In einem seiner späteren Briefe klagt Leibniz, in seiner Jugendzeit habe in Deutschland noch die Scholastik geherrscht, während anderwärts bereits überall die neue Wissenschaft sich verbreitet hatte. Gleichwohl würde es irrig sein, wollte man daraus schließen, Leibniz stimme dem absprechenden Urteil zu, das zuerst die Humanisten und dann die Vertreter der neuen Naturwissenschaft gefällt hatten. Dem würde schon die unbegrenzte Hochachtung widersprechen, mit der er überall des Aristoteles gedenkt, der doch allezeit der Vater der Scholastik gewesen ist. Aber auch gegen die eigentliche Scholastik verhält er sich durchaus nicht ablehnend. Vielmehr kommt jene Neigung, die er selbst sich zuschreibt, lieber zuzustimmen als zu widersprechen, auch ihr gegenüber zur Geltung, und den Spuren seiner scholastischen Jugendbildung begegnet man überall in seinen späteren Schriften. Von Kindheit auf waren ihm Aristoteles und die Scholastik vertraut, bereits zu einer Zeit, als ihm nach seinem eigenen Bekenntnis die neuere Naturwissenschaft und Philosophie noch fremd geblieben. Mochte er auch, wie er später erzählt, als er auf der Universität mit der damals auf der Höhe ihres Ansehens stehenden Cartesianischen Philosophie bekannt wurde, eine Zeitlang schwanken, ob er den »substantiellen Formen« der Scholastiker oder den mechanischen Prinzipien Descartes' den Vorzug geben solle, bereits seine akademische Erstlingsschrift bewegt sich ganz in den Gedankenkreisen der Scholastik. Behandelt sie doch die damals hauptsächlich den Zankapfel zwischen den sogenannten Realisten und Nominalisten bildende echt scholastische Streitfrage, ob die individuellen Unterschiede der Dinge von der Form oder von der Materie herrührten. Diese scholastische Jugendbildung hat sein Leben lang in ihm nachgewirkt. Doch die Scholastik ist keine einheitliche Philosophie. Wir sind heute allzu sehr geneigt, den Eindruck, den besonders in den späteren Jahrhunderten der formalistische Betrieb der scholastischen Logik, die Herrschaft eines blinden Autoritätsglaubens und die Neigung zu leeren Begriffs- und Wortstreitigkeiten erwecken, auf die Wissenschaft dieses ganzen Zeitalters zu übertragen. Vor allem aber steht unser heutiges Urteil unter dem Einfluß der vernichtenden, natürlich einseitig orientierten Polemik der Humanisten und der bahnbrechenden Philosophen der Neuzeit, die, ähnlich wie dies dereinst Plato mit der Sophistik getan hatte, nach den abschreckenden Beispielen scholastischer Wort- und Begriffsklauberei eigentlich erst jenes typische Bild der Scholastik geschaffen haben, das heute noch das geläufige ist. Doch so treffend die Satire sein mag, in der schon die Erfurter Humanisten in den »Briefen der Dunkelmänner« gegen die Kölner und Leipziger Magister zu Felde zogen, diese Satire trifft eigentlich nur den vulgären Schulbetrieb einiger Hochschulen, während die Verfasser jener satirischen Briefe selbst und ihre Gesinnungsgenossen in wissenschaftlicher Beziehung noch ebenso wie die Reformatoren dem Gedankenkreis der Scholastik angehören. So hat denn noch über ein Jahrhundert später Leibniz Jena, Marburg und Helmstädt als die drei fortgeschrittensten Universitäten gerühmt, und er bekennt dankbar, daß ihm erst während des kurzen Semesters seiner Studienzeit in Jena durch Erhard Weigel ein neues Licht aufgegangen sei. Das will aber nicht bedeuten, daß auf jenen drei Universitäten die Scholastik nicht geherrscht hätte, oder daß Erhard Weigel ein Vertreter der modernen Philosophie gewesen wäre. Vielmehr ging das Bestreben gerade dieses Mannes vornehmlich dahin, die Scholastik mit der neuen Wissenschaft zu versöhnen, und wenn in irgend einer Richtung er auf Leibniz gewirkt hat, so ist es in der Tendenz gewesen, die durch die Scholastik geschaffenen Denkmittel, so weit er ihnen einen bleibenden Wert zuerkannte, für diese neue Wissenschaft fruchtbar zu machen.
