Soit (4) une coupole sur plan horizontal circulaire, dont le centre est en A. La section verticale de cette coupole, faite sur le diamètre, donne la courbe brisée BCD dont la flèche AD a deux parties et demie des quatre divisant la base. Il s'agit de faire de cette voûte, présentant la forme d'un mamelon, une voûte d'arête barlongue. Soit le plan horizontal de cette voûte barlongue le parallélogramme rectangle BFEC inscrit dans le cercle. Si la coupole était hémisphérique, les sections verticales élevées sur BF, BE donneraient les demi-cercles BGF, BHE; mais nous redoutons les poussées, nous avons admis l'arc brisé comme moyen de rendre ces poussées moins puissantes pour nous conformer à un système de proportions qui nous satisfait plus que le plein-cintre. Nous divisons alors les lignes de base de nos sections BF, BE en trois parties égales, et prenant les points II', KK' comme centres, les longueurs IFI'B, KE, K'B comme rayons, nous décrivons les deux arcs brisés BLF, BME, ogives qui sont les rabattements des arcs doubleaux sur lesquels viendront reposer la voûte. Dès lors les diamètres BC, FE dont le rabattement est donné par l'arc brisé BDC deviendront des arêtes, la voûte sera d'arêtes bien que donnée par une coupole; de plus nous serons les maîtres de donner aux arcs BF, BE les diamètres dont les longueurs relatives sont arbitraires. C'est suivant ce principe qu'ont été construites les voûtes hautes du porche de l'église abbatiale de Vézelay. Mais constatons d'abord un fait essentiel, qu'on paraît avoir négligé dans les recherches faites jusqu'à ce jour sur les théories des voûtes d'arêtes du moyen âge; c'est que l'opération de tracé, au moment de la transition, n'est pas établie à l'intra-dos des arcs doubleaux ou formerets, mais à l'extra-dos. Dans l'exemple, figure 3, l'épaisseur des arcs doubleaux est indépendante du tracé, elle est rapportée en contre-bas. C'est la concavité de la voûte à laquelle on cherche d'abord à donner une forme solide, raisonnée et se prêtant à toutes les combinaisons. Les arcs doubleaux viennent se sous-poser comme un nerf, ou une décharge destinée à porter des constructions supérieures. Aussi les arêtes diagonales n'apparaissent-elles pas encore, leur présence n'étant point regardée comme absolument nécessaire [255] tant que les voûtes dérivant de la coupole se portaient par elles-mêmes. Voyons donc ces voûtes hautes du porche de Vézelay (5).
Les quatre piles étant tracées,--elles sont indiquées par des hachures,--conformément à ce que nous venons de démontrer dans l'exemple précédent, les diamètres de la coupole génératrice sont les deux diagonales AB, CD; la section verticale de cette coupole faite sur son diamètre donne la courbe (demie) BE, le diamètre ayant quatre parties et la flèche FE deux et demie. L'extra-dos des arcs doubleaux part des points DB, l'extra-dos des formerets des points AD. Cet arc doubleau, rabattu, est ainsi tracé: les tailloirs des chapiteaux étant au niveau G, la naissance, afin de se dégager, a été relevée en H. La ligne de base hi, de l'extra-dos, a été divisée en quatre parties; sur le milieu k de cette ligne la perpendiculaire kl, étant élevée, a été divisée en deux parties et demie de manière à ce que cette flèche kl soit à la base comme 2 1/2 sont à 4. Établissant le triangle dont le côté est hl, élevant sur le milieu une perpendiculaire, la rencontre de cette perpendiculaire avec la ligne de base hi donne le point g centre de l'arc hg'l. Relevant la ligne de naissance des formerets de la hauteur op au-dessus du tailloir des chapiteaux, on a procédé de même que pour l'arc doubleau; la ligne de base AD de ces formerets étant à la flèche pq comme 4 est à 2 1/2. La section verticale, sur le grand axe ot de la voûte, donne en S la clef E de la section verticale faite sur AB; en T, l'extra-dos de la clef de l'arc formeret; en l, l'extra-dos de l'arc doubleau. Si nous joignions le point T au point S par une droite, nous ne pourrions dégager l'arête projetée en BXS; alors nous cherchons sur la ligne de base en s le centre d'un arc passant par les points TS. Cette courbe est la section verticale de la ligne de clefs Ft. Quant au point l, il peut être réuni au point S par une droite, ainsi que le fait voir la section verticale V faite sur FP. L'épaisseur de l'arc doubleau iR étant fixée, il se trouve que la ligne de naissance RH comprise entre l'intra-dos est divisée en trois parties égales par les points g, m centres de l'arc brisé. Alors cet arc est un tiers point. On observe donc que tout le tracé est commandé par les extra-dos des arcs, que cette voûte est un compromis entre la coupole et la voûte d'arêtes, que l'introduction de l'arc brisé donne une grande liberté au constructeur dans la disposition des voûtes sur plan barlong, et que cependant l'artiste a soigneusement observé un principe de proportions qu'il regardait non sans raisons comme bon, puisqu'il résulte du triangle auquel les anciens donnaient une valeur harmonique parfaite.
