[480] Liber Abacci, published in Olleris, Œuvres de Gerbert, pp. 357-400.
[481] G. R. Kaye, "The Use of the Abacus in Ancient India," Journal and Proceedings of the Asiatic Society of Bengal, 1908, pp. 293-297.
[482] Liber Abbaci, by Leonardo Pisano, loc. cit., p. 1.
[483] Friedlein, "Die Entwickelung des Rechnens mit Columnen," Zeitschrift für Mathematik und Physik, Vol. X, p. 247.
[484] The divisor 6 or 16 being increased by the difference 4, to 10 or 20 respectively.
[485] E.g. Cantor, Vol. I, p. 882.
[486] Friedlein, loc. cit.; Friedlein, "Gerbert's Regeln der Division" and "Das Rechnen mit Columnen vor dem 10. Jahrhundert," Zeitschrift für Mathematik und Physik, Vol. IX; Bubnov, loc. cit., pp. 197-245; M. Chasles, "Histoire de l'arithmétique. Recherches des traces du système de l'abacus, après que cette méthode a pris le nom d'Algorisme.—Preuves qu'à toutes les époques, jusq'au XVIe siècle, on a su que l'arithmétique vulgaire avait pour origine cette méthode ancienne," Comptes rendus, Vol. XVII, pp. 143-154, also "Règles de l'abacus," Comptes rendus, Vol. XVI, pp. 218-246, and "Analyse et explication du traité de Gerbert," Comptes rendus, Vol. XVI, pp. 281-299.
[487] Bubnov, loc. cit., pp. 203-204, "Abbonis abacus."
[488] "Regulae de numerorum abaci rationibus," in Bubnov, loc. cit., pp. 205-225.
[489] P. Treutlein, "Intorno ad alcuni scritti inediti relativi al calcolo dell' abaco," Bulletino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche, Vol. X, pp. 589-647.