Außerdem aber gab es in der Scholastik selbst eine Richtung, die der herrschenden, streng an Aristoteles sich anschließenden fremd gegenüberstand, und in der ältere gnostische und neuplatonische Strömungen nachwirkten. Gerade ihr stand auch jener Erhard Weigel, der sich sein Leben lang mancherlei pythagoreisierenden Spekulationen und andern phantastischen Plänen hingab, nicht allzu fern. Weit mehr als in den Gegensätzen der Realisten und Nominalisten, die sich in ihrem wissenschaftlichen Lehrbetrieb meist wenig unterschieden, sind es diese mehr von einzelnen Persönlichkeiten ausgehenden mystischen Richtungen, die der Scholastik niemals fehlten und die besonders auch in den gelehrten Mönchsorden des 13. Jahrhunderts bedeutende Vertreter fanden, die sichtlich auf Leibniz in seiner Jugendzeit gewirkt haben. Zu ihnen gehören Meister Eckhard, der deutsche Dominikaner, zu ihnen Roger Bacon, der irische Franziskaner. Beide sind die hervorragendsten Repräsentanten zweier im ganzen heterogener Strömungen, die in dem Zeitalter der klassischen Scholastik nebeneinander hergehen. In der Predigt des Meister Eckhard überwiegt die von dem Gedanken der unmittelbaren Selbstoffenbarung der Gottheit getragene rein religiöse Mystik; in Roger Bacon verbindet sich dieser mystische Zug mit dem in dem intellektuellen Universalismus der klassischen Scholastik wurzelnden Streben nach einer vornehmlich von der wunderbaren Macht der Mathematik erhofften Welterkenntnis. In der zweiten dieser Richtungen beginnt sich daher zugleich der Geist der künftigen neuen Naturwissenschaft und ihres mächtigen Werkzeuges, einer über die Grenzen der bisherigen Rechenkunst hinausführenden höheren Mathematik, zu regen. Es ist eine eigenartige, seitdem nie wieder ganz erloschene Abzweigung der Mystik, die uns hier begegnet. Ein Hauptvertreter dieser teils mit dem Aberglauben der Zeit, teils mit dem allmählich sich regenden Gedanken einer neuen Naturerkenntnis sich berührenden Richtung ist ein zweiter Zeitgenosse des Meister Eckhard, der Spanier Raimundus Lullus, der vielleicht gerade deshalb, weil in ihm phantastische Mystik und mathematische Spekulation besonders innig verwebt sind, am längsten nachgewirkt hat. Noch Jahrhunderte nach ihm galt die »Lullische Kunst« – so nach dem Titel »Ars magna« seines Werkes genannt – ähnlich der Alchemie als eine Art wissenschaftlicher Zauberei. Wie die Alchemie zum Experiment, so verhielt sich diese mystische Zahlenkunst zur wissenschaftlichen Mathematik. Der überraschende Eindruck, den das unerwartete Ergebnis einer Rechenoperation auf den Rechnenden selbst hervorbringen kann, macht es wohl begreiflich, daß dem mathematischen Denken dieser Zug zur Mystik eigen geblieben ist, und daß sich vollends in jenen Tagen, in denen der uralte Zahlzauber im Volksglauben noch eine größere Rolle spielte als heute, die Wissenschaft gelegentlich auch auf diesem Gebiet sich zur Magie steigerte. Schon der Astrologie hatte ja die mathematische Beihilfe, deren sie bedurfte, zum Teil ihr Übergewicht über die anderen sogenannten Geheimwissenschaften verschafft. So lag die Übertragung dieser Mystik der Zahlen auf die mathematischen Operationen selbst, wie sie den spezifischen Charakter der Lullischen Kunst und verwandter Bestrebungen ausmachte, nahe genug, während zudem der in der Scholastik herrschende logische Formalismus dieser Tendenz zu Hilfe kam.
a. Leibniz als Mathematiker.