Une difficulté, purement matérielle et minime en apparence, obligea bientôt les architectes à faire de nouveaux progrès dans le tracé des voûtes et à étendre les applications de l'arc brisé. Vers la fin du XIIe siècle on commençait des édifices religieux et civils d'une dimension inusitée jusqu'alors. On portait la largeur des grandes nefs jusqu'à quinze et seize mètres et même jusqu'à vingt [256]. L'art de l'architecture était alors exclusivement tombé entre les mains des laïques, et ceux-ci comprirent bientôt tout le parti qu'ils pouvaient tirer du nouveau système de voûtes. Avec cette logique qui distingue l'habitant des Gaules, les maîtres des oeuvres reconnurent que, puisque de la coupole on ne conservait plus que deux diagonales, ou deux sections faites sur les diagonales d'un parallélogramme inscrit dans le cercle, base de cette coupole, il fallait franchement donner à ces deux arcs croisés une fonction utile, indispensable; il fallait en faire l'ossature de la voûte et porter sur cette ossature des voûtains indépendants les uns des autres, pouvant ainsi s'incliner en tous sens, se biaiser, s'allonger, devenir très-concaves ou presque plats. Les voûtes des cathédrales de Paris, de Senlis, celles de beaucoup d'églises de l'Île de France bâties de 1160 à 1200, présentent déjà une quantité de combinaisons qui indiquent combien, en très-peu d'années, l'école laïque s'était émancipée, tout en conservant le principe primitif issu de la coupole et de l'arc brisé. Cependant,--car si rapidement que l'on progresse, il y a toujours entre le point de départ et le point d'arrivée des transitions,--la coupole considérée comme génératrice est une tradition si puissante, que pour la construction des grandes voûtes, les architectes n'osent pas encore se fier entièrement aux conséquences du système que nous venons d'indiquer. Ils ont encore dans l'esprit la configuration de la coupole, ils tâtonnent.
Les hautes voûtes du choeur de la cathédrale de Paris, qui étaient terminées avant l'année 1190, nous fournissent à cet égard un sujet d'études intéressantes. La date de leur construction est certaine, et elles n'ont pas été modifiées plus tard ainsi que cela est arrivé pour la plupart des absides du XIIe siècle.
Le souvenir de la coupole a évidemment inspiré le tracé de ces voûtes (6). Un cercle dont le centre est en C et dont le rayon est CA a d'abord été tracé. Ce cercle a été divisé en neuf parties. Des points 2 et 7, deux lignes parallèles au grand axe AA' ont été tirées. Ces deux lignes 2B, 7D sont les nûs des murs du haut choeur au-dessus des piles. On voit que les deux segments du cercle 2--3, 6--7 débordent le nû des deux murs. Les points 2 et 7 ont été réunis par une ligne qui est la projection horizontale de l'arc doubleau du sanctuaire. Des lignes E3, E4, E5, E6, réunissant le milieu de l'arc doubleau 2--7 aux points diviseurs de la circonférence, sont les projections horizontales des arcs ogives, nerfs de la voûte du sanctuaire. Les lignes 3E, 6E, prolongées jusqu'à leur rencontre avec les lignes de nûs 7D, 2B, sont les projections horizontales des branches d'ogives contrebutant les arcs rayonnants. Une ligne FG, perpendiculaire au grand axe et tangente au cercle, donne la projection horizontale du dernier arc doubleau des grandes voûtes d'arêtes. Ayant pris sur le grand axe une longueur 9H égale à 9E, on a obtenu le centre, la clef de la voûte en arcs d'ogives FGBD. Mais de même que le triangle GE6 est divisé par l'arc doubleau E7, on a cru devoir diviser le triangle DHG par un arc doubleau IHK. Voilà pour les projections horizontales. Pour le tracé des arcs, la méthode suivie est celle-ci: l'arc doubleau BD, ou celui FG, ou celui 2--7, sont engendrés par un triangle dont la base est quatre et la hauteur deux et demi. Sur le milieu de la base ou naissance BD divisée en quatre, on a élevé la perpendiculaire ab. Celle-ci ayant deux parties et demie égales à chacune des divisions de la base, on a tracé le triangle BDb. Portant sur la ligne de base de D en e une épaisseur égale à celle des claveaux de l'arc doubleau on a réuni le point e au sommet b. Du milieu de cette ligne eb, élevant une perpendiculaire jusqu'à sa rencontre avec la ligne BD, on a obtenu en t le centre de l'une des branches de l'arc doubleau. Quant aux arcs-ogives, arcs-diagonaux qui sont comme les derniers témoins de la coupole, ils sont plein-cintres, ainsi que l'indique notre rabattement; leur point de centre étant relevé en g, au-dessus du tailloir des chapiteaux, afin que la clef h de ces arcs se trouve à un niveau plus élevé que celui des clefs b des arcs doubleaux, car on tenait à avoir une pente dans la section de la voûte, de H en a. Dès lors, il fallait que la clef des arcs doubleaux intersecteurs IK se trouvât au niveau de la clef des arcs ogives. On a donc relevé en p le centre des branches de cet arc doubleau rabattu sur notre figure. La projection verticale de l'arc doubleau 2--7 du sanctuaire est exactement celle des arcs doubleaux BD, FG. Mais comme les branches d'ogives rayonnantes du sanctuaire doivent aboutir à la clef E de cet arc doubleau 2--7, ces branches sont excentriques, ne sont pas les rayons du cercle dont le centre est C; donc la branche 3E est plus courte que la branche 4E. Il a donc fallu un tracé particulier à chacune de ces deux branches. Ces tracés sont rabattus sur notre figure; les clefs l et m de ces branches atteignent, bien-entendu, le niveau de la clef E de l'arc doubleau 2--7.
De tout ceci il résulte que les arcs ogives BG, FD, F6, G3, et les branches 4E, 5E sont bien réellement des côtes de coupoles entre lesquelles on a percé des formerets et des arcs doubleaux affectant la courbe aiguë. Les architectes n'osaient même encore s'affranchir de la configuration concave de la coupole, bien que le système admis l'eût permis, car ils avaient le soin de tenir les clefs des arcs doubleaux et des formerets plus basses que celles des arcs diagonaux, afin de conserver à la structure cette forme de calotte qui leur semblait nécessaire à la solidité.
