Sommaire. Considérations générales sur le calcul des fonctions directes.
D'après l'explication générale qui termine la leçon précédente, le calcul des fonctions directes, ou l'algèbre proprement dite, suffit entièrement à la solution des questions mathématiques, quand elles sont assez simples pour qu'on puisse former immédiatement les équations entre les grandeurs mêmes que l'on considère, sans qu'il soit nécessaire d'introduire à leur place ou conjointement avec elles aucun système de quantités auxiliaires dérivées des premières. À la vérité, dans le plus grand nombre des cas importans, son emploi a besoin d'être précédé et préparé par celui du calcul des fonctions indirectes, destiné à faciliter l'établissement des équations. Mais quoique le rôle de l'algèbre ne soit alors que secondaire, elle n'en a pas moins toujours une part nécessaire dans la solution complète de la question, en sorte que le calcul des fonctions directes doit continuer à être, par sa nature, la base fondamentale de toute l'analyse mathématique. Nous devons donc, avant d'aller plus loin, considérer, d'une manière générale, la composition rationnelle de ce calcul, et le degré de développement auquel il est parvenu aujourd'hui.
L'objet définitif de ce calcul étant la résolution proprement dite des équations, c'est-à-dire, la découverte du mode de formation des quantités inconnues par les quantités connues d'après les équations qui existent entre elles; il présente naturellement autant de parties différentes que l'on peut concevoir de classes d'équations vraiment distinctes; et par conséquent, son étendue propre est rigoureusement indéfinie, le nombre des fonctions analytiques susceptibles d'entrer dans les équations, étant par lui-même tout-à-fait illimité, bien qu'elles ne soient composées que d'un très-petit nombre d'élémens primitifs.
La classification rationnelle des équations, doit être évidemment déterminée par la nature des élémens analytiques dont se composent leurs membres; toute autre classification serait essentiellement arbitraire. Sous ce rapport, les analystes divisent d'abord les équations à une ou à plusieurs variables en deux classes principales, selon qu'elles ne contiennent que des fonctions des trois premiers couples (voy. le tableau, 4e. leçon, page 173), ou qu'elles renferment aussi des fonctions, soit exponentielles, soit circulaires. Les dénominations de fonctions algébriques et fonctions transcendantes, données communément à ces deux groupes principaux d'élémens analytiques, sont, sans doute, fort peu convenables. Mais la division universellement établie entre les équations correspondantes, n'en est pas moins très-réelle, en ce sens que la résolution des équations contenant les fonctions dites transcendantes, présente nécessairement plus de difficultés que celles des équations dites algébriques. Aussi l'étude des premières est-elle jusqu'ici excessivement imparfaite, à tel point que souvent la résolution des plus simples d'entre elles, nous est encore inconnue [7]; c'est sur l'élaboration des secondes que portent presqu'exclusivement nos méthodes analytiques.
[Note 7: ][ (retour) ] Quelque simple que puisse paraître, par exemple, l'équation
ax + bx = cx on ne sait point encore la résoudre; ce qui peut donner une idée de l'extrême imperfection de cette partie de l'algèbre.
Ne considérant maintenant que ces équations algébriques, il faut observer d'abord que, quoiqu'elles puissent souvent contenir des fonctions irrationnelles des inconnues aussi bien que des fonctions rationnelles; on peut toujours, par des transformations plus ou moins faciles, faire rentrer le premier cas dans le second; en sorte que c'est de ce dernier que les analystes ont dû s'occuper uniquement, pour résoudre toutes les équations algébriques.
Dans l'enfance de l'algèbre, ces équations avaient été classées d'après le nombre de leurs termes. Mais cette classification était évidemment vicieuse; comme séparant des cas réellement semblables, et en réunissant d'autres qui n'avaient rien de commun qu'un caractère sans aucune importance véritable [8]. Elle n'a été maintenue que pour les équations à deux termes, susceptibles, en effet, d'une résolution commune qui leur est propre.
[Note 8: ][ (retour) ] On a commis plus tard la même erreur momentanée dans les premiers temps du calcul infinitésimal, pour l'intégration des équations différentielles.
La classification des équations, d'après ce qu'on appelle leurs degrés, universellement admise depuis long-temps par les analystes, est, au contraire, éminemment naturelle, et mérite d'être signalée ici. Car, en ne comparant, dans chaque degré, que les équations qui se correspondent, quant à leur complication relative, on peut dire que cette distinction détermine rigoureusement la difficulté plus ou moins grande de leur résolution. Cette gradation est sensible effectivement, pour toutes les équations que l'on sait résoudre. Mais on peut s'en rendre compte d'une manière générale, indépendamment du fait de la résolution. Il suffit, pour cela, de considérer que l'équation la plus générale de chaque degré comprend nécessairement toutes celles des divers degrés inférieurs, en sorte qu'il en doit être ainsi de la formule qui détermine l'inconnue. En conséquence, quelque faible qu'on pût supposer à priori la difficulté propre au degré que l'on considère, comme elle se complique inévitablement, dans l'exécution, de celles que présentent tous les degrés précédens, la résolution offre donc réellement plus d'obstacles à mesure que le degré de l'équation s'élève.