IV. Die perspectivischen Grössenverhältnisse.
Unterscheidung der verschiedenen Aufgaben.
[§ 62.] Wir sind in [§ 22] ausgegangen von dem wichtigsten Gesez in Betreff der perspectivischen Grössenverhältnisse, wonach jeder Gegenstand im Verhältnis seiner Entfernung vom Auge kleiner zu werden scheint. Ferner wissen wir aus [§ 8], dass wir es nur mit der perspectivischen Grösse solcher Linien zu thun haben, deren geometrisches Grössenverhältnis zu andern Linien ein symmetrisches, regelmässiges und notwendiges ist.
Es lassen sich in dieser Beziehung 3 Fälle unterscheiden: 1) Parallellinien, welche in Wirklichkeit gleich lang sind, aber verschiedene Entfernung vom Auge haben (in verschiedener Tiefe sich befinden), wie z. B. in [Fig. 62] die senkrechten Umrisslinien der 3 grösseren Fenster. 2) Verkürzte Linien, auf welchen sich gleich grosse Masse wiederholen, oder welche nach bestimmten symmetrischen Verhältnissen geteilt sind, wie die Linie i k [Fig. 62], wenn die Fenster in Wirklichkeit gleiche Breite und gleiche Abstände haben. 3) Verkürzte Linien, welche zu einer nicht parallelen Linie in einem bestimmten Grössenverhältnisse stehen, wie die Seiten eines verkürzten Quadrats oder die Teile der Linie i s [Fig. 62], wenn die Fenster und Zwischenräume in Wirklichkeit auf beiden Seiten gleiche Breite haben.
Parallellinien von gleicher Länge in verschiedener Tiefe.
[§ 63.] Die Berechnung der perspectivischen Länge paralleler Linien, welche geometrisch gleich gross sind, aber in ungleicher Tiefe liegen, geschieht nach dem [§ 1] angeführten Geseze, dass parallele Linien, welche zwischen 2 gleichfalls parallelen Linien liegen, gleich lang sind.
Mehrfache Beispiele sind schon in den vorangegangenen Figuren enthalten, z. B. in [Fig. 20] sind i k und c d, g h und a b perspectivisch gleich lang (stellen Linien dar, welche geometrisch gleich lang sind), weil sie als unverkürzte Wagrechte unter sich parallel sind und die Linien a P und b P, c P und d P, zwischen welchen sie liegen, gleichfalls perspectivisch parallel sind, vergl. die gleich langen Linien a i, b g, k e und f h, oder a e und c d in [Fig. 36], ähnliche Linien in [Fig. 40] und [41] und andere. Soll in [Fig. 62] die Linie r x massgebend sein für die Höhe der übrigen Fenster, so werden durch r und x 2 Linien parallel mit den wagrechten Linien dieser Seite bis zu der senkrechten Ecklinie gezogen und von lezterer aus auf der andern Seite parallel mit a c fortgesezt, wodurch sämtliche zwischen diesen Parallelen liegende senkrechte perspectivisch gleich lang sind.
[§ 64.] In [Fig. 63] sei die Aufgabe gestellt, die Höhe der Figur a b auf die in derselben wagrechten Fläche liegenden Punkte c, e und g zu übertragen oder auf den leztgenannten Punkten Figuren von gleicher Höhe mit a b zu zeichnen. Ziehen wir von a durch c eine Linie nach dem Horizont, und nach dem Punkte x, wo sie denselben trifft, eine zweite von b aus, so sind alle senkrechten Linien, welche zwischen den 2 Parallellinien a x und b x liegen, perspectivisch gleich hoch. Eine Linie von a durch e oder von g durch a nach dem Horizont würde diesen in 2 weit ausserhalb der Zeichenfläche liegenden Punkten treffen. Man benüzt daher 2 von a und b nach einem beliebigen Punkt des Horizonts gezogene Linien, z. B. a x und b x, zieht von e eine unverkürzte Wagrechte nach i und errichtet dort die Senkrechte i k, welche somit in gleicher Tiefe mit e steht und mittels einer unverkürzten Wagrechten von k aus auf die gewünschte Stelle übertragen werden kann. Da eine von g aus nach der verlängerten x a gezogene Wagrechte die leztere nicht mehr innerhalb der Zeichenfläche erreichen würde, so ist ein Punkt y wie oben benüzt, von g eine Wagrechte nach der verlängerten y a, d. h. nach m gezogen, m n = a b gemacht und ist somit auch g h = a b.