In der Tat ist es durchaus diese Richtung der mathematischen Mystik, die uns in der Schrift entgegentritt, mit der Leibniz die Reihe seiner mathematischen Arbeiten eröffnete, in der »Dissertatio de arte combinatoria«. Nach dem Titel ist man geneigt, in ihr eine Kombinationslehre im heutigen Sinne zu vermuten, und teilweise ist dies auch zutreffend. Aber ihr eigentlicher Zweck ist ein höherer. Er ist im wesentlichen der gleiche, den dereinst Raimund Lull mit seiner »Ars magna« verfolgt hatte; und nicht nur der Zweck, sondern auch die Mittel, ihn zu erreichen, sind im ganzen die nämlichen. Auch Raimund Lulls Werk war eine Art Kombinatorik gewesen. In der Verbindung einfacher zu komplexen Begriffen sah er eine »Ars inveniendi«, eine Erfindungskunst, die der theoretischen Erkenntnis wie ihrer praktischen Anwendung dienen und alle Wissenschaften zu einer großen Einheit verbinden sollte. Genau so schildert Leibniz später im Rückblick auf seine eigene Entwicklung die Gedanken, die ihm bei jener mathematischen Erstlingsschrift vorschwebten. Sein Plan sei gewesen, die »zusammengesetzten Begriffe der ganzen Welt in wenige einfache, gleichsam als deren Alphabet, zu zerlegen« und dann durch deren systematische Kombinationen zu verbinden. Dazu sollte außerdem ein zweckmäßiges Zeichensystem für die Charakteristik der Begriffe dienen. Danach ist die »Ars combinatoria« ein erster Versuch zur Ausführung jener »Charakteristica universalis«, deren Plan Leibniz sein Leben lang beschäftigt hat. Sie ist aber zugleich eine Erneuerung des Unternehmens von Raimund Lull. Ein wesentlicher Unterschied besteht allerdings zwischen beiden. Mag auch in den Hoffnungen, die Leibniz an seine Charakteristica universalis geknüpft hat, noch ein leiser Hauch mathematischer Mystik zu verspüren sein, von der phantastischen Mystik eines Raimund Lull, der unter anderem in der Kombinatorik ein Mittel sah, die Ungläubigen zum Christentum zu bekehren, ist er vollkommen frei. Er erkennt ihr nur insoweit den Charakter einer »Erfindungskunst« zu, als die Zerlegung und Verbindung der Begriffe der systematischen Ordnung derselben dienen kann. Darum bleibt nun aber auch das Resultat seiner »Ars combinatoria« im wesentlichen ein rein formales; und sie ist später ihrem Urheber selbst höchstens als eine Art Einleitung zu jener von ihm gesuchten »Ars inventiva« erschienen. Um so mehr ist gerade die Kombinatorik ein echtes Erzeugnis des scholastischen Formalismus, wie denn auch ihr Verfasser die Variationen der Urteilsformen in den syllogistischen Figuren als ein Hauptbeispiel gewählt hat. Gleichwohl spiegeln sich in dieser mathematischen Erstlingsschrift des Philosophen bereits die in ihm zur höchsten Ausbildung gelangten Seiten der Scholastik: ihre Universalität und das mit dieser zusammenhängende Streben nach einer streng logischen und zugleich einheitlichen Methode. Auf der einen Seite erblickt er in der Anwendbarkeit der Kombinatorik auf alle möglichen Begriffe eine Eigenschaft, die sie zu einer universellen Methode geeignet macht; auf der andern ist ihm ihr mathematischer Charakter eine Bürgschaft ihrer logischen Exaktheit.
