Ainsi, quand la déclinaison du soleil est australe, le jour dure moins que la nuit sur l'hémisphère boréal, et d'autant moins que cette déclinaison australe est plus grande.

Or ces conclusions sont identiquement celles que nous avons déduites de la considération du mouvement annuel apparent du soleil.

Il reste maintenant à montrer comment le mouvement de translation de la terre, dans son orbite elliptique dont le soleil occupe constamment un des foyers, fait varier la déclinaison du soleil.

Pour cela, il est bon de remarquer: 1º (fig. 84) que l'angle PTS de la ligne ST avec le segment TP de la ligne des pôles, qui va au pôle boréal, est aigu quand la déclinaison, sE, du soleil est boréale; et réciproquement; que, de plus, la déclinaison, sE, est alors le complément de l'angle PTS; 2º (fig. 83) que si la déclinaison est nulle, PTS = 90°. et enfin (fig. 85) que la déclinaison Es, étant australe, l'angle PTS est obtus, et réciproquement; la déclinaison, Es, étant alors égale à PTS--90°.

Étudier les variations de la D revient donc à étudier celles de l'angle PTS.

Soit T1T2T3T4 (fig. 87) l'orbite de la terre dont le soleil S occupe un foyer; elle est tracée dans le plan de l'écliptique céleste, Soit SN l'axe de l'écliptique, et SO la direction fixe à laquelle l'axe PP' de la terre, mobile avec celle-ci, doit rester sensiblement parallèle durant tout le mouvement annuel de la terre (l'angle NSO = 23° 28') [150]; soient T2T4 l'intersection du plan NSO avec celui de l'écliptique auquel il est perpendiculaire, et T1T3 une perpendiculaire à T2T4, menée sur l'écliptique; T1T3 est perpendiculaire au plan NSO, et par suite aux deux lignes fixes SN et SO. Supposons que la terre, T, se meuve sur l'ellipse dans le sens T1T2T3T4 à partir de T1. Dans la 1re position T1 l'angle OST1 étant droit, son supplément PT1S l'est aussi; le soleil est dans un plan perpendiculaire à l'axe PP', c'est-à-dire dans le plan de l'équateur; alors D = 0, et le jour égale la nuit pour toute la terre; c'est l'époque d'un équinoxe, celui du printemps, comme nous allons le voir. En effet, la terre continuant à se mouvoir sur l'arc d'ellipse T1T2, le rayon vecteur ST se meut sur le quadrant T1TT2; or la géométrie montre qu'alors, partant de la valeur OST1 = 90° pour aller à la valeur OST2 = 90° + NSO = 90° + 23°28', l'angle OST, toujours obtus, augmente continuellement [151]; il en résulte que son supplément PTS, toujours aigu, diminue continuellement de PT1S = 90 à PTS2 = 90° — (23° 28') = 66° 32'. Il en résulte que la déclinaison sE = 90° — PTS (fig. 84), constamment boréale, va en augmentant de 0 à 23° 28', maximum qu'elle atteint quand la terre arrive en T2.

Note 150:[ (retour) ] La direction de l'axe de rotation de la terre n'est pas constante; mais le changement de direction que nous avons indiqué nº 231 est si lent, que nous pouvons, sans inconvénient sensible quand nous suivons la terre dans une de ses révolutions autour du soleil, considérer la direction de cet axe comme ne variant pas durant cette révolution.

Note 151:[ (retour) ]

Soit SO (fig. 86) une ligne oblique au plan MN, ayant pour projection sur ce plan, ST4; menons, dans le plan, T1T3 perpendiculaire à T2T4. Comme le plan projetant OST4 est perpendiculaire au plan MN, T1T3 est perpendiculaire au plan OST4 et par suite à SO; OST1 est droit ainsi que OST3. Nous voulons comparer entre eux les angles que fait SO avec les lignes qui passent par son pied dans le plan MN. Le plus petit de ces angles est par hypothèse OST4; supposons-le égal à 90° — 23° 28' = 66° 32'. Considérons les diverses lignes ST qui s'éloignent de ST4 dans l'angle droit T4ST1; du point O abaissons OD perpendiculaire à MN, et du point D une perpendiculaire DI à chacune de ces lignes ST. Si on mène OI, chaque ligne OI sera perpendiculaire à ST. Cela posé, à mesure que la ligne ST s'éloignera de ST4 vers ST, dans l'angle T4TT1, l'angle DSI du triangle rectangle DSI, à hypothénuse fixe SD, augmentant, son complément SDI diminue; d'où il résulte que le côté SI diminue continuellement de SD à O. En même temps dans chaque triangle OIS, à hypoténuse constante OS, rectangle en I, le côté SI diminuant, le côté OI augmente et avec lui l'angle aigu opposé OSI ou OST; donc de la position ST4 à ST1 (ou à ST3, ce qui revient au même) ces angles OST augmentent de 66° 32' à 90°; et vice versa, de ST1 à ST4 ou de ST3 à ST4, ces angles OST diminuent de 90° à 66° 32'. Par suite, les angles OST pour les lignes situées dans l'angle T2ST3 ou T1ST2 étant les suppléments de ceux que nous venons de considérer, on peut dire que de la position ST1 à la position ST2 les angles OST, toujours obtus, augmentent de 90° à 90° + 23° 28'; de la position ST2 à la position ST3, ces angles toujours obtus diminuent de 90° + 23° 28' à 90°.

Durant le mouvement de la terre sur l'arc T1TT2 le soleil doit donc nous paraître s'élever de plus en plus au-dessus de l'équateur du côté du pôle boréal [152], jusqu'à ce que sa D, toujours boréale, atteigne un maximum de 23° 28'. La saison qui s'écoule alors est donc le printemps; durant cette saison, le jour, constamment plus long que la nuit pour les habitants de l'hémisphère boréal, doit augmenter continuellement avec la D du soleil jusqu'à un maximum qu'il atteint alors que la terre arrive en T2. Cette dernière position de la terre est donc celle qui correspond au solstice d'été. La terre continuant à se mouvoir sur l'arc T23, le rayon vecteur se mouvant dans le quadrant T2ST3, l'angle OST, toujours obtus, diminue depuis la valeur OST2 = 90° + 23° 28' jusqu'à OST3 = 90°; son supplément PTS, toujours aigu, augmente depuis son minimum 90° — 23° 28' = 66° 32' jusqu'à 90°. La déclinaison sE (fig. 84) du soleil, toujours boréale, diminue depuis 23° 28' jusqu'à 0°, valeur qu'elle atteint quand la terre arrive on T3, où l'angle PT3S = 90°.