Extrait du Rapport sur le Prix BOLYAI présenté par M. GUSTAVE RADOS a l'Académie Hongroise des Sciences.
Henri Poincaré est incontestablement le premier et le plus puissant chercheur du temps présent dans le domaine des Mathématiques et de la Physique mathématique. Son individualité fortement accusée nous permet de reconnaître en lui un savant doué d'intuition, qui sait puiser à la source intarissable des intuitions géométriques et mécaniques les éléments et le point de départ de ses profondes et pénétrantes recherches, en apportant d'ailleurs la rigueur logique la plus admirable dans la mise en œuvre de chacune de ses conceptions. A côté des dons éclatants de l'invention, il faut reconnaître en lui une aptitude à la généralisation la plus fine et la plus féconde des relations mathématiques, qui lui a souvent permis de reculer, bien au delà du point où elles étaient arrêtées avant lui, les limites de nos connaissances dans les différentes branches des Mathématiques pures et appliquées.
C'est ce que montrent déjà ses premiers travaux sur les fonctions automorphes, par lesquels il a ouvert la série de ces brillantes publications qui doivent être rangées au nombre des plus belles découvertes de tous les temps.
En cherchant à obtenir, pour les solutions des équations différentielles, des développements uniformes et toujours convergents, il s'adressa en premier lieu à la classe la plus simple de toutes celles qui avaient été étudiées jusque-là, aux équations linéaires à coefficients rationnels ou algébriques. Il fut ainsi conduit à de nouvelles transcendantes qui peuvent être regardées comme une généralisation très étendue des fonctions elliptiques et de la fonction modulaire, et qui jouent dans la solution des équations différentielles linéaires le même rôle que les fonctions elliptiques ou abéliennes pour les intégrales des différentielles algébriques. Ces nouvelles fonctions transcendantes sont caractérisées par cette propriété qu'elles demeurent invariantes quand on soumet la variable dont elles dépendent à toutes les substitutions linéaires faisant partie d'un même groupe discontinu. Si, dans ces substitutions
de déterminant ad - bc = 1, tous les coefficients sont des nombres réels, elles laissent fixe l'axe de la variable réelle. En composant les substitutions de ce genre avec une autre dont le déterminant est toujours égal à 1, mais dont les coefficients sont des nombres complexes quelconques, on obtient des substitutions résultantes qui laissent invariant un cercle désigné par M. Poincaré sous le nom de cercle fondamental. Les groupes ainsi caractérisés sont ceux que M. Poincaré nomme groupes fuchsiens, tandis qu'il réserve le nom de groupes kleinéens aux groupes discontinus les plus généraux formés de substitutions linéaires. En employant avec une extrême pénétration des notions métriques empruntées à la Géométrie non-euclidienne, M. Poincaré parvient d'une manière intuitive à la détermination et à la description de tous les groupes ainsi définis. Chacun d'eux donne naissance à une division régulière du plan ou de l'espace; et le problème de la recherche de tous les groupes fuchsiens et kleinéens se ramène à la détermination de toutes les divisions régulières du plan ou de l'espace. Après avoir introduit ce qu'il appelle des cycles, M. Poincaré a pu distribuer tous les domaines fondamentaux relatifs aux groupes fuchsiens en sept familles différentes, et aussi déterminer effectivement, pour chacune des divisions régulières obtenues, les groupes correspondants. Il s'agissait maintenant de donner la solution du problème important qui consiste à déterminer toutes les fonctions demeurant invariables, quand on soumet la variable dont elles dépendent à toutes les substitutions d'un groupe fuchsien. C'est ce que M. Poincaré appelle les fonctions fuchsiennes. Pour les trouver, il se laisse encore guider par l'analogie avec les fonctions elliptiques. On sait que les fonctions thêtaelliptiques ne sont pas doublement périodiques, mais qu'elles se reproduisent multipliées par un facteur exponentiel, quand l'argument s'augmente d'une période; M. Poincaré construit des séries dont la forme permet de reconnaître avec évidence l'effet des substitutions du groupe et qui se comportent d'une manière semblable aux fonctions thêtaelliptiques. Elles sont de la forme
où la somme est étendue à toutes les substitutions du groupe et où H est le signe qui désigne une fonction rationnelle, d'ailleurs quelconque. Les fonctions analytiques définies par ces séries sont celles que M. Poincaré appelle thêtafuchsiennes. Elles satisfont à l'équation fonctionnelle
la substitution