Doch als die Hoffnungen scheiterten, die Leibniz auf die Kombinatorik gesetzt hatte, verzichtete er darum noch keineswegs auf den Plan, zu dessen Verwirklichung sie ihm um ihrer universellen Anwendbarkeit willen zunächst dienen sollte. Aber man gewinnt den Eindruck, daß nun dieser Plan eine andere Gestalt annahm. Hatte die »Ars combinatoria« das ungeheure Problem einer universellen Methode mit einem Mal zu lösen versucht, so sollte nun eine stückweise Bewältigung der einzelnen mathematischen Aufgaben im Sinne einer die verschiedenen Gebiete in engere Beziehung zu einander bringenden Behandlung treten. Sehr bezeichnend tritt uns dieser mutmaßliche Wandel des Planes der »Charakteristica universalis« in einigen die mathematische Behandlung der Logik betreffenden Blättern entgegen, die J. E. Erdmann in der Bibliothek zu Hannover aufgefunden und in seiner Ausgabe der philosophischen Werke veröffentlicht hat. Sie enthalten einen Entwurf, in dem zum ersten Male der Versuch einer Darstellung der Logik in der Form eines dem arithmetischen nachgebildeten Algorithmus gemacht wird. Die Stellung dieser Aufgabe ist sichtlich aus der von Leibniz des öfteren ausgesprochenen Überzeugung entsprungen, die gesamte Mathematik sei eigentlich nichts anderes als eine erweiterte Logik. Er sucht demnach vornehmlich die veränderte Bedeutung festzustellen, welche den arithmetischen Fundamentaloperationen angewiesen werden muß, wenn man sie, statt speziell auf Größenbegriffe, auf irgendwelche logische Begriffe überhaupt anwendet. Ohne von diesem Leibnizschen Unternehmen etwas zu wissen, haben in neuester Zeit namentlich englische und amerikanische Mathematiker dasselbe Problem einer »symbolischen Logik« auf verschiedenen Wegen in Angriff genommen. Aber der Standpunkt der Behandlung ist dabei durchgängig ein diametral entgegengesetzter gewesen. Während Leibniz unmittelbar aus den logischen Denkformen selbst den ihnen eigentümlichen Algorithmus entwickelt, gehen jene neueren Forscher umgekehrt von der Mathematik aus, indem sie unter der Voraussetzung der Allgemeingültigkeit der arithmetischen Operationen einen zur Lösung spezifisch logischer Aufgaben geeigneten mathematischen Kalkül zu entwickeln suchen. Der Unterschied zwischen Leibniz und ihnen besteht also darin, daß diese lediglich den praktischen Zweck einer Gewinnung von mathematischen Methoden zur Lösung mehr oder weniger verwickelter syllogistischer Aufgaben verfolgen, ohne sich um die Frage nach dem Verhältnis der allgemein logischen zu den spezifisch mathematischen Denkoperationen zu kümmern, wogegen Leibniz ausschließlich diese theoretische Frage behandelt, ohne sich auf praktische Anwendungen einzulassen. Gerade dies rein theoretische Interesse an der Frage ist offenbar von der auf die Anregungen seiner scholastischen Jugendbildung zurückgehenden Hochschätzung der formalen Logik getragen, die bei den modernen Bearbeitern des gleichen Themas vielmehr dem Bestreben Platz gemacht hat, die unvollkommenen logischen Hilfsmittel durch vollkommenere mathematische zu ersetzen. Diese Wendung des Problems würde Leibniz wahrscheinlich als einen Versuch betrachtet haben, die allgemeinen Gesetze des logischen Denkens nicht zu erleuchten, sondern zu verdunkeln. Dagegen entspricht seine Behandlung durchaus dem aus der Beziehung zwischen Logik und Mathematik sich ergebenden theoretischen Problem, und sie liegt außerdem in der Richtung der von der Scholastik gepflegten Verwendung der aristotelischen Syllogistik in Geometrie und Arithmetik. Diese Verbindung hatte die Scholastik aus dem Altertum übernommen; die Elemente des Euklid blieben aber nicht zum wenigsten deshalb das führende und fast das einzige Lehrgebäude der Mathematik, weil bei ihnen bereits die aristotelische Syllogistik Pate gestanden und wesentlich mitgewirkt hatte, in der Wissenschaft des Abendlandes den Aristoteles jahrhundertelang zur unbestritten obersten Autorität zu erheben. Wie jedoch die »Charakteristica universalis« bei Leibniz von Anfang an ein Ideal ist, das in der Logik ihr zugleich die Sicherheit der Mathematik verbürgendes Vorbild hat, so legt dies den weiteren Gedanken nahe, den Maßstab der mathematischen Evidenz wiederum an die allgemeinen Operationen des logischen Denkens anzulegen und damit, wie bisher durch die Syllogistik eine Stütze für den mathematischen Beweis, so nun umgekehrt aus den auf eine exakte mathematische Form gebrachten Grundsätzen der logischen Denkoperationen ein Mittel für die Nachweisung wissenschaftlicher Wahrheiten überhaupt zu gewinnen. Der Versuch einer solchen in das Gewand einer mathematischen Symbolik gekleideten Logik erscheint so als eine Verallgemeinerung jener oben erwähnten Behauptung, Jurisprudenz und Mathematik seien einander verwandte Wissenschaften.
