Si l'ingénieur eût possédé un sextant, appareil qui permet de mesurer avec une grande précision la distance angulaire des objets par réflexion, l'opération n'eût offert aucune difficulté. Ce soir-là, par la hauteur du pôle, le lendemain, par le passage du soleil au méridien, il aurait obtenu les coordonnées de l'île. Mais, l'appareil manquant, il fallait le suppléer.
Cyrus Smith rentra donc aux Cheminées. À la lueur du foyer, il tailla deux petites règles plates qu'il réunit l'une à l'autre par une de leurs extrémités, de manière à former une sorte de compas dont les branches pouvaient s'écarter ou se rapprocher. Le point d'attache était fixé au moyen d'une forte épine d'acacia, que fournit le bois mort du bûcher.
Cet instrument terminé, l'ingénieur revint sur la grève; mais comme il fallait qu'il prît la hauteur du pôle au-dessus d'un horizon nettement dessiné, c'est-à-dire un horizon de mer, et que le cap Griffe lui cachait l'horizon du sud, il dut aller chercher une station plus convenable. La meilleure aurait évidemment été le littoral exposé directement au sud, mais il eût fallu traverser la Mercy, alors profonde, et c'était une difficulté.
Cyrus Smith résolut, en conséquence, d'aller faire son observation sur le plateau de Grande-vue, en se réservant de tenir compte de sa hauteur au-dessus du niveau de la mer, — hauteur qu'il comptait calculer le lendemain par un simple procédé de géométrie élémentaire.
Les colons se transportèrent donc sur le plateau, en remontant la rive gauche de la Mercy, et ils vinrent se placer sur la lisière qui s'orientait nord-ouest et sud-est, c'est-à-dire sur cette ligne de roches capricieusement découpées qui bordait la rivière.
Cette partie du plateau dominait d'une cinquantaine de pieds les hauteurs de la rive droite, qui descendaient, par une double pente, jusqu'à l'extrémité du cap Griffe et jusqu'à la côte méridionale de l'île. Aucun obstacle n'arrêtait donc le regard, qui embrassait l'horizon sur une demi-circonférence, depuis le cap jusqu'au promontoire du Reptile. Au sud, cet horizon, éclairé par en dessous des premières clartés de la lune, tranchait vivement sur le ciel et pouvait être visé avec une certaine précision.
À ce moment, la Croix du Sud se présentait à l'observateur dans une position renversée, l'étoile alpha marquant sa base, qui est plus rapprochée du pôle austral.
Cette constellation n'est pas située aussi près du pôle antarctique que l'étoile polaire l'est du pôle arctique. L'étoile alpha en est à vingt-sept degrés environ, mais Cyrus Smith le savait et devait tenir compte de cette distance dans son calcul. Il eut soin aussi de l'observer au moment où elle passait au méridien au-dessous du pôle, et qui devait simplifier son opération.
Cyrus Smith dirigea donc une branche de son compas de bois sur l'horizon de mer, l'autre sur alpha, comme il eût fait des lunettes d'un cercle répétiteur, et l'ouverture des deux branches lui donna la distance angulaire qui séparait alpha de l'horizon. Afin de fixer l'angle obtenu d'une manière immutable, il piqua, au moyen d'épines, les deux planchettes de son appareil sur une troisième placée transversalement, de telle sorte que leur écartement fût solidement maintenu.
Cela fait, il ne restait plus qu'à calculer l'angle obtenu, en ramenant l'observation au niveau de la mer, de manière à tenir compte de la dépression de l'horizon, ce qui nécessitait de mesurer la hauteur du plateau. La valeur de cet angle donnerait ainsi la hauteur d'alpha, et conséquemment celle du pôle au-dessus de l'horizon, c'est-à-dire la latitude de l'île, puisque la latitude d'un point du globe est toujours égale à la hauteur du pôle au-dessus de l'horizon de ce point.