Die Darstellung ist jedenfalls von Eutokios oder schon von Geminos redigiert, denn die Namen Parabel, Ellipse, Hyperbel sind erst von Apollonios von Pergae (s. u.) im 3. Jahrh. eingeführt, ebenso wie das Wort Asymptote.
Menaichmos, Kegelschnitte.
Den Gedankengang des Menaichmos hat Bretschneider, Geom. und Geometer vor Euklides 1870 p. 156 ff., wiederhergestellt. Derselbe Eutokios erzählt in seinem Kommentar zu des Apollonius Kōnika, dass die Alten den Kegel nur erzeugten durch Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um eine seiner Katheten. Je nachdem nun der Öffnungswinkel spitz, recht oder stumpf war, erhielt Menaichmos Ellipse, Parabel, Hyperbel, wenn er den Kegel durch eine Ebene, welche auf einer Seitenkante senkrecht stand, durchschnitt. Die Ellipse war übrigens als Cylinderschnitt schon den Ägyptern (vergl. die Säulen des Tempels von Luxor) und auch den Hellenen vor Menaichmos bekannt, ihr alter Name war ἡ (γραμμή) του θυρεού. [vielleicht die Schildförmige Linie, das Oval, obwohl das ovale Schild gew. ἀσπίς und nicht θυρεός heisst]. Die Erzeugung des Menaichmos gab sofort die Hauptachsen des Kegelschnitts. Men. erkannte die Verwandtschaft seiner Kurven mit dem Kreise, da er sah dass dieselben Projektionen des Kreises waren, und suchte daher nach einem Analogon zum Potenzsatz, im Anschluss an Archytas und Eudoxos, und fand es auch. Der Begriff der Verwandtschaft gehört zu denen, welche sich den Geometern von selbst aufdrängen, man vergleiche die Ähnlichkeitslehre bei Ägyptern und Indern, wenn auch Theorien der Verwandtschaften als solcher modernen Ursprungs sind. Als Beispiel nehme ich die Parabel, den »Schnitt des rechtwinkligen Kegels« wie sie noch bei Archimedes heisst und sogar noch bei Proklos. Es ist LAD, s. Fig. rechtwinklig bei A, der Schnitt MIDKN normal gegen die Kante AC geführt, also ID || AB. Es ist IGLD = DIAL also gleich IG . HI : LD2 = IK2 : DL2 (Potenzsatz des Kreises). Ferner wenn LM ⟘ LD, ist MD : LD = LD : AL, LD2 = MD . AL oder IK2 : MD . AL = DI : AL, also IK2 = MD . DI, dies ist die Grundeigenschaft (Gleichung) der Parabel. Analog ist die Herleitung für Ellipse und Hyperbel.
Parabel; Trisektion (Dinostratos).
Da die nächste Lösung, die des Eratosthenes selbst ist, so unterbreche ich hier die Geschichte des Delischen Problems um mit Dinostratos, den Bruder des Menaichmos der ebenfalls Schüler des Eudoxos und Platon ist, auf die beiden andern grossen Probleme, welche die Pythagoräer in die Hellenische Wissenschaft einführten, überzugehen. Zunächst die Trisektion, die Dreiteilung des Winkels. Das Problem ist unzweifelhaft von den Pythagoräern gestellt worden, und geradezu im Zusammenhange mit dem Delischen Problem. Wie die mittlere Proportionale der Natur nach zusammenhing mit der Halbierung des Bogens, so glaubte man würden die beiden Medianen mit der Dreiteilung zusammenhängen und indem man die reinkubische Gleichung lösen wollte, kam man auf die gemischte, es ist also kein Zufall, dass dies Problem das zweite Delische genannt wurde. Dass die Kenntnisse der Pythagoräer zu der Aufstellung der Gleichung ausreichten, ist leicht zu zeigen vergl. Figur. Man muss nur sehen, dass ABC ≅ αβγ ist. Es werde bezeichnet: αβ = AB = z, Aα = 2αγ = y, AD = s, AF = σ, MF = p, BC = u = βγ, dann ist 1) s/y = (y + z)/z, 2) u2 + 1/4y2 = z2, 3) weil MFB ～ ABC, 2up = y(σ - z) 4) σ2 + p2 = r2.
Setzt man u = zτ, so ist nach 2) y24 = z2(1 - τ2) und nach 3) gleich z2τ2p2(σ - z)2 also 5) 1 - τ2 = τ2p2(σ - z)2 aus 1) und 3) folgt 6) s(σ - z)2τpz = 2τpσ - z + 1.
Aus 5) folgt σ - z = τp : μ wo μ = √1 - τ2 ist, also z = σ - τp : μ, also geht 6) über in 7) s = (2μ + 1)2μ(σ - τp : μ); s = (2μ + 1)(μs - 2τp) woraus nach leichter Rechnung 4τ3 - 3τ + ps : r2 = 0 und da ps = ηr, wenn die Höhe des Dreiecks AMD von D aus η genannt wird, 8) 4τ3 - 3τ + η/r = 0.
Das ist die bekannte Gleichung für sin φ/3 da η : r = sin φ ist.