Noch bewegten sich jedoch diese Pläne einer die Logik mit der Mathematik zu einem einheitlichen Ganzen zusammenfassenden Universalwissenschaft im wesentlichen auf dem Boden der Elementarmathematik und der überlieferten Logik. Neue und zugleich fruchtbarere Ausblicke in dieser Richtung eröffneten sich, als Leibniz, wie er selbst bekennt, zum erstenmal in Paris in den Geist der höheren Mathematik eindrang. Wenn er Descartes' Geometrie und Pascals Briefe über die Zykloide als die beiden Werke bezeichnet, deren Studium er die ersten Anregungen verdankt habe, so geschah dies hier freilich fast mehr in negativem als in positivem Sinne. Die Lektüre jener Werke regte ihn an, die Lösung der in ihnen behandelten Probleme auf einer neuen Grundlage zu versuchen. Dabei zeigt sich aber auch gerade in diesem Fall, daß er selbst jenen Problemen keineswegs mit leeren Händen entgegenkommt, sondern daß diejenigen Ideen, die deren ganze Behandlung auf eine neue Basis stellen sollten, tief in seiner scholastischen Jugendbildung wurzeln. Doch während seine bisherigen Bemühungen auf die Herstellung einer engeren Beziehung zwischen Mathematik und Logik gerichtet sind, veranlassen ihn die schwierigeren Probleme der höheren Mathematik, tiefer in den Vorrat überlieferter philosophischer Begriffe zurückzugreifen. Die Logik genügt dazu nicht mehr, die Mathematik muß zu Hilfe gerufen werden. Da sind es zwei Lücken, die ihm bei dem Studium der neueren mathematischen Arbeiten begegnen: die eine läßt ihn Descartes' analytische Geometrie als unzulänglich erkennen; die andere zeigt sich bei dem in jenen Tagen viel verhandelten Problem der Quadratur des Kreises, bei dem man immer noch im wesentlichen auf die alte Archimedische Exhaustionsmethode zurückging. Um diesen Mängeln abzuhelfen, dazu genügten die Hilfsmittel der in fest begrenzte Begriffsverhältnisse eingeschlossenen Logik nicht mehr. Wohl aber fand sich in dem Arsenal der aristotelisch-scholastischen Metaphysik ein bedeutsamer Begriff, den zwar die Mathematik gelegentlich gestreift, von dem sie aber nirgends eine folgerichtige Anwendung gemacht hatte. Das war der Begriff des Unendlichen. Fast könnte man sagen: es war eine Art Horror vacui, der bis dahin die Mathematik wie die Logik von der Verwendung des Unendlichkeitsbegriffs ferngehalten hatte. Eine um so wichtigere Rolle hatte er in der Metaphysik gespielt. Ausgehend von der Voraussetzung einer Unendlichkeit der Zeit, die Aristoteles für das »Automaton«, jenen ersten Beweger, der für ihn einerseits mit der Gottesidee, anderseits mit dem Begriff einer unaufhörlich wirksamen Ursache des kosmischen Geschehens zusammenfiel, angenommen hatte, war die scholastische Theologie in ihrem Streben, die Gottesidee über alle denkbaren Grenzen zu erhöhen, zu dem Begriff einer absoluten Unendlichkeit fortgeschritten, der eben darum nicht mehr positiv bestimmt, sondern nur durch die Negation aller endlichen Eigenschaften definiert werden konnte. So entstand aus der ursprünglich der empirischen Wirklichkeit angehörenden aristotelischen Substanz (ousia), die in dem Einzelding ihre unmittelbare Grundlage hatte, der Begriff einer absoluten unendlichen Substanz, der bis tief in die neuere Philosophie hinein fortgewirkt hat. Da dieser Begriff des Unendlichen von uns zwar als ein notwendiger erkannt wird, an sich aber die Fähigkeiten unserer begrenzten Erkenntnis überschreitet, so nennt ihn die Scholastik einen transzendenten. Dieses von ihr geschaffene Wort hat zuerst Leibniz von der Metaphysik in die Mathematik hinübergetragen, und die Anregung dazu gab ihm das Studium von Descartes' Geometrie. Descartes hatte in seinem Werk nur diejenigen geometrischen Gebilde analytisch behandelt, deren