C'est bien ici le cas de dire qu'avant le problème posé, la géométrie existe, car le problème est résolu suivant ses lois. Notons d'abord que la nature n'a pas trouvé l'introuvable, l'absurde, la quadrature du cercle. Elle a entre les mains les moyens que nous lui avons dérobés par l'observation de ses propres lois. Pour elle comme pour nous, un cercle est un cercle, et s'il faut revêtir un sphéroïde d'une croûte, d'une sorte de pavage solide, elle a procédé comme nous procéderions, par
juxtaposition de corps se prêtant à cette fonction. La question était de trouver ce corps, ce corps unique, d'un seul échantillon, possédant les propriétés absolues de résistance. La nature est à l'oeuvre, ses déductions s'enchaînent suivant un ordre d'une inflexible logique. Elle trace un cercle, (fig. 1.); une seule figure ne pouvant se déformer, dont les côtés et les angles soient égaux entre eux, par conséquent dont la résistance est égale sur quelque côté qu'on la place, s'inscrit dans ce cercle: c'est le triangle équilatéral. Elle prend une sphère, et dans cette sphère, par induction, elle inscrit une pyramide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux, c'est-à-dire un solide ne pouvant se déformer et dont les propriétés sont les mêmes, quelle que soit celle de ses quatre faces sur laquelle vous le posiez. Voilà le solide trouvé: côtés égaux, angles égaux, résistances égales. Avec cet échantillon, elle va former la croûte solide de la sphère incandescente. Et en effet ce solide peut se prêter à cette fonction.
Deux triangles équilatéraux ayant une base commune (voyez en A, fig. 2) donnent un losange: côtés égaux, les angles a obtus (120º), les angles b aigus (60º). À l'aide de six de ces losanges développés en B, le rhomboèdre C', C, est obtenu; c'est-à-dire un corps composé de deux pyramides e dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux, et dont la partie moyenne g possède une base commune f sur laquelle s'élèvent deux pyramides opposées dont les faces sont des triangles équilatéraux. Voici donc qu'avec une seule figure, le triangle équilatéral est obtenu un corps dont les propriétés sont d'une prodigieuse étendue. D'abord, que l'on veuille bien considérer ce corps C: ne présente-t-il pas à l'oeil une réunion de six mailles semblables, pouvant se rattacher à trois réseaux se coupant, se pénétrant, et se prêtant ainsi à couvrir des surfaces courbes?
Quatre rhomboèdres se pénétrant constituent deux pyramides composées de triangles équilatéraux se pénétrant, c'est-à-dire un solide en forme d'étoile à huit pointes semblables; et dont chacune des pointes est elle-même une pyramide composée de triangles équilatéraux (voyez fig. 3).
Ce solide, dont la partie milieu a est celle du rhomboèdre, inscrit la projection des six points des bases des deux pyramides se pénétrant dans un hexagone b; il inscrit ses huit pointes dans une sphère et dans un cube (voyez fig. 4).
Nous n'avons pas besoin d'insister sur ces éléments. Ce corps composé à l'aide d'une seule figure, le triangle équilatéral, jouit donc de propriétés très-étendues. Si nous prenons la peine d'examiner la formation de la première couche terrestre cristallisée, le granit, nous voyons qu'elle est uniquement composée de rhomboèdres juxtaposés (voyez en a, fig. 5). Ou si nous considérons les éruptions basaltiques solidifiées par retrait, nous voyons qu'elles donnent des prismes à section hexagonale b, lesquels ne sont qu'un dérivé de la forme rhomboédrique.