Fig. 86.
[Fig. 86] zeigt dasselbe Verfahren mit etwas veränderter Stellung des inneren Quadrats. Die Distanz ist = 4 mal P A angenommen, also ist B r ein Viertel von B F; B m ist = 4 mal B r, also = B F, folglich ist das verkürzte Dreieck E B F = dem unverkürzten E B f. A H ist = 4 mal A a = A m und = A h, folglich ist A H E = A h E und man sieht deutlich, wie auch die übrigen Linien der zwei wagrechten Quadrate nach Grösse und Winkelstellung durch die Linien der senkrecht sich anschliessenden Quadrate A B c d und E f g h geometrisch wiedergegeben sind.
[§ 85.] Hiemit ist zugleich die genaue Berechnung der perspectivischen Form eines rechten Winkels in schräger Stellung gegeben, auf welche in [§ 33] verwiesen wurde.
Die Ausführung kann, wenn nur die 2 Linien des rechten Winkels verlangt sind, in wesentlich vereinfachter Weise stattfinden. Wenn z. B. in [Fig. 86] von E aus eine zu E F rechtwinklige Linie gezeichnet werden soll, so genügt hiezu eine Linie von D/4 durch F, wonach E A = 4 mal B r, d. h. = B F zu machen ist, eine zweite Linie von A nach P und eine dritte von D/4, nach a, indem A a ein Viertel von E B und somit A H = E B ist. Ist E H gegeben und soll eine rechtwinklig dazu stehende Linie gezeichnet werden, so bilde man das Rechteck H A E y, mache E B = A H (= 4 mal A a), ziehe B P und eine Linie von D/4 nach r. Da B r ein Viertel von A E ist, so ist hiemit F B = A E. Welcher Weg im einzelnen Fall der bequemste, ob der Teildistanzpunkt links oder rechts vom Augpunkt für die Ausführung geeignet ist, wird man bei einiger Übung leicht erkennen.
Bei der Construction senkrecht stehender verkürzter Quadrate handelt es sich nur um die Übertragung eines gegebenen Masses von einer senkrechten auf eine verkürzte wagrechte Linie oder umgekehrt, worüber in [§ 74–78] das Nötige angegeben ist; ebenso ist aus [§ 78] zu ersehen, wie ein verkürztes schräges Quadrat zu zeichnen wäre; doch kommt die leztere Aufgabe seltener vor.
Vergrösserung oder Verkleinerung eines Quadrats oder Rechtecks.
[§ 86.] Wenn man in [Fig. 87], nachdem g h i k gegeben ist, von b aus die mit g h und h i parallelen b f und b e zieht, oder wenn man 4 Punkte der Diagonalen g i und h k durch Linien verbindet, welche mit den Seiten parallel sind, so entsteht bei A wiederum ein Quadrat f b e k oder a b c d, bei B ein Rechteck f b e k oder a b c d, dessen Seitenpaare dasselbe Verhältnis von 2 : 3 haben, wie g h und h i. Wie auf die gleiche Weise aus einem kleineren ein grösseres Quadrat oder Rechteck durch Verlängerung der Diagonale gemacht werden kann, ist hienach leicht zu verstehen.
Fig. 87.
Aber während in A die Linien des inneren Quadrats a b c d überall gleich weit von g h i k entfernt sind, ist dies bei den Rechtecken a b c d und g h i k in B nicht der Fall: der Zwischenraum zwischen den kürzeren Seiten ist grösser, als zwischen den längeren. Soll auf einem Wege, der auch bei verkürzter Stellung des Rechtecks anwendbar wäre, innerhalb g h i k ein (paralleles) Rechteck gezeichnet werden, so dass die Seiten beider überall gleiche Entfernung von einander haben, so muss auf einer längeren Seite z. B. auf g h ein Teil = der Länge der kürzeren Seite abgeschnitten, also z. B. g n = g k gemacht und so ein Quadrat g n m k gebildet werden, um dessen Diagonalen zu dem genannten Zwecke zu benüzen. Soll f g die Breite des Zwischenraums sein, so wird von f eine mit g h parallele Linie gezogen, welche die Diagonale g m in o schneidet und hiemit den Punkt p ergibt. Zieht man nun von m durch den Schnittpunkt der Diagonalen g i und h k eine Linie nach s, so ist g s = n h, s h = g n = h i; s i ist somit die Diagonale eines Quadrats = g n m k, und können die Punkte y und z durch die mit k i und i h parallelen Linien bestimmt werden.