu den Ausspruch D u p i n s [Développements de géométrie], der als Motto auf dem Traité des propriétés projectives des figures steht, mit der Vorrede der Systematischen Entwickelung und mit dem Aperçu historique an verschiedenen Stellen) nach allgemeinen Methoden, die als Ariadnefaden dienen sollten zur Führung in dem Labyrinthe von Hilfssätzen, Lehrsätzen, Porismen und Problemen, die von den Vorfahren überliefert sind.
[43] Die hauptsächlichste Arbeit von M ö b i u s auf dem Gebiete der reinen Geometrie ist die mit dem Titel: Der barycentrische Calcul (Leipzig, 1827); dort sind die bisherigen Kenntnisse über den Schwerpunkt (Barycentrum) eines Systemes von Punkten einer neuen und wichtigen Rechnungsart zu Grunde gelegt; diese führt zu einem neuen Koordinatensystem, dessen Anwendung auf das Studium der Raumkurven und ebenen Kurven und der Oberflächen der Verfasser darlegt. In demselben werden ferner methodisch und in großer Ausführlichkeit wichtige geometrische Transformationen, die heute noch fortwährend Anwendung finden, betrachtet. Viele spätere Abhandlungen von Möbius sind als Anhänge zum barycentrischen Calcul zu betrachten. (Siehe die beiden ersten Bände der Gesammelten Werke von Möbius, herausgegeben auf Veranlassung der Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Leipzig, 1885-1887.)
[44] Ich meine das Werk: Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander (Berlin, 1832), in dem »der Organismus aufgedeckt ist, durch welchen die verschiedenartigsten Erscheinungen in der Raumwelt miteinander verbunden sind«. — Die späteren Schriften von Steiner und diejenigen anderer, welche sich auf das angeführte Werk stützen, zeigen, welches Recht der Verfasser desselben dazu hatte, den Inhalt durch die schon angeführten Worte zu charakterisieren. Steiners Gesammelte Werke sind auf Veranlassung der Akademie der Wissenschaften zu Berlin herausgegeben (Berlin, 1881, 1882).
[45] Des Näheren will ich hier nur die drei Bücher anführen: Analytisch-geometrische Entwickelungen (Essen, 1828-1831), System der analytischen Geometrie (Berlin, 1835), Theorie der algebraischen Kurven (Bonn, 1839), sowie die mit ihnen zusammenhängenden Abhandlungen, die in Gergonnes Ann. und im Journ. für Math. veröffentlicht sind.
[46] Das Werk, in welchem S t a u d t sein System der Geometrie dargelegt hat, wurde im Jahre 1847 zu Nürnberg veröffentlicht unter dem Titel: Geometrie der Lage. Die ungemeine Knappheit des Stiles ist vielleicht die Ursache der großen Schwierigkeit, auf welche die Verbreitung desselben stieß; heute erst sind, dank den von R e y e (in erster Auflage 1866-1868 erschienenen und) unter demselben Titel veröffentlichten Vorlesungen die in demselben enthaltenen Ideen allen bekannt, die sich mit Geometrie beschäftigen. In Italien wird jetzt zuerst von allen Ländern eine Übersetzung desselben angefertigt.
Nicht weniger wichtig sind die Beiträge zur Geometrie der Lage (in 3 Heften), welche S t a u d t seiner Geometrie der Lage 1866-1860 folgen ließ. Wir beschränken uns darauf, hervorzuheben, daß dort die einzige strenge, allgemeine und vollständige Theorie der imaginären Elemente in der projektiven Geometrie auseinandergesetzt ist; diese Theorie wurde in verschiedener Weise von mehreren Geometern, L ü r o t h (Math. Ann. 8, 11), A u g u s t (Progr. der Friedrichs-Realschule in Berlin, 1872) und S t o l z (Math. Ann. 4) erläutert; über die eng mit ihr zusammenhängende Rechnung mit den »Würfen« sehe man außer den erwähnten Abhandlungen von L ü r o t h noch zwei Arbeiten von S t u r m (Math. Ann. 9) und S c h r ö d e r (ebendas. 10).
[47] Ohne Zweifel ist diese Einteilung etwas willkürlich; vielleicht wird mancher, indem er bedenkt, daß gewisse Theorien mit demselben Rechte zu mehr als einem von den folgenden Abschnitten gehören können, dieselbe unpassend finden. Gleichwohl schmeichle ich mir, daß die meisten nach reiflicher Prüfung des besprochenen Gegenstandes finden werden, daß die von mir gewählte Einteilung nicht ohne bemerkenswerte Vorteile ist.
[48] C ô t e s, Harmonia mensurarum (1722); M a c l a u r i n, De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus. (Ins Französische übersetzt von d e J o n q u i è r e s und seinen Mélanges de Géométrie pure [Paris, 1856] angehängt.)
[49] Miscellanea analytica etc. (1762); Proprietates geometricarum curvarum (1772); Phil. Trans. 1763-1791.