Gleichungen bloß einer begrenzten Zahl arithmetischer Operationen zu ihrer Lösung bedürfen. Kurven, bei denen diese algebraischen Hilfsmittel nicht zureichen, nannte er »mechanische Kurven«, insofern man sie sich gleichwohl durch eine nach irgendeinem Gesetz erfolgende Bewegung erzeugt denken kann. Sein Werk war also nicht eine analytische Geometrie im heutigen Sinne des Wortes, obgleich man es meist so zu bezeichnen pflegt, sondern eine algebraische Geometrie oder, wie man es vielleicht treffender nennen könnte, eine Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer geometrischen Anwendungen. Dazu muß freilich bemerkt werden, daß der mathematische Begriff der Funktion, der unter diesem Namen erst später durch Johann Bernoulli eingeführt wurde, zu Descartes' Zeit noch nicht oder doch nur latent existierte. Hier erkannte nun Leibniz sofort in dieser Beschränkung einen Mangel, dem er durch die Forderung einer analytischen Behandlung auch dieser, die Hilfsmittel der gewöhnlichen mathematischen Elementaroperationen überschreitenden Funktionen zu begegnen suchte. Um diese neue, eine einheitliche Betrachtung aller analytischen Funktionen vermittelnde Aufgabe auch äußerlich zu kennzeichnen, greift er aber in den Begriffsschatz der scholastischen Metaphysik, indem er die »mechanischen Kurven« Descartes', eben weil sie die Grenzen der bisherigen Arithmetik überschreiten, als transzendente bezeichnet. Dabei ist freilich ein wichtiger Bedeutungswandel dieses Begriffes eingetreten. Transzendent in dem metaphysischen Sinne der Scholastik ist das unendliche, darum dem endlichen Erkennen unzugängliche Sein; transzendent im mathematischen Sinne ist seit Leibniz eine Aufgabe, deren Lösung neue, über die Hilfsmittel der gewöhnlichen Arithmetik hinausreichende mathematische Operationen fordert. Dort entzieht sich das transzendente Objekt endgültig unserer Erkenntnis, hier weist der Ausdruck umgekehrt auf neue Hilfsmittel hin, die das bisher Unerkennbare erkennbar machen. Im Hintergrund steht in beiden Fällen der Begriff des Unendlichen. Damit ist die Einführung des neuen Begriffs der transzendenten Funktion zugleich gebunden an die neue Rechnungsmethode, die man wohl auch eine ins Unendliche fortgeführte Arithmetik nennen kann, an die Differentialrechnung, oder, wie Leibniz selbst sie im Hinblick auf die Hilfe, die ihm dabei der Unendlichkeitsbegriff geleistet, genannt hat, an die Infinitesimalrechnung.
Hier greift aber in diese von der Beschäftigung mit der Geometrie ausgehende Erweiterung des Funktionsbegriffs außerdem jenes andere Problem ein, um das sich zu dieser Zeit wiederholt die Mathematiker bemühten: die Quadratur des Kreises. Bis dahin ging man von dem uralten Prinzip der praktischen Feldmessung aus, eine krummlinig begrenzte ebene Fläche durch parallele Ordinaten in kleine Quadrate zerlegt zu denken, deren Summe dann das der betreffenden Fläche entsprechende Quadrat ergab. Je kleiner man sich diese Quadrate denkt, um so näher kommt natürlich das Resultat der Wirklichkeit. Doch eine bestimmte Grenze gibt dieses metrische Prinzip nicht an die Hand, und die Methode bleibt daher unbefriedigend. Leibniz suchte nun nach einem andern Verfahren, das ein solches absolutes Minimum ergebe. Er hoffte es zu finden, indem er, statt von dem relativen Unterschied des Großen und Kleinen, von dem absoluten Gegensatz des unendlich Großen und des unendlich Kleinen ausging. Dazu mußte vor allem als Maßelement ein solches gewählt werden, das seinem allgemeinen Begriff nach der Forderung der Einfachheit entsprach. Die in diesem Sinne einfachste Figur in der Ebene ist aber das Dreieck als die von der kleinsten Zahl von Geraden umschlossene Ebene. Leibniz, ohnehin überall