| φοα | 571 | |
| φοα | 571 | |
| κεΜγΜ.ε'φ | 25.... | |
| 35... | ||
| 5.. | ||
| γΜε'δ'ϡο | 35... | |
| 49.. | ||
| 7. | ||
| φοα | 571 | |
| λβΜ.ϛ'μα | 32m6041 |
| α'θϛ' | 1009 1/6 | |
| α'θϛ' | 1009 1/6 | |
| ρΜθ'ρξϛϙϛ' | 1009166½ + 1/6 | |
| θ'πααϙ | 9081 | |
| 1½ | ||
| ρξϛϙϛ'ακλϛ' | 166½ + 1/6 | |
| 1½ + 1/36 | ||
| ραΜη'υιζγλϛ' | 1018417 1/3 + 1/36 |
Delambre sagt mit Recht sie ist leichter als unsere, weniger Fehlern ausgesetzt, nur etwas länger. Für die Division haben wir bei Eutokios kein ausgeführtes Beispiel, aber in Theon des Alexandriners Kommentar zum Almagest findet sich eine Anleitung zum Rechnen mit Astronomischen Brüchen d. h. mit Sexagesimalzahlen (s. Babylon) welche genau unsern Dezimalbrüchen entsprechen, der Algorithmus der Division bei Theon ist nur etwas zeitraubender, während das Quadratwurzelausziehen vom unsrigen nicht verschieden ist.
Archimedes, Arenarius.
Im Sandzähler nimmt Archimedes das einzelne Sandkorn so klein an, dass 104 auf ein Mohnkorn gehen.
Dann weist er nach, dass 64000 Mohnkörner ein Volumen liefern, grösser als eine Kugel von 1 Zoll (Finger) Durchmesser, also ist die Zahl der Sandkörner, welche diese Kugel fassen kann < 64 . 107 also < 109, also die Sandzahl der Kugel von 100 Zoll kleiner als 106 . 109 oder 1015 und die der Kugel von 104 Zoll Durchmesser < 1021. Aber ein Stadion zu 600 Fuss hat nur 9600 Zoll, also ist die Sandzahl der Kugel vom Durchmesser eines Stadion kleiner als die Zahl 1021, und die von 100 Stadien kleiner als 1027 und die von 10000 Stadien kleiner als 1033 und die Sandzahl der Kugel vom Durchmesser 10000 Millionen Stadien kleiner als 1051.
Nun hat auf Grund der experimentellen Untersuchung des Gesichtswinkels, in § 3 und § 4 erzählt, Archimedes festgestellt, dass der Sonnendurchmesser grösser sei als die Seite eines reg. Tausendecks, das in einen grössten Kreis der Weltkugel eingeschrieben ist, also ist der Umfang dieses Tausendecks kleiner als 1000 Sonnendurchmesser. Setzt man nun den Sonnendurchmesser nicht grösser als 30 Monddurchmesser und den Monddurchmesser kleiner als den des Erddurchmessers, so ist der Umfang des Tausendecks kleiner als 30000 Erddurchmesser, also der Durchmesser des Welthauptkreis kleiner als 10000 dieser. Archimedes setzt nun, was für seinen Zweck möglichst hohe Zahlen abzählbar zu machen, ein Vorteil, den Erdumfang auf weniger als 3 Millionen Stadien, (eine gegen die fast gleichzeitige Eratosthenessche Messung auffallende Überschätzung) und kommt so für den Weltdurchmesser zu der oberen Grenze von 10000 Millionen Stadien, deren Sandzahl kleiner als 1051 war. — Archimedes zählt nun zunächst in gewöhnlicher Weise bis zur oberen Grenze, d. h. also Myrio Myriaden – 1. Θ'ϡϟΘ.Θ'ϡϟΘ = 99,999,999. Diese Zahlen nennt er erste, d. h. erster Ordnung, und macht nun 108 zu einer neuen Einheit, die er zweite nennt, und kann nun bis Myrio Myrioi Myriaden d. h. 1016 - 1 zählen, dann kommen die Zahlen dritter Ordnung von 1016 bis 1024 - 1, und so fort, d. h. also er teilt die Zahlen ab nach Oktaden. Aber auch die Ordinalzahlen, die er zur Abzählung der Oktaden braucht, werden mit der 100 Millionsten weniger Eins erschöpft, er fasst also die bisher benannten Zahlen zusammen als Zahlen der ersten Periode, er gelangt so zu einer Zahl welche wir mit 799,999,999 Neunen schreiben würden, die Zahl 99,999,999 der 99,999,999sten Ordnung, er macht nun (108)(108-1) oder (100002)(100002-1) zu einer neuen Einheit und zur zweiten Periode und gelangt so schliesslich zur Zahl 108, der Ordnung 108 der Periode 108 welche wir mit 1 und 80000 Billionen Nullen schreiben würden.
Der Paragraph 9 der Nizzeschen Übersetzung (Heiberg 268 f.) zeigt dass Archimedes keineswegs wie Nesselmann meint, nur neue Zahlworte geschaffen hat, sondern tatsächlich das Positionssystem gefunden und ebenso zeigt § 10 wie dicht er an Potenz und Logarithmenrechnung gestreift hat. Er führt darin den Begriff des Abstands ein, und nur dadurch, dass er der Einer-Ziffer den Exponent 1 statt 0 gibt, wird seine Regel 10n+1 . 10m+1 = 10n+m+1 von unsern Fundamentalsatz 10a . 10b = 10a+b abweichend.
Die gefundene Zahl 1051 ist die 3. Stelle der 7. Oktade, steht also ziemlich am Anfang der ersten Periode, welche 100 Millionen Oktaden weniger einer enthält, aber selbst wenn er statt der Weltkugel die Fixsternkugel wie er sie dem Aristarch zuschreibt, annimmt, deren Durchmesser kleiner ist als 104 Weltdurchmesser, so wird die Sandzahl kleiner als 1063 d. h. als die 8. Stelle der 8. Oktade.