Fig. 356.
Es sei AB der Weg, welchen der Körper vermöge seiner Geschwindigkeit in einem kleinen Zeitteilchen durchlaufen würde, und AD der Weg, welchen er infolge der von C aus wirkenden Kraft (Zentripetalkraft) in demselben Zeitteilchen zurücklegen würde, so durchläuft er die Diagonale AA′ des Parallelogramms ABA′D. Nach dem Trägheitsgesetz sucht er seinen jetzigen Bewegungszustand beizubehalten und würde im nächsten Zeitteilchen den Weg A′B′ (= AA′) zurücklegen; zugleich wirkt aber die Zentralkraft und würde den Körper von A′ nach D′ bringen; der Körper bewegt sich wieder längs der Diagonale A′A′′ und kommt nach A′′. Im nächsten Zeitteilchen würde er ebenso von A′′ nach B′′ kommen; aber wegen der Zentralkraft kommt er nach A′′′ und so geht es fort. Der Körper legt also den Weg AA′A′′A′′′, etc. zurück. Wenn wir die Zeitteilchen, während welcher wir die Bewegung immer als gleichmäßige betrachten, sehr klein (unendlich klein) denken, so beschreibt der Körper nicht eine gebrochene Linie, sondern eine krumme Linie um das Zentrum; er macht eine Zentralbewegung.
272. Kreisbewegung.
Wir können nur diejenige Art von Zentralbewegung elementar behandeln, bei welcher der Körper um das Kraftzentrum einen Kreis (von Radius r) mit gleichförmiger Geschwindigkeit (v) durchläuft; denn dabei können wir ableiten, wie groß die Zentralkraft F und die von ihr in der Richtung auf das Zentrum hin hervorgebrachte Beschleunigung f, Zentralbeschleunigung, sein muß, damit der Körper auf der Kreisbahn bleibe.
Fig. 357.
In irgend einem Punkte A ist die Richtung der Geschwindigkeit gleich der Richtung der Tangente; der Körper würde also in einer Zeit t den Weg AB = v t durchlaufen. In derselben Zeit würde er infolge der Zentralkraft, welche ihm eine Beschleunigung f erteilt, einen Weg AD = 1⁄2 f t2 durchlaufen. Soll nun der Körper durch das Zusammenwirken beider Ursachen auf dem Kreise bleiben, so muß die Diagonale beider Bewegungselemente, nämlich AA′ selbst wieder zu einem Punkte des Kreises führen. A liegt aber auf dem Kreis, wenn AA′2 = 2 r · AD. Da nun AA′ für kleine Bewegungen (kleinste Werte von t) mit AB = v t vertauscht werden kann, und AD = 1⁄2 f t2 ist, so erhält man die Gleichung
v2 t2 = 2 r · 1⁄2 f t2, oder
f = v2 r.