geneigt, bei der Behandlung bestimmter Aufgaben neue Wege einzuschlagen, versuchte daher, durch die Zerlegung in Dreiecke statt in Quadrate dieses Ziel zu erreichen. So gelangte er zu der berühmten unendlichen Reihe 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 … für den Flächeninhalt des Kreises vom Durchmesser 1. Indem zur Konstruktion der Dreiecke, die bei dieser »Arithmetisierung des Kreises«, wie er sein Verfahren nannte, die auf die Punkte des Kreisumfangs gelegten Tangenten und Sekanten benutzt wurden, führte aber diese Methode, auf Kurven von beliebiger Gestalt übertragen, unmittelbar zu dem Gedanken, das Dreieck zur Lösung der allgemeineren Aufgabe einer solchen Arithmetisierung des Verlaufs einer Kurve zu verwenden. Er dachte sich also ein zu diesem Zweck rechtwinkliges Dreieck aus den zu den zwei einander nächsten Punkten der Kurve gehörigen Koordinaten als Katheten und der für diesen Fall mit der Kurve selbst zusammenfallenden Tangente als Hypothenuse gebildet. Dieses Dreieck nannte er das »Triangulum charakteristicum«. Gewiß ist es kein Zufall, daß der Name an die Charakteristica universalis erinnert. Eine universelle, den Umkreis der überlieferten arithmetischen Operationen überschreitende Arithmetik hat Leibniz zu jeder Zeit unter ihr verstanden. Die Differentialrechnung ist aber tatsächlich eine solche: sie ist es mehr als alle vorangegangenen Bemühungen in ähnlicher Richtung, die zumeist erst durch sie ihre Erledigung fanden. Von der Differentialrechnung kann man darum wohl sagen: mit ihrer Erfindung hat er im wesentlichen erreicht, was er in seiner Charakteristica universalis erstrebt hatte. Wenn er das selbst nicht direkt anerkannt hat, so mag dies wohl darin seinen Grund haben, daß er nirgends eingestehen wollte, ein Problem könne jemals abgeschlossen sein, besonders aber darin, daß zur Anerkennung der Universalität der Methode ein notwendiges Desiderat fehlte: die Anwendung auf andere Wissenschaften, die er im Hinblick auf den von ihm behaupteten Zusammenhang alles Wissens forderte.
Die Umwandlung, die der Unendlichkeitsbegriff auf seinem Wege von der aristotelischen Scholastik zu Leibniz und von diesem zur neueren Mathematik erfahren hat, ist übrigens zugleich eines der bedeutsamsten Stücke moderner Begriffsgeschichte. Der Scholastik galt, wie noch jetzt dem populären Bewußtsein, in welchem die scholastische Theologie heute noch nachwirkt, das Unendliche als oberster Grenzbegriff alles Denkbaren. Aber latent war darin vermöge des die Wissenschaft seit Aristoteles beherrschenden Prinzips der Antithetik, nach welchem jeder selbständige Begriff seinen Gegensatzbegriff fordert, auch der unterste Grenzbegriff des unendlich Kleinen bereits vorausgesetzt. Wir werden auf dieses Prinzip unten bei dem direkt auf ihm aufgebauten Begriffssystem der scholastischen wie der Leibnizschen Naturlehre zurückkommen. Dabei besteht nun die Selbständigkeit der Begriffe wesentlich darin, daß jeder unvermischt mit andern gedacht werde, weil er dann erst in seinem reinen Gegensatz zu dem ihn antithetisch ergänzenden erscheint. Darum sind solche Begriffe absolute Gegensätze, nicht bloß relative, und jedes Glied des Gegensatzes ist selbst ein absoluter Begriff. Dies gilt für das Unendliche in seinen beiden Formen, für das unendlich Große wie für das unendlich Kleine. So ist denn auch das »Triangulum charakteristicum« in den ersten Begründungen, die Leibniz der Differentialrechnung gab, das absolut, nicht das relativ kleinste Dreieck, das man zur Ausmessung einer Kurve verwendet. Daß es außerhalb dem absolut Kleinsten noch ein kleineres gebe, ist ihm hier eine widersprechende Annahme. Das charakteristische Dreieck ist also nicht eines neben