Fig. 7.

Auch solche rechtwinklige Risse hat ein jeder schon gesehen. Denn jeder Plan einer Stadt ist ein derartiger Riß; die Bildtafel ist dabei eine horizontale Ebene. Wir wollen dieses Beispiel aber auch noch dazu benutzen, um uns darüber klar zu werden, mit welchem Rechte man auch diese rechtwinkligen Risse als Bilder der betreffenden Gegenstände bezeichnet. Wir fragen uns mithin: von wo aus betrachtet sieht eine Stadt so aus wie ihr Plan? Besteigen wir einen der Türme der Stadt und blicken von ihm aus, also aus einer Höhe von vielleicht 100 m, auf dieselbe herunter, so wird nur die nächste Umgebung des Turmes so erscheinen wie auf dem Plane. Von den weiter entfernt gelegenen Häusern dagegen sehen wir noch Fenster, Türen usf. Steigen wir aber in einem Ballon bis zu einer Höhe von etwa 1000 m über der Stadt auf, so wird schon ein größerer, unmittelbar unter dem Ballon gelegener Teil der Stadt uns so erscheinen, wie er auf dem Plane wiedergegeben ist. Je höher wir uns über die Stadt erheben, um so mehr sehen wir die Stadt unter uns so wie auf dem Plane. Aber erst wenn wir das Auge auf einer Senkrechten zur Bildebene über alle Maßen weit entfernt denken ([Fig. 6]), dann würde es die Gegenstände so sehen, wie sie im rechtwinkligen Riß dargestellt sind. Alle Sehstrahlen sind jetzt parallel, da sie alle senkrecht auf der Bildebene stehen. Wir erkennen demnach:

Satz 4. Der rechtwinklige Riß eines Gegenstandes ist das Bild, wie es einem Beobachter erscheint, der sich unendlich weit von der Bildebene entfernt befindet und senkrecht auf sie herunterschaut.

Weil alle zur Bildebene senkrechten Abmessungen im rechtwinkligen Riß verschwinden, so können wir aus einem Plan keinen Aufschluß gewinnen über die Höhe der einzelnen Häuser, der Mauern, Türme.

6. Bestimmung eines Gegenstandes durch zwei rechtwinklige Risse. Ist es nun aber nicht möglich, einen Gegenstand vollständig durch Risse zu bestimmen, so daß alle Abmessungen desselben, Länge, Breite, Höhe usf., aus den Darstellungen entnommen werden können? Da ein Riß in einer Ebene nach dem Obigen nicht genügt, so geben wir uns noch einen zweiten Riß in einer zweiten Tafel. Wir wählen also noch eine zweite Bildtafel Π2, die der Einfachheit wegen auf der ersten Bildtafel Π1 senkrecht stehe. Die in [Fig. 8] gegebene Ansicht möge wieder dazu dienen, sich die räumlichen Überlegungen klar zu machen. Es ist nun natürlich nötig, beide Tafeln und die in ihnen liegenden Risse zu unterscheiden. Die Ecke a des Würfels liefert in der ersten Tafel Π1 den Riß a1. Außerdem hat der Punkt a aber auch einen Riß in der zweiten Tafel. Wir erhalten denselben nach unserer Definition, indem wir uns von a eine Senkrechte zu Π2 konstruiert denken. Durchsetzt diese Senkrechte in a2 die zweite Tafel, so ist dieser Punkt der Riß von a in der Π2. Wir nennen a1 den ersten, a2 den zweiten Riß des Punktes a. Wie ferner der Würfel abcdefgh in der Π1 den Riß a1b1c1d1e1f1g1h1 liefert, so läßt sich nun auch der zweite Riß a2b2c2d2e2f2g2h2 des Würfels in der Π2 konstruieren. Die beiden Risse werden also durch die rechts unten angebrachten Zahlen unterschieden. Die erste Tafel Π1 können wir uns als eine horizontale Ebene denken, und wir nennen den in ihr gelegenen ersten Riß auch den »Grundriß« oder die »Horizontalprojektion«. Die zweite Tafel Π2 ist dann eine Vertikalebene, und der in ihr gelegene zweite Riß heißt auch »Aufriß« oder die »Vertikalprojektion«. Was für den ersten Riß erörtert wurde, gilt natürlich ganz ebenso auch für den zweiten. In Sonderheit erscheinen wieder Gerade, welche zur Aufrißebene Π2 senkrecht stehen, in ihr als Punkte und Ebenen, welche auf Π2 senkrecht stehen, bilden sich als Gerade in der Π2 ab.

Fig. 8.

Denken wir uns jetzt die beiden Tafeln Π1 und Π2 etwa in Holz gefertigt und miteinander fest verbunden. Weiter sei ein Würfel im Raume gegeben und in seiner Lage gegen die beiden Tafeln fixiert ([Fig. 8]). Wir wollen von dem Würfel den Grundriß und den Aufriß zeichnen. Nachdem dieses geschehen ist, entfernen wir den Würfel. Dann ist durch die beiden auf den Tafeln gezeichneten Risse der Würfel immer noch bestimmt. Denn wir können von jeder seiner Ecken die Lage im Raume bestimmen. In der Tat sind z. B. a1 und a2 die beiden Risse einer Ecke, so errichten wir im Punkt a1 der Grundrißebene eine Senkrechte zur Π1, und ebenso konstruieren wir im Punkte a2 der Aufrißebene eine Senkrechte zu ihr. Dann werden sich diese beiden Lote schneiden, und ihr Schnittpunkt gibt die Ecke a. In der gleichen Weise können wir für alle anderen Ecken des Würfels ihre Lage im Raume bestimmen. Also ist auch der ganze Würfel dadurch festgelegt: es wäre möglich, z. B. durch Stäbchen und Glasperlen die Ecken des Würfels wirklich im Raume anzugeben. Überhaupt kann man sagen:

Satz 5. Sind die beiden Tafeln im Raume gegeben und in ihnen die Risse eines Gegenstandes, in der richtigen Zuordnung, so daß also von jedem Punkte die beiden Risse unterschieden werden, so ist dadurch der Gegenstand und seine Lage im Raume bestimmt.