Eudoxos betrachtete die Schnittkurve des Wulstes und des Kegels, d. h. also er sah zunächst davon ab, dass Punkt Ι der Figur[*] auf der Peripherie des Grundkreises liegt, immer ist: ΑΘ2ΑΜ2 = ΑΙ2ΑΚ2 = ΑΙΕΔ oder I: ΑΘ2 = b2aΑΙ.
[*] In der Figur ist Θ durch Q, ξ durch ζ, und Ι durch S ersetzt.
Dadurch ist die Projektion eines Punktes Κ der Schnittkurve und damit ihre Projektion auf die xy Ebene, die Ebene des Grundkreises, definiert. Sowohl ihre Gleichung wie ihre Konstruktion ist nun ohne weiteres klar, sobald man noch nachgewiesen, dass Αξ = ΑΘ, wo Αξ die Abscisse x von Ι (und Κ).
Es ist: ΑΘΑΕ = ΑΙΑξ oder ΑΘ . x = ΑΕ . ΑΙ = b2a . ΑΙ also nach Ι x = ΑΘ also die Gleichung der Kurve ΑΙ2 = x2 + y2 = a2x4b4 d. h. also eine durch die Substitution ξ = x2, η = y2 transformierte Parabel, welche Tannery analytisch untersucht hat. Ihre geometrische Konstruktion ist äusserst einfach vergl. die Fig. 1 und das richtige Ι der Punkt wo diese Kurve den Halbkreis schneidet.
Es ist nach Konstruktion: ΑΘ1 = Αξ1 und ΑΙ1Αξ1 = ΑΘ1ΑΕ, oder ΑΘ'2 = ΑΙ' . ΑΕ und da ΑΒ2 = a . ΑΕ so ist ΑΘ'2 = ΑΙ' b2a somit Ι' ein Punkt des Ortes.
Mechanische Lösung von Eudoxos (Platon).
Vom Eudoxos rührt m. E. auch die Konstruktion her, welche Eutokios dem Platon zuschreibt. ΑΒ und ΒΓ, s. Fig., seien die gegebenen Strecken; man verlängere sie nach Δ und Ε, so dass ΑΕΔ und ΓΔΕ rechte Winkel sind, dann ist nach der Satzgruppe des Pythagoras ΓΒ : ΒΔ = ΒΔ : ΒΕ = ΒΕ : ΑΒ.