andern, sondern ein einziges. Es ist, wie das Unendliche überhaupt, niemals in der Anschauung gegeben, wohl aber begrifflich das denkbar kleinste Dreieck an dem betreffenden Punkt der Kurve. Hier ist die Fluxionsmethode Newtons der Leibnizschen Infinitesimalmethode von vornherein überlegen. Indem jene nicht an das geometrische Bild der Funktion, sondern an das andere einer im gleichförmigen Flusse der Zeit veränderlichen Geschwindigkeit anknüpft, liegt ihr zwar in der gleichförmig fließenden Zeit eine metaphysische Voraussetzung zugrunde, die nämliche, deren sich Newton auch in seiner Naturphilosophie bedient hat; aber das Bild der Bewegung eines räumlichen Punktes führt doch ohne weiteres zu dem der Geschwindigkeitsänderung hinüber. Dagegen bietet der Leibnizsche geometrisch fundierte Differentialbegriff in dem aus dem Verhältnis der Koordinatenabschnitte des charakteristischen Dreiecks gebildeten Differentialquotienten von vornherein einen für die Gewinnung eines konsequent durchgeführten Algorithmus weit geeigneteren Ausgangspunkt. Dabei erwies sich gerade dieser Begriff eines absoluten, unveränderlich gedachten Minimums deshalb hilfreich, weil sich von ihm aus um so zwingender mittels der so eingeführten Symbolik ein Fortschritt zu weiteren, entsprechend gebildeten Differentialfunktionen ergab. Hierzu mußte dann freilich die absolute Bedeutung des unendlich Kleinen beseitigt, und durch die Feststellung einer allzeit nur relativen ersetzt werden. Das ergab sich aber mit Notwendigkeit aus der weiteren Aufgabe, einen entsprechenden Ausdruck für die Richtungsänderung einer Kurve zu finden. Und da konnte es nicht zweifelhaft sein, daß ein solcher Ausdruck aus einer Wiederholung desselben Verfahrens bestehen mußte, das zu dem ersten Differentialquotienten als dem arithmetischen Ausdruck der Richtung geführt hatte. Sobald Leibniz die Richtungsänderung der Funktion als die reale Bedeutung des zweiten Differentialquotienten erkannte, konnte er sich aber auch der Möglichkeit einer unbegrenzten weiteren Fortsetzung der gleichen Operation nicht mehr entziehen. So verwandelte sich der Begriff des absoluten in den des relativen Minimums, das übrigens immerhin seinen Zusammenhang mit jenem absoluten Grenzbegriff darin bewahrte, daß die Grenze, bis zu welcher in der Bildung der Differentialfunktion zu gehen ist, durch die Natur des Problems jedesmal fest bestimmt wird, was im Erfolg der Feststellung eines absoluten Minimums gleichkommt. Damit hat Leibniz selbst schon den Übergang zur sogenannten Grenzmethode vollzogen, der später Maclaurin und d'Alembert nur eine anschaulichere Form gaben, und die noch heute, soweit man sich überhaupt auf eine Begründung der Differentialrechnung einläßt, als die bevorzugte gelten kann.
Für Leibniz aber wurde die Erkenntnis der realen Bedeutung des zweiten Differentialquotienten ein epochemachendes Ereignis, ja sie ist in ihren Folgen vielleicht das epochemachendste gewesen, das er überhaupt in seinem Denken erlebt hat. Der Übergang vom absoluten zum relativen Unendlichkeitsbegriff bezeichnet für ihn eine Katastrophe, die durchaus nicht auf die Mathematik beschränkt bleibt, sondern sich von hier aus auf alle Gebiete der Wissenschaft und nicht zum wenigsten auf seine philosophische Weltanschauung erstreckt. Als das oberste Prinzip alles Wirklichen gilt ihm von da an die »Lex continuitatis«, das Gesetz der Stetigkeit, das, folgerichtig zu Ende gedacht, alle absoluten Gegensätze in relative umwandelt, indem es die Starrheit der alten Substanzbegriffe durch den Fluß aller tätigen Kräfte der Welt ersetzt. Dies ist der Punkt, bei dem zugleich die Entwicklung der Naturphilosophie an diesen Wandel der mathematischen Begriffe sich